PA101 Electronique quantique 6ème Cours "La relation temps-énergie" "L'oscillateur harmonique" 1/22 [email protected] Qu’avons-nous déjà appris ? PA101 Les 7 postulats de la théorie quantique constituent la "boîte à outil" du physicien pour traiter (en principe) de tout problème nécessitant cette théorie. Deux grandeurs physiques sont dites incompatibles lorsqu'elles ne peuvent pas être mesurées simultanément. Il existe un critère simple d'incompatibilité : la non commutation des observables associées Il existe une relation d'incertitude de Heisenberg pour tout couple de grandeurs physiques incompatibles. Le second membre de l'inégalité fait intervenir le commutateur des 2 observables, et dépend de l'état quantique du système à l'instant considéré. 2/22 Progression Les grands concepts L'énoncé des principes de la théorie quantique l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique Les principes de la physique statistique Illustrations quantique-statistique 3/22 PA101 Plan de la séance PA101 Retour sur la stationnarité, à la lumière des postulats Etats presque stationnaires et relation temps-énergie L'oscillateur harmonique : énergies et états stationnaires par la méthode de Dirac 4/22 Retour sur la stationnarité PA101 Considérons un état propre de l’hamiltonien : Alors ih dψ dt ψ (t ) = ψ (0) exp( −iEt / h ) = H ψ = Eψ Calculons la probabilité que la mesure de H ψ = Eψ A effectuée à l’instant t donne la valeur propre an comme résultat : gn P( an , t ) = ∑ u exp( − iEt / h ) ψ ( 0 ) i n i =1 ψ (0) ψ (0) 2 gn =∑ i =1 u ψ (0) i n 2 ψ (0) ψ (0) = P( an , 0 ) Pour un état stationnaire, l’ensemble de toutes les distributions de probabilité sont indépendantes du temps. Cela donne une interprétation physique claire à la notion quantique de stationnarité. 5/22 Retour sur la stationnarité PA101 Etat stationnaire Etat non stationnaire ψ (t ) = ψ (0) exp( −iEt / h ) ψ (t ) ≠ ψ (0) exp( −iEt / h ) P t=t0 P t=t1 t=t0 t=t1 Probabilités de résultats de mesure (spectre discret) a0 a1 a4 … A Probabilité de présence (spectre continu) 6/22 a0 a1 a4 … A Etats presque stationnaires PA101 Etats presque stationnaires : Un état stationnaire possède par nature une «durée de vie infinie». Ceci est impossible. En revanche un état «presque» stationnaire peut être réalisé. Comment | a(E) | 2 apprécier l’évolution temporelle d’un tel état ? Prenons par exemple le cas d’un spectre énergétique continu : Δ E (petit) E ψ (0) = ∫ a ( E ) ϕ E dE P(bm , t ) = um ψ (t ) ≈ u m ϕ E0 2 2 = ∫ a( E ) exp(−iEt / h) um ϕ E dE ∫ a( E ) exp(−iEt / h)dE 2 ω = E/h ΔE . Δt ≈ h 7/22 2 E0 Δω .Δt ≈ 1 On se rappelle de la relation inverse entre largeur temporelle et largeur spectrale Etats presque stationnaires PA101 Attention ! Il ne s'agit pas d'incertitude au sens de l'inégalité de Heisenberg, car le temps n'est pas une grandeur physique. Le temps caractéristique d’évolution du système est relié à l’incertitude à-priori en énergie par la relation d’incertitude temps-énergie ΔE. Δt ≈ h Pour mesurer l’énergie d’un système avec une précision ΔE , il est nécessaire que la durée de la mesure soit au moins égale à Δt donné par la relation d’incertitude temps-énergie La durée de vie d’un état est inversement proportionnelle à l’élargissement énergétique causé par les mécanismes d’interactions rendant cet état non