Probabilités - Mathonautes

Probabilités
Dans ce chapitre nous faisons l'étude de ce que l'on appelle des expériences aléatoires (du latin alea qui
signifie "dé" (à jouer), qui se dit…az-zahr en arabe, nous donnant le mot "hasard"!), c'est-à-dire des
phénomènes dont les résultats sont par nature impossibles à prévoir avec exactitude. C'est le but de la
théorie des probabilités.
1. Vocabulaire des probabilités
Définition 1:
Chaque résultat possible et prévisible d'une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à
l'expérience aléatoire.
Exemples:
• Lancer un dé à six faces, "…………………………………………………………….." est une
éventualité de cette expérience aléatoire.
• Tirage des six numéros gagnants du Loto: "……………………………………………………………
……………………………………………………." est une éventualité de cette expérience aléatoire.
Définition 2:
L'ensemble formé par les éventualités liées à une expérience aléatoire est appelé univers de
l'expérience; il est très souvent noté Ω .
Exemples:
• Lancer d'une pièce de monnaie: Ω = {......;......} (……………………………………………………).
• Lancer un dé à six faces: Ω = {......;......;......;......;......} (univers à six éléments).
• Tirage des six numéros gagnants du Loto (univers à 14 millions d'éléments environ !…) :
Ω = {(......;......;......;......;......;......);(......;......;......;......;......;......); etc...}
Définition 3:
Un événement de l'expérience aléatoire est une partie quelconque (un sous-ensemble) de l'univers. Un
événement ne comprenant qu'une seule éventualité est qualifié d'événement élémentaire.
Exemple:
• Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un 5" est un événement élémentaire que l'on peut noter E = {......}
; "obtenir un numéro pair" est un événement de cette expérience aléatoire, que l'on peut noter
F = {......;......;......} ; il est composé des événements élémentaires "…………………………", "……
………………………………" et "…………………………….".
Définition 4:
L'événement qui ne contient aucune éventualité est qualifié d'événement impossible, et est noté ∅ .
L'événement qui est composé de toutes les éventualités (c'est-à-dire Ω lui-même) est appelé
événement certain.
Exemples:
• Tirage des six numéros gagnants du loto: "obtenir la combinaison 3-25-38-59-67-91" est un
événement impossible (les numéros vont de 1 à 49…).
• Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un nombre compris entre 1 et 6 (inclus)" est un événement certain.
Définition 5:
Soient A, B deux événements.
➔ L'événement A et B est l’événement qui se réalise lorsque A et B se réalisent simultanément. On
le note A ∩ B (qui se lit « A inter B »).
➔ L'événement A ou B est l’événement qui se réalise lorsque au moins l’un des événements A et B
se réalise. On le note A ∪ B (qui se lit « A union B »).
Cours probabilités
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Définition 6:
Deux événements E et F d'une expérience aléatoire seront dits incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune
éventualité en commun (c'est-à-dire lorsque l'intersection des sous-ensembles E et F est vide:
E ∩ F = ∅ ).
Exemples:
• Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un 3" ( E = {3} ) et "obtenir un nombre pair" ( F = {2; 4;6} ) sont
des événements incompatibles: E ∩ F = ∅ .
• Lancer d'un dé à six faces: "obtenir un nombre inférieur ou égal à 3" ( E = {1; 2;3} ) et "obtenir un
nombre pair" ( F = {2; 4;6} ) ne sont pas des événements incompatibles: E ∩ F = {......} ≠ ∅ .
Définition 7:
Pour tout événement E, il existe un événement noté E , et appelé événement contraire de E, qui est
composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans E.
Exemples:
• Lancer d'une pièce de monnaie: si E = {P} (événement "obtenir le côté Pile") alors son événement
contraire est E = {......} (événement "………………………………………………………").
• Lancer d'un dé à six faces: si E = {1; 2;3; 4} (événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4")
alors son événement contraire est E = {......;......} (événement "obtenir un nombre sup ou égal à 5").
Propriétés:
➔ Un événement E et son événement contraire E sont incompatibles: E ∩ E = ∅ .
➔ Le contraire de l'événement E est E lui-même: E = E .
