23 Le nombre π C’est une leçon de type « large », c’est-à-dire une leçon de synthèse. 23.1 La fonction exponentielle complexe P xn est convergente. n! P zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. P zn Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série , ce n! qui définit ainsi la fonction exponentielle complexe. Théorème 23.3 1. Pour tout nombre complexe z, on a ez = ez . 2. Pour tout nombre réel t, on a |eit | = 1. 23.1.1 Les fonctions cosinus et sinus et le nombre π On définit les fonctions cosinus et sinus par : ¡ ¢ ¡ ¢ ∀t ∈ R, cos (t) = < eit et sin (t) = = eit . Théorème 23.4 Les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables sur R avec : ∀t ∈ R, cos0 (t) = − sin (t) et sin0 (t) = cos (t) . Lemme 23.2 L’ensemble E = {t ∈ ]0, 2[ | cos (t) = 0} est non vide et admet une borne inférieure t0 ∈ ]1, 2[ . On peut maintenant définir le nombre π par π = 2t0 . Théorème 23.5 On a : π 1. ei 2 = 1. 2. eiπ = −1. 3. La fonction z 7→ ez − 1 s’annule uniquement sur 2iπZ. 457 458 23.1.2 Le nombre π Le lien avec le nombre π des géomètres Théorème 23.6 La fonction t 7→ eit réalise une surjection de R sur le cercle unité du plan euclidien. Le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par : t 7→ (cos (t) , sin (t)) Théorème 23.7 Le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π. 23.2 La fonction arc-tangente comme primitive de 1 1 + x2 On propose ici une autre présentation du nombre π. On désigne par f la fonction définie sur R par : Z x dt ∀x ∈ R, f (x) = . 2 0 1+t Théorème 23.8 1. La fonction f est impaire, indéfiniment dérivable sur R et strictement croissante. 2. f est bornée sur R. On peut définir réel : ` = lim f (x) x→+∞ π et le nombre π par ` = . 2 i π πh . Théorème 23.9 f réalise un homéomorphisme de R sur − , 2 2 La fonction f est appelée fonction arc-tangente et notée arctan . Exercice 23.1 Montrer que arctan (1) = π . En déduire des méthodes de calcul approché de π. 4 Exercice 23.2 Montrer que : µ ¶ 1 x π ∀x ∈ R , arctan (x) + arctan . = x |x| 2 ∗ Exercice 23.3 Montrer que pour tous réels x, y tels que xy 6= 1, on a : µ ¶ x+y 1 − xy arctan arctan (x) + arctan (y) = |1 − xy| 1 − xy µ ¶ ¡√ ¢ 1 Exercice 23.4 Calculer arctan 3 et arctan √ . 3 La fonction arc-tangente comme primitive de 23.2.1 1 1 + x2 459 Les fonctions tangente, cosinus et sinus i π πh On définit la fonction tangente sur − , comme la fonction réciproque de la fonction 2 2 arc-tangente. Cette fonction est notée tan soit : ´ ³ i π πh et y = tan (x) ⇔ (y ∈ R et x = arctan (y)) x∈ − , 2 2 ³π ´ Cette fonction est prolongée par π-périodicité à R \ + πZ . 