esiea – école d’ingénieurs du monde numérique 1A – Cycle de transition – Année 2016-2017 Renforcement numérique : devoir du jeudi 15 septembre Questions de cours [3,5 points] 1. Comment appelle-t-on usuellement l’ensemble Q ? Comment est-il défini ? 2. Donner un exemple d’ensemble dénombrable, puis un exemple d’ensemble discret. 3. Lister les neuf types d’intervalles de R ; illustrer chaque type par un exemple. 4. Qu’appelle-t-on racine cubique d’un nombre complexe ? Une racine cubique est-elle toujours unique ? Expliquer soigneusement et étayer à l’aide d’exemples. 5. Qu’est-ce que la factorielle d’un entier naturel ? Donner un exemple. Exercice 1 [3,5 points] Sur l’annexe, relier un élément de la colonne de gauche à un élément de la colonne de droite afin de former des égalités correctes. À gauche comme à droite, chaque élément peut servir zéro, une ou plusieurs fois. Une réponse correcte apporte 0,5 point ; une réponse incorrecte enlève 0,5 point. Un éventuel total négatif sera ramené à 0. Aucune justification n’est attendue. Exercice 2 [3 points] On désigne par x et y deux réels strictement supérieurs à 1 vérifiant x 6= y. Simplifier au maximum les expressions suivantes, en faisant figurer le détail des calculs. xy x−y A= xy y+ y−x x+ √ 1 x−1 √ − B= x−1 1+ x C= 1 1 x + y 1+ 1+ y x Exercice 3 [2,5 points] On considère la somme S suivante : S= 99 X k=1 √ k+ 1 √ k+1 . √ √ √ √ x+ x+1 x − x + 1 pour tout x de ]0, +∞[. 1 √ 2. Calculer S en utilisant une autre écriture de √ pour tout x de ]0, +∞[. x+ x+1 1. Simplifier l’expression Exercice 4 [1 point] Factoriser chacun des trinômes suivants en un produit de deux polynômes de degré 1. Aucune justification n’est attendue. P = 6X 2 + X − 1 Q = 4X 2 + 12X + 9 Exercice 5 [2 points] Soit x un nombre réel quelconque. Développer les expressions suivantes à l’aide de la formule du binôme ; réduire et ordonner les résultats obtenus. A = (x + 2)4 B = (x − 1)5 Exercice 6 [3 points] Résoudre l’inéquation et l’équation suivantes, d’inconnue réelle x. 2 x + 2x = 1 −x2 − 6x > 8x2 + 1 Exercice 7 [1,5 point] Calculer en donnant les résultats sous la forme la plus simple possible. Le détail des calculs n’est pas exigé. 3 100 3 Y X X k2 2 k A2 = A3 = A1 = k k + 1 k=1 k=0 k=1 Exercice 8 [3 points] a 1. On considère deux réels a et b non nuls vérifiant = 2. Donner la valeur des expressions b suivantes, en faisant figurer le détail des calculs. a + 2b A= a − 3b a2 − b 2 B= 2 a + b2 2. On considère quatre réels non nuls p, q, r et s vérifiant p r = , avec r 6= s et r 6= −s. q s Montrer que les égalités suivantes sont vraies. p+q r+s = 2q 2s p2 + q 2 p2 − q 2 = r 2 + s2 r 2 − s2 Exercice 9 [2 points] Des deux nombres suivants, lequel est le plus grand ? Répondre en expliquant la démarche. 143 987 659 321 143 987 659 322 143 987 659 322 143 987 659 323 Prénom NOM : 49 = ... • 35 × 32 = ... • 93 √ 4 4! = ... • 2 243 = ... • On a l’égalité √ 5 p √ 4 2 3 = ... • 8 √ × 6 = ... • 4 On a l’égalité On a l’égalité On a l’égalité √ 6 On a l’égalité = ... • 2 On a l’égalité On a l’égalité annexe (à rendre avec la copie) √ 7. • ... √ 3. • ... 12. • ... 15. • ... 3. • ...