➔ Le contraire de l'événement impossible est l'événement certain: ∅ = Ω .
2. Probabilité d'un événement dans une expérience aléatoire
Définition 8
Lors d'une expérience aléatoire, la probabilité d'un événement E, notée p( E ) , est un nombre
compris entre 0 et 1, et mesurant la fréquence théorique de réalisation de l'événement E.
Propriété: la probabilité d'un événement E peut s'obtenir en additionnant les probabilités des
événements élémentaires qui le composent.
• Lancer d'un dé à six faces, chaque face a la même probabilité d’apparaître ; puisque la somme de leurs
......
probabilités est égale à 1, chaque face a une probabilité d’apparaître égale à
(voir plus bas).
......
• Si on appelle E l'événement "obtenir un nombre pair", alors on a E = {......;......;......} et on peut
calculer p ( E ) = p({ 2} ) + p ({ 4} ) + p ({ 6} ) = ...... + ...... + ...... = ...... = ....... ; l'événement "obtenir un
nombre pair" a "une chance sur …………" de se produire…
Définition 9
Une situation d'équiprobabilité est une situation dans laquelle chaque événement élémentaire de
l'univers Ω = { e1 ; e2 ;...; en } a la même probabilité d'apparition; on a alors
1
p({ e1} ) = p ({ e2 } ) = ... = p ({ en } ) = .
n
Théorème :
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Dans ce cas (équiprobabilité) on peut calculer la probabilité de n'importe quel événement E par la
formule:
p( E ) =
nombre d'éléments de E
nombre d'éléments de Ω
Exemples: toutes les situations suivantes sont des situations d'équiprobabilité:
1
1
• Lancer d'une pièce de monnaie: p({P}) =
et p ({F }) = . Autrement dit, la probabilité (fréquence
2
2
1
d'apparition théorique) des événements "obtenir le côté Pile" et "obtenir le côté Face" est égale à :
2
ces événements ont "une chance sur deux" de se produire.
1
• Lancer d'un dé à six faces: p({1}) = p ({2}) = ... = p ({6}) = : la probabilité d'obtenir un 1 (ou un 2,
6
1
etc…) est égale à : cet événement a "une chance sur six" de se produire.
6
• Lancer d'un dé à six faces, si on appelle E l'événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4",
nombre d'éléments de E 4 2
= = ; l'événement
alors on a E = {1; 2;3; 4} et on peut calculer p ( E ) =
nombre d'éléments de Ω 6 3
"obtenir un nombre inférieur ou égal à 4" a "deux chances sur trois" de se produire…
Propriétés:
➔ Pour tout événement E on a 0 ≤ p ( E ) ≤ 1 .
➔ La probabilité de l'événement certain Ω est égale à 1, celle de l'événement impossible ∅ est égale à
0: p(Ω) = 1 et p (∅) = 0 .
➔ Si E et F sont deux événements incompatibles, alors on a p ( E ∪ F ) = p ( E ) + p ( F )
➔
Si E et F sont deux événements compatibles, alors on a p( E ∪ F ) = p ( E ) + p ( F ) − p ( E ∩ F )
➔
Si E est un événement, dont l'événement contraire est E , alors on a p E = 1 − p ( E ) .
( )
Exemples:
• Tirage au hasard d'une carte dans un jeu de 32 cartes: l'univers, composé de 32 éléments, est donné
par Ω = {7♣;7♦;7♥;7♠;8♣;8♦;......;1♥;1♠} . On note E l'événement "tirer un carreau". On a donc
p( E ) = p ({7♦;8♦;9♦;...; R♦;1♦}) = ...... = ......
Soit E l'événement "tirer une carte autre qu'un carreau", qui est l'événement contraire de E. Alors on
( )
peut directement écrire que p E = 1 − p ( E ) = ..................... = ...... .
•
Tirage au hasard d'une carte dans un jeu de 32 cartes: les événements E = "tirer un 7" =
{7♣;7♦;7♥;7♠} et F = "tirer un 8" = {8♥;8♠;8♣;8♦} sont incompatibles; on a ainsi
E ∪ F = "tirer un 7 ou un 8" et p( E ∪ F ) = p( E ) + p ( F ) = ................................. = ......... = .........
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