2 23.10 La fonction tan est indéfiniment dérivable et strictement croissante sur iThéorème π πh − , avec : 2 2 i π πh ∀x ∈ − , , tan0 (x) + 1 + tan2 (x) 2 2 On définit les fonctions cos et sin sur R par : ¡ ¢ 2 x 1 − tan ¡ 2 ¢ si x ∈ / πZ cos (x) = 1 + tan2 x2 (−1)k si x = kπ avec k ∈ Z ¡x¢ 2 tan 2¡ ¢ si x ∈ / πZ cos (x) = 1 + tan2 x2 0 si x = kπ avec k ∈ Z Théorème 23.11 Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques, indéfiniment dérivables sur R, la fonction cos étant paire et la fonction sin impaire, avec : ∀t ∈ R, cos0 (t) = − sin (t) et sin0 (t) = cos (t) . On a : ∀x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. Exercice 23.5 Retrouver les usuelles formules de trigonométrie. Exercice 23.6 Retrouver les développements en série entière de cos et sin . 23.2.2 Le lien avec le nombre π des géomètres Exercice 23.7 Montrer que le cercle unité du plan euclidien peut être paramétré par : t 7→ (cos (t) , sin (t)) Exercice 23.8 Montrer que le périmètre du cercle unité du plan euclidien vaut 2π. 460 23.3 Le nombre π Irrationalité de π 2 et de π On désigne par (Un )n∈N la suite de fonctions polynomiales définie par : ∀n ∈ N, Un (x) = xn (1 − x)n . n! et par (Ln )n∈N la suite des polynômes de Legendre définie par : ∀n ∈ N, Ln = Un(n) . Lemme 23.3 Pour tout entier naturel n, Ln est une fonction polynomiale à coefficients entiers relatifs de degré n. Lemme 23.4 Si (Ik )k∈N est la suite de réels définie par : Z 1 ∀k ∈ N, Ik = sin (πt) tk dt, 0 alors : 2 1 I0 = , I1 = , π π 1 k (k − 1) Ik = − Ik−2 (k ≥ 2) π π2 et pour · tout ¸ entier naturel non µ nul ¶ k, il existe un polynôme Qk à coefficients entiers relatif de k 1 1 degré tel que Ik = Qk . 2 π π2 On définit la suite de réels (Rn )n∈N par : Z 1 ∀n ∈ N, Rn = sin (πt) Ln (t) dt. 0 Lemme 23.5 Pour h n i tout entier naturel non nul n, il existe un polynôme Pn à coefficients entiers relatifs de degré tel que : 2 µ ¶ 1 1 Rn = P n . π π2 Lemme 23.6 Pour tout entier naturel n, R2n est non nul et lim R2n = 0. n→+∞ Théorème 23.12 π 2 est irrationnel. De l’irrationalité de π 2 on déduit celle de π. Exemples de séries approximant π 23.4 461 Exemples de séries approximant π Pour chacune des séries de somme égale à π, on note Sn la somme partielle d’indice n et Rn = |π − Sn | l’erreur d’indice n. On a la série de Grégory : +∞ π X (−1)n = 4 2n + 1 n=0 Cette série converge lentement : R10 w 9.072 3 × 10−2 , R100 w 9.900 7 × 10−3 , R1000 w 9.99 × 10−4 Le théorème des séries alternées nous dit que cette erreur est majorée par Une formule d’Euler : 4 . 2n + 3 +∞ X 2n (n!)2 π=2 (2n + 1)! n=0 On a : R10 w 4.866 3 × 10−4 , R100 w −5. 048 7 × 10−29 La série de Machin donne une meilleure approximation : π = 16 +∞ X n=0 +∞ X (−1)n 1 (−1)n − 4 52n+1 2n + 1 2392n+1 2n + 1 n=0 1 On a : R5 w 9.744 8 × 10−10 , R10 w 5.628 5 × 10−17 , R20 w 1.514 6 × 10−28 Pour la culture, on a aussi. La formule de Plouffe qui converge rapidement : π= +∞ µ X n=0 4 1 1 1 − − − 8n + 1 4n + 2 8n + 5 8n + 6 ¶ 1 16n On a : R5 w 3.617 1 × 10−10 , R10 w 1.088 5 × 10−16 , R20 w 1.009 7 × 10−28 La plus belle formule est celle de Ramanujan : π= 9801 . √ +∞ P (4n)! 1103 + 26390n 2 2 4 3964n n=0 (n!) Il l’énonça en 1910, mais ne fut démontrée qu’en 1985 par les frères Borwein. On a : R2 w 5.682 5 × 10−24 , R3 w 5.048 7 × 10−29 462 Le nombre π