stationnaire 8/22 Etats presque stationnaires PA101 Exemple : la désexcitation d'un atome dans un état excité. Si la durée moyenne de la désexcitation est τ , la largeur de raie vaut typiquement dans ce cas de "largeur naturelle de la raie" . τ hν Δν ≈ 1 2πτ . On parle I 1 2πτ ν I τ = 1 ns ⇒ Δν ≈ 1.6 × 108 Hz τ 9/22 t Etats presque stationnaires PA101 La "largeur naturelle de la raie" est atteinte de façon spectaculaire dans l'effet Mössbauer. Il s'agit dans ce cas de la désexcitation de noyaux radioactifs d'un solide par l'émission de photons gamma. On peut en effet montrer que les nucléons s'arrangent au sein du noyau à la manières des électrons dans les atomes, donnant lieu à des états excités et un état fondamental. La demie vie radioactive pouvant être longue, la largeur de raie peut être extrêmement faible. On la mesure alors par spectroscopie Doppler* ! Cet effet donne lieu à une technique fine d'analyse physicochimique des matériaux. * décalage de la fréquence proportionnellement à la vitesse Δν Δν ν v 10/22 = v c v 10 −3 −12 = = = 3 . 3 × 10 ! 8 c 3 × 10 ν Oscillateur harmonique PA101 L'oscillateur harmonique a une très grande importance en physique. De très nombreux systèmes ou effets (vibrations moléculaires, phonons dans les solides, lumière quantifiée…) peuvent être modèlisés sous forme d'oscillateurs harmoniques. La méthode de recherche des états stationnaires présentée ici est due à Dirac. Elle va nous permettre d'exploiter très efficacement notre formalisme. Elle est également d'un très grand intérêt, car à la base de la "seconde quantification" qui exprime les excitations des systèmes multiparticulaires couplés d'une façon très commode. Vous verrez cela… plus tard ? 11/22 Oscillateur harmonique V (x ) = 1 mω 2 x 2 2 PA101 V(x) H = P + 1 mω2 X 2 2m 2 On définit les opérateur 2 a d’annihilation et a+ de création, et l’opérateur nombre N par : x ⎞ + 1 ⎛ mω ⎞ 1 ⎛ mω i i ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ + P a= X = − a X P mωh ⎟⎠ 2 ⎜⎝ h 2 ⎜⎝ h mωh ⎟⎠ N = a+a ih ⎞ 1 ⎛ mω 2 ⎞⎛ mω i i i 1 ⎛ mω i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ N= ⎜ X− P ⎟⎜ X+ P ⎟⎟ = ⎜ X + P 2 + [X , P ]⎟ h mωh 2⎝ h mωh ⎠ 2 ⎝ h mωh ⎠⎝ h ⎠ 1 ⎛ mω 2 i ⎞ P 2 − 1⎟ N = a+a = ⎜ X + 2⎝ h mωh ⎠ RQ : 12/22 D'où H = hω ( N + 1 / 2) Diagonaliser H revient donc à diagonaliser N X+=X et P+=P. Donc a et a+ sont bien adjoints Oscillateur harmonique PA101 Les commutateurs constituent une clé importante pour la suite : 1 ⎛ mω 2 i ⎞ P 2 + 1⎟ aa = ⎜ X + 2⎝ h mωh ⎠ 1 ⎛ mω 2 i ⎞ P 2 − 1⎟ a a= ⎜ X + 2⎝ h mωh ⎠ Soit φn [a, a + ] = 1 + + un état propre de H (ou N) pour la valeur propre (inconnue réelle) n : φn N φn = φn a a φn = n φn φn = a φn + ( 2 ) D’où n≥0 a φ0 = 0 N a (N φn ) = a a a φn = a aa − 1 φn = a aa + φn − a + φn + + + + + + na + φn = Na + φn − a + φn = ( N − 1)a + φn ⇒ Na + φn = (n + 1)a + φn ⇒ a + φn 13/22 est état propre de l’opérateur nombre pour la valeur propre (n +1) Oscillateur harmonique PA101 L'opérateur a+ permet à partir d'un état propre de N (ou de H = hω ( N + 1 / 2) ) d'en obtenir un autre, de valeur propre n +1 De même on montre facilement que l'opérateur a permet à partir d'un état propre de H (ou N) d'en obtenir un autre, de valeur propre n-1 Ces opérateurs permettent donc de descendre (monter) dans l'échelle des valeurs propres. Or ce processus est fini, puisqu'on a la condition Nécessairement il faut passer par 0, puisque n≥0. a φ0 = 0 propre négative ne doit être générée). Ceci implique n entier ! 