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Chap D.6 – Exercices supplémentaires
TS
Chap D.6 – Exercices supplémentaires page 177
Fg (J/S)  G.
M.m
r2

 uJS

On retrouve donc la 3ème loi de Kepler :
même valeur pour tous les satellites de Jupiter, avec
k=3,1×10-16
uJS
2. Système {satellite} étudié dans
jupiterocentrique galiléen.
Bilan
des
forces :
uniquement
T2
 k la
r3
le référentiel
Fg (J/S)
la
force
gravitationnelle exercée par Jupiter  F = Fg (J/S)
D’après la 2ème loi de Newton: F =
d(p) d(m.v)


dt
dt
m.d(v)
= m. a car m = cste.
dt
Mm
M
D’où : G.
. uJS = m. a  a = G. 2 .(- uJS )
r2
r
Si la trajectoire du satellite est circulaire, alors le vecteur
F =


uJS est porté par un rayon du cercle, si bien que a est
radiale et centripète. Ainsi, comme par définition v est
tangent à la trajectoire, a et v sont perpendiculaires en
tout point de la trajectoire, ce qui est caractéristique d’un
mouvement circulaire et uniforme.
De plus, dans le cas d’un mouvement circulaire et
v²
 (uJS )
uniforme, on sait que a peut être écrit : a 
r
où r est le rayon de l’orbite circulaire du satellite. Ainsi,
v2
par identification des 2 expressions de a on déduit :
r
 G.
M
M
 v2  G.
 v
2
r
r
T=
G.M
r
r
r3
2r
= 2r 
= 2 
G.M
G.M
v
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Chap D.6 – Exercices supplémentaires
TS
⃗⃗⃗
P𝐴
La 2ème loi de Newton appliquée au système {Dysnomia}
étudié dans le référentiel eriscentrique galiléen s’écrit :
F =
M .d(v)
d(p) d(MD .v)
 F = D
= MD. a car

