Devoir no20. Nota Bene : Les théorèmes concernant la

Devoir no 20.
Nota Bene : Les théorèmes concernant la convergence normale des séries de fonctions sont rappelés en …n de sujet.
Problème. Fonction caractéristique d’une variable aléatoire et théorème de Lévy
Dans ce sujet, les variables aléatoires considérées sont des variables aléatoires X à valeurs dans N.
P
k
On considère alors sa série génératrice GX par GX (z) = +1
k=0 ak z , où ak = P (X = k):
P
ikt
On dé…nit sa fonction caractéristique X : R ! C par 8t 2 R, X (t) = GX (eit ) = +1
k=0 ak e :
1) a) [1.5 pt] Montrer que
X (t)
= E(eitX ):
b) [1.5 pt] On considère une variable aléatoire Y de loi géométrique de paramètre p 2]0; 1[, à valeurs dans N.
p
Autrement dit, 8n 2 N, P (Y = n) = pq n , où q = 1 p. On a ainsi GY (z) =
:
1 qz
Expliciter sans justi…cation les fonctions caractéristiques de Y et de Z = Y + 1.
2) a) [1.5 pt] Montrer que
X
est continue sur R.
b) [2 pts] On suppose X d’espérance …nie, c’est-à-dire E(jXj) < +1, ce qui équivaut ici à E(X) < +1.
Montrer que
X
est dérivable en 0 et exprimer
3) [2 pts] On rappelle que
X (t)
=
P+1
0
X (0)
imt .
m=0 am e
Montrer que pour tout k 2 N, on a ak =
1 R2
2 0
en fonction de E(X):
On rappelle que 8k 2 Z,
X (t)e
ikt
dt:
R2
4) [1 pt] Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telles que
eikt dt = 0 si k 6= 0, et 2 si k = 0:
0
X
=
Y.
Montrer que X et Y ont même loi, c’est-à-dire que 8k 2 N, P (X = k) = P (Y = k):
5) [3 pts] Théorème de Lévy
On considère une suite (Xn )n2N de variables aléatoires à valeurs dans N.
On note U le cercle unité de C, c’est-à-dire l’ensemble des nombres complexes de module 1.
On suppose que pour tout z 2 U , limn!+1 GXn (z) = GY (z), où Y est une variable aléatoire à valeurs dans N.
Montrer que la loi de Xn converge vers la loi de Y , c’est-à-dire que 8k 2 N, limn!+1 P (Xn = k) = P (Y = k):
Remarque : On utilisera pour la preuve un théorème judicieusement choisi et vu il y a quelque temps déjà ...
6) [4.5 pts] Théorème des événements rares
Soit
> 0: On suppose connue la propriété suivante : Pour tout z 2 C, limn!+1
z
1+ +o
n
1
n
n
= ez :
Pour n 2 N , on considère Sn = X1;n + X2;n ::: + Xn;n une somme de n variables indépendantes et de même loi.
Dans chacun des trois cas suivants, expliciter sans justi…cation la série génératrice GSn (z) de Sn , et montrer que
k
8k 2 N,
lim P (Sn = k) =
n!+1
k!
e
a) Pour tout n assez grand, les Xi;n suivent la loi de Bernoulli de paramètre
b) Pour tout n, les Xi;n suivent la loi de Poisson de paramètre
n
.
n
.
k
c) Pour n assez grand, les Xi;n suivent la loi géométrique de paramètre
1
n
: 8k 2 N, P (Xi;n
k) =
n
.
Rappels sur la convergence normale :
Les théorèmes sont aussi valables pour les fonctions à valeurs dans C (en remplaçant valeurs absolues par modules).
P
Soient une suite de fonctions continues (fn )n2N dé…nies de R dans C et telles que
sup jfn j converge. Alors on a :
P
- La fonction S dé…nie par S(t) = +1
n=0 fn (t) est bien dé…nie et continue sur R.
Rb
Rb
P
- Pour tout segment [a; b] de R, on peut intégrer terme à terme : a S(t) dt = +1
n=0 a fn (t) dt:
P
P
0
- Si de plus les fn sont de classe C 1 , et si
sup jfn0 j converge, alors S est de classe C 1 , et S 0 (t) = +1
n=0 fn (t):