14/22 (aucune valeur Oscillateur harmonique PA101 V(x) Conclusion immédiate : E3 E n = hω (n + 1 / 2 ) E2 avec n entier ≥ 0. Les niveaux d'énergie sont équidistants ! E1 La très élégante méthode de Dirac évite la résolution E0 directe de l'équation de Schrödinger. Celle-ci reste nécessaire pour trouver la forme des états stationnaires. Cependant une méthode plus simple consiste d'abord à résoudre ⎛ mω iP ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ h X + mhω ⎟ φ0 = 0 ⎠ ⎝ dφ 0 φ0 15/22 mω =− x dx h ⇒ ⇔ a φ0 = 0 : h d mω φ0 (x ) = 0 xφ0 ( x ) + h mω dx φ0 ( x ) = A ⋅ exp(− mωx 2 / 2h ) 1 ∞ 2 ⎛ mω ⎞ 4 ∫−∞ φ0 (x ) dx = 1 ⇒ A = ⎜⎝ πh ⎟⎠ x Oscillateur harmonique PA101 Pour les états de nombre quantique n > 0 , on utilise le fait que propre pour la valeur propre partir de φ0 n+1. a + φn est état On peut donc fabriquer tous les états propres à par action de (a+)n . L'opérateur a+ ne conservant pas la norme, il y aura une constante de normalisation à ajouter. La phase des états étant quelconque, On l'impose par les relations commodes φn ( ) 1 = a+ n! n φ0 ⇒ On montre facilement (récurrence) : a + φn = n + 1 φn +1 φn (x ) = et a φn = n φn −1 n ⎛ mω h d ⎞ ⎜ ⎟ φ0 ( x ) − x . ⎜ mω dx ⎟⎠ 2 n n! ⎝ h 1 φn (x ) = Pn (x ) ⋅ exp(− mωx 2 / 2h ) Polynôme de degré n, pair/impair, n racines réelles (Hermite) 16/22 Oscillateur harmonique φn ( x ) PA101 2 E9 = 19hω / 2 V(x) … … Amplitude de l'oscillation classique hω E3 = 7 h ω / 2 E2 = 5hω / 2 E1 = 3hω / 2 E 0 = hω / 2 x 17/22 x Oscillateur harmonique 2 E9 = 19hω / 2 … φn ( x ) PA101 Probabilité de présence classique Amplitude de l'oscillation classique x 18/22 Oscillateur harmonique vs. puits quantique Confinement spatial énergie de confinement x 19/22 PA101 x Oscillateur harmonique PA101 La méthode de Dirac utilisant uniquement le langage des états et des opérateurs a permis d'obtenir très vite le spectre des énergies stationnaires de l'oscillateur harmonique. On peut passer d'un état stationnaire à un autre par action de l'opérateur de création ou d'annihilation. La même démarche analytique se retrouve dans la quantification du moment cinétique, et plus généralement dans le formalisme de la seconde quantification qui permet de décrire les excitations de systèmes multiparticulaires (pour les fanas…). On retrouve aux nombres quantique élevés une probabilité de présence qui se rapproche du cas classique. Illustration du Principe de correspondance de Bohr : la mécanique quantique doit se réduire à la mécanique classique à la limite des grands nombres quantiques. 20/22 1er contrôle de connaissances PA101 1er contrôle de connaissances : mardi 6 novembre 1H en fin de PC portera sur toutes les séances jusqu’à aujourd’hui s’appuiera sur le cours oral (slides) + le poly en relation directe avec les séances + les PC jusqu’à aujourd’hui visera à s’assurer de la qualité de vos connaissances sur les bases de la mécanique quantique, et sur sa mise en œuvre consistera en un QCM + 2 exercices Bon travail ! Un élève averti en vaut deux… 21/22 = PA101 C’est tout pour aujourd’hui ! Pensez à : Réviser après chaque cours Préparer le cours suivant Pour vous aider : http://www.ensta.fr/~sibille/PA101/ 22/22