dt
dt
dt
MD = cste.
Donc : FE / D =MD. a  G.
 a = G.
ME
R D2
ME  MD
R D2


. uED =MD. a
.(- uED )
Or dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme,
l’accélération s’écrit : a 
v²
RD
Propulsion par réaction : Exo page 148 n°20
1.
Si le ballon est immobile, alors d’après la 1 ère loi de Newton il est soumis à des forces qui se compensent : c’est un
système pseudo-isolé.
2.
⃗ et la poussée d’Archimède ⃗⃗⃗
Le ballon immobile est soumis à son poids 𝑃⃗, la tension du fil 𝑇
P𝐴 exercée par l’air.
3.
Lorsque le ballon s’ouvre, de l’hélium est expulsé vers le bas, propulsant ainsi le ballon vers le haut (mouvement de
propulsion par réaction).
4.
Juste après l’ouverture, on peut considérer que le système {ballon+gaz} est encore pseudo-isolé. Ainsi, d’après la
1ère loi de Newton, entre t=0 et t à peine supérieur à 0 la quantité de mouvement de l’ensemble {ballon+gaz} se
conserve : pb  g (0)  pb  g (t ) Or au départ le système est immobile, donc pb  g (0)  0 . Ainsi, juste après
l’ouverture on a aussi pb  g (t )  0  pb (t )  pg (t )  0  pb (t )  pg (t )
La vitesse du gaz étant verticale vers le bas, alors pg (t ) est verticale vers le bas. Pour que cette égalité soit
vraie pb (t ) doit être verticale vers le haut : le ballon est propulsé vers le haut grâce à l’éjection du gaz.
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Chap D.6 – Exercices supplémentaires
TS
SUJET QUATRE SATELLITES TERRESTRES ARTIFICIELS PARMI
BIEN D'AUTRES (France 2005 – 45 min)
Passionné d'astronomie, un élève a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations
concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en œuvre ses connaissances de physique pour
les vérifier et les approfondir.
Dans tout l'exercice, on notera :
Masse de la Terre: MT = 5,97.1024 kg (répartition de masse à symétrie sphérique de centre O)
Rayon de la Terre: RT = 6380 km
Masse du satellite étudié: mS
Altitude du satellite étudié: h
Constante de gravitation universelle: G = 6,67.10-11 SI
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
1. LE PREMIER SATELLITE ARTIFICIEL
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en 1687 par
Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier satellite
artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.
1.1. Exprimer vectoriellement la force exercée par la Terre sur Spoutnik 1, supposé ponctuel, et la
représenter sur un schéma. Calculer sa valeur sachant que mS=84 kg et h=500 km en moyenne.
1.2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
En appliquant la deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle de l'accélération du satellite.
2. LES SATELLITES ARTIFICIELS À ORBITES CIRCULAIRES
Le télescope spatial Hubble, qui a permis de nombreuses découvertes en astronomie depuis son
lancement en 1990, est en orbite circulaire à 600 km d'altitude et il effectue un tour complet de la
Terre en 100 minutes.
2.1.1. En reprenant les résultats de la partie 1, montrer sans calcul que si l’orbite de Hubble autour
de la Terre est circulaire, alors son mouvement est uniforme.
2.1.2. Exprimer littéralement sa vitesse en fonction des grandeurs MT, RT, h et G . Calculer sa valeur
pour h=600 km.
2.1.3. Exprimer puis calculer la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes,
puis retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire (l'énoncé de cette
loi n'est pas demandé ici).
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Chap D.6 – Exercices supplémentaires
TS
3. LES SATELLITES ARTIFICIELS À ORBITES ELLIPTIQUES
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un incident lors
de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un satellite d'astrométrie
lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint son orbite prévue. Un moteur n'ayant
pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 36 000 km et 500 km d'altitude.
3.1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler.
Énoncer la 1ère et la 2ème loi de Kepler dans le cas d’Hipparcos en orbite autour de la Terre.
3.2. Sans souci exagéré d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de
l'orbite du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie de la Terre et les points A et P
correspondant respectivement aux valeurs 36 000 km et 500 km données dans le texte.
3.3. En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse
d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.
3.4. Préciser en quels points de son orbite sa vitesse est maximale, minimale.
CORRECTION Quatre satellites terrestres artificiels parmi bien
d’autres (FRANCE 2005 – 45 min)
Système {satellite} étudié dans le référentiel géocentrique galiléen.
Terre
1. Le premier satellite artificiel
Fg T / S = G.
Spoutnik 1
T
1.1.
Fg T / S = G.
n
u TS
FgT / S
MT  mS
(R T  h)2
MT  mS
(R T  h)2
.(- u TS ) avec u TS vecteur unitaire porté par la droite (TS) orienté de T vers S.
= 6,67.1011 
5,97.1024  84
= 707 N
(6380.103  500.103 )2
1.2. Bilan des forces : Fg T / S uniquement  F = Fg T / S
d(p)
= mS. a car mS = cste
dt
M  mS
MT
G. T
.(- u TS ) = mS. a  a = G.
.(- u TS )
2
(R T  h)
(R T  h)2
D’après la 2ème loi de Newton : F =
D’où :
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Chap D.6 – Exercices supplémentaires
TS
2. Les satellites artificiels à orbites circulaires
2.1.1. Si la trajectoire du satellite est circulaire, alors le vecteur uTS est porté par un rayon du
cercle, si bien que a est radiale et centripète. Ainsi, comme par définition v est tangent à la
trajectoire, a et v sont perpendiculaires en tout point de la trajectoire, ce qui est caractéristique
d’un mouvement circulaire et uniforme.
2.1.2. Dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, on sait que a peut être écrit :
a
v²
 (uTS ) où RT+h est le rayon de l’orbite circulaire du satellite.
RT  h
Par identification des 2 expressions de a on déduit :
Application numérique : v =
6,67.10 11 
G.MT
v²
MT
M
= G.
 v2  G. T  v 
2
RT  h
RT  h
RT  h
(R T  h)
5,97.1024
= 7,55.103 m/s
6380.103  600.103
2.1.3. Sur une révolution complète (un tour complet de l’orbite) on a :
v=
2(R T  h)
2(R T  h)
2(6380.103  600.103 )
T=
=
= 5,81.103 s (1h 36min 50s)
3
T
v
7,55.10
On a d’autre part : T =
On en déduit : T² =
(R T  h)
(R T  h)3
2(R T  h)
= 2(R T  h) 
= 2 
.
G.MT
v
G.MT
4 2 (R T  h)3
T²
4 2
4 2


où
est une constante qui ne dépend
G.MT
G.MT
(R T  h)3 G.MT
que de MT et qui aura donc la même valeur pour tous les corps en orbite autour de la
Terre : c’est bien ce qu’indique la 3ème loi de Kepler.
3. Les satellites artificiels à orbites elliptiques
3.1. 1ère loi de Kepler : Dans le référentiel géocentrique, l’orbite du satellite Hipparcos est une ellipse
dont l’un des foyers est occupé par le centre de la Terre.
2ème loi de Kepler : Le rayon TS liant le centre T de la Terre au centre de gravité S du satellite balaie
des aires égales en des durées égales.
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Chap D.6 – Exercices supplémentaires
TS
3.2.
O = centre de l'ellipse
F et F' = Foyers
a = demi-grand axe
S
F'
A
O
F
P
T
T centre d'inertie de la Terre
A : 36000 km d'altitude (Apogée)
P : 500 km d'altitude (Périgée)
<
2a
>
3.3. Les deux aires hachurées, balayées dans le même
intervalle de temps, sont égales d’après la 2ème loi de Kepler.
Ainsi, dans le même intervalle de temps, le satellite parcourt les
distances A1A2 et P1P2 telles que A1A2 < P1P2 donc le satellite
se déplace forcément plus vite quand il est proche de la
Terre (A1A2) que lorsqu’il est plus éloigné (P1P2).
Remarque : en reprenant l’expression de v obtenue au 2.1.2 : v =
A1
A
A2
T
P2
P
O
P1
G.
MT
, on voit bien que plus
RT  h
l’altitude h est élevée, plus la vitesse est faible, les autres grandeurs étant constantes.
3.4. D’après les résultats précédents, la vitesse sera maximale en P et minimale en A.
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