Introduction d i à la l l i logique f formelle ll eBac et LMRL 1 La logique formelle 1. La logique formelle est la science des raisonnements valides. valides Elle analyse seulement la vérité matérielle d’un raisonnement. i t Le but de la logique est de distinguer des arguments valides de part leur forme des autres. Exemple Si j’admets que la phrase suivante est vraie «S S’ilil pleut pleut, le sol est mouillé mouillé. », » je peux déduire de la phrase « Il pleut. » la conclusion l i :… Exemple Si j’admets que la phrase suivante est vraie «S S’ilil pleut pleut, le sol est mouillé mouillé. », » je peux déduire de la phrase « Il pleut. » la conclusion l i : « Le sol est mouillé. » « Forme et non contenu » Or, ceci fonctionne aussi pour une déduction à base d’une d une phrase qui ne donne pas de sens sens, mais se présente sous forme logique correcte. ex. « Si la neige est intelligente, le soleil pique une crise. crise » ; « La neige est intelligente. intelligente », » alors « Le soleil pique une crise. » = raisonnement valide ! 2 La proposition 2. La proposition est une transcription d’une phrase simple ou complexe pour laquelle il fait sens de parler de vérité. exemple : p : il pleut Cette proposition est, le tiers étant exclu, soit vraie vraie, soit fausse. fausse p ou bien bi non p Phrase et proposition « Il pleut. » « It is raining raining. » « Lueve. » « Es regnet. » « Pluit. » « Et rént. » Ce sont des phrases différentes qui peuvent être transcrites par une même proposition : p 3 Les opérateurs 3. Les relations logiques entre des phrases simples, par lesquelles une phrase complexe est composée, sont normalement signalisées par des mots qui sont appelées jonctions. Dans la grammaire on parle généralement de conjonctions, g j , comme p par exemple : et, ou, parce que, mais, si, quoique ... (cf (cf. mots signaux) Montrons que ces jonctions peuvent rallier des phrases simples sous un aspect l i logique quii estt diffé différentt : (1) Paul va à l’école (2) Paul va à l’école l école (3) Paul va à l’école et il est malade. ou il est malade malade. quoiqu’ il est malade. (3) Paul va à l’école quoiqu’ il est malade. La phrase 3 nous dit qu’il n’est pas normal que Paul va à l’école quand il est malade. (1) Paul va à l’école l école (2) Paul va à l’école et il est malade malade. ou il est malade. Les p phrases 1 et 2 ne p permettent p pas une telle conclusion. (2) Paul va à l’école ou il est malade. De la phrase 2 on ne peut même pas tirer la conclusion que les deux parties de la phrase soient vraies, mais seulement qu’une ’ partie ti soit it vraie. i Dans la logique des propositions on ne s’intéresse p pas au contenu d’une p phrase,, mais seulement à sa forme logique. C’est pourquoi qu’on utilise des variables (propositions) pour désigner des phrases q quelconques. q On pourrait donc récrire les trois phrases de la façon suivante : (1’) p (2’)) p (2 (3’) p et q ou q quoique q Dans la logique des propositions on s’est s est limité à l’étude de seulement quatre types de jonctions qui apparaissent dans le jargon du quotidien quotidien, et ou si..., alors si et seulement si ainsi que l’opérateur de la négation d’une phrase ne … pas ett pour symboliser b li lla conclusion l i - donc Nos 5 opérateurs ∨ → disjonction j (... ( ou ... ou les deux)) implication (si..., alors...) ↔ équivalence (... si et seulement si... ; ... équivaut é i t à...) à ) T ∧ négation é i (non... ( ; ne... pas)) conjonction ((... et et...)) conclusion (Donc (Donc...)) 3.1 La négation La négation est employée pour former une proposition complexe, qui dit le contraire de ce qui est affirmé dans la proposition (simple ( ou complexe)) sur laquelle la négation opère. (1a) Il pleut. ((1b)) Il n’est p pas vrai q qu’il p pleut. Quand (1a) est vrai, (1b) doit être faux et vis versa. (C i peut ê (Ceci être résumé é é par une représentation é i d dans un tableau de vérité (angl. truth table), où la négation est __ représentée par « », « v » veut dire vrai et « f » faux.)) 3.2 La conjonction v La conjonction est notée « ». Elle permet à partir de deux propositions permet, propositions, de former une proposition plus complexe qui estt vraie i ssii lles d deux propositions iti plus l simples sont toutes les deux vraies. (2) Paul va à l’école l école et Paul est malade malade. 3.3 La disjonction La disjonction est notée « v ». Elle permet, à partir de deux propositions, propositions de former une proposition plus complexe qui est fausse ssi les deux propositions simples sont fausses (ce qui revient à dire qu’il suffit qu’une des deux propositions soient vraies p pour q que la disjonction j soit vraie). ) (3) Paul va à l’école l école ou Paul est malade malade. 3.4 L’implication L’implication est notée « J ». Ainsi, à partir de « il pleut », noté p, et de « le sol est mouillé », noté té q, on obtient bti t l’implication l’i li ti : (4) S’il pleut, ple t (alors) le sol est mouillé. mo illé On appelle la partie gauche d d’une une implication son antécédent et la partie droite le conséquent. L’implication p est fausse ssi l’antécédent est vrai et le conséquent faux (dans tout les autres cas, donc, il est vrai). 3.5 L’équivalence L’équivalence est notée « Q ». (5) P Paull va à l’é l’école l ssii il estt malade. l d q est fausse ssi les deux L’équivalence propositions n’ont pas la même valeur de vérité. vérité 4 Exercices de transcription 4. 4. Exercices de transcription Exemple Paul va à l'école,, s'il est malade ou a un devoir en mathématiques. q Lexique: p : Paul va à l'école q : Paul P l estt malade l d r : Paul a un devoir en mathématiques Transcription: (q ∨ r) → p