devoir n°3 - ambition

LFA/DSmathématiques
TSA-TSB
2014-2015
1
Exercice 1 : commun à tous les candidats
 
(
)
Surlegraphiqueci-dessous,onatracé,dansleplanmunid’unrepèreorthonormé O ; i ; j ,lacourbereprésentative Cf d’unefonction f définieetdérivablesurl’intervalle ⎤⎦ 0 ; + ∞ ⎡⎣ .
Ondisposedesinformationssuivantes:
( ) ( ) (
)
•
lespoints A ; B ; C ontpourcoordonnéesrespectives 1; 0 ; 1; 2 ; 0 ; 2 ;
•
lacourbe Cf passeparlepoint B etladroite BC esttangenteà Cf en B ;
•
ilexistedeuxréelspositifs a et b telsquepourtoutréelstrictementpositif x , f x =
( )
()
()
()
a + bln x
.
x
1) a/Enutilisantlegraphique,donnerlesvaleursde f 1 et f ′ 1 .
b − a − bln x
( ) ( )x ( ) .
b/Vérifierquepourtoutréelstrictementpositif x , f ′ x =
c/Endéduirelesréels a et b .
2
()
()
2) a/Justifierquepourtoutréel x appartenantàl’intervalle ⎤⎦ 0 ; + ∞ ⎡⎣ , f ′ x alemêmesigneque − ln x .
b/Déterminerleslimitesde f en 0 eten +∞ .Onpourraremarquerquepourtoutréel x strictementpositif,
()
f x =
2
ln x
.
+2
x
x
c/Endéduireletableaudevariationsdelafonction f .
()
3) a/Démontrerquel’équation f x = 1 admetuneuniquesolution α surl’intervalle ⎤⎦ 0 ;1⎡⎣ .
b/Parunraisonnementanalogue,ondémontrequ’ilexisteununique β del’intervalle ⎤⎦1; + ∞ ⎡⎣ telque
( )
f β = 1 Déterminerl’entier n telque n < β < n + 1 .
4) Ondonnel’algorithmeci-dessous:
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b/Quereprésententlesvaleursaffichéesparcetalgorithme?
c/Modifierl’algorithmeci-dessuspourqu’ilaffichelesdeuxbornesd’unencadrementde β d’amplitude 10 .
a/Fairetournercetalgorithmeencomplétantletableauci-dessousquel’onrecopierasurlacopie
−1
Exercice 2 : commun à tous les candidats
Cetexerciceestunquestionnaireàchoixmultiples.Pourchacunedesquestions,uneseuleréponseestexacte.
Lecandidatindiquerasurlacopielaréponsechoisie.Chaqueréponsedevraêtrerigoureusementjustifiée.
L’absencedejustificationneserapaspriseencompte
1) Soit z1 =
a. 3e
i
19 π
12
i
π
6e 4 et z2 = 2e
−i
π
3
.Laformeexponentiellede i
b. 12e
−i
π
12
z1
est:
z2
c. 3e
i
7π
12
d. 3e
i
13π
12
2) L’équation −z = z ,d’inconnue z ,admet:
a.unesolution
b.deuxsolutions
c.uneinfinitédesolutionsdontlespointsimagesdansleplancomplexesontsituéssurunedroite.
d.uneinfinitédesolutionsdontlespointsimagesdansleplancomplexesontsituéssuruncercle.
(
) (
)
(
)
3) Dansunrepèredel’espace,onconsidèrelestroispoints A 1; 2 ; 3 , B −1; 5 ; 4 et C −1; 0 ; 4 .
( )
Ladroiteparallèleàladroite AB passantparlepoint C apouréquationparamétrique:
(
 
)
4) Leplanestrapportéaurepèreorthonormaldirect O ; u ; v .Onconsidèrelespoints A ; B ; C d’affixes
respectives: a = 2 + 2i ; b = − 3 + i ; c = 1+ i 3 .
( ) ( )
a.lesdroites AB et AC sontperpendiculaires.
b.letriangle ABC estéquilatéral
c.lespoints A ; B ;C sontalignés
d.letriangle ABC estisocèleen A Page2
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Exercice 3 : commun à tous les candidats
( ) ( )
Onnote un et vn lessuitesréellesdéfinies,pourtoutentiernaturel,par:
⎧⎪u = 3u − v
n
n
u0 = 1 ; v0 = 0 et ⎨ n+1
⎪⎩vn+1 = un + 3 vn
1) Calculerlesvaleursde u1 , v1 , u2 , v2 .
2) Onsouhaiteconstruireunalgorithmequiaffichelesvaleursde uN et v N pourunentiernaturel N donné.
a/Ondonnel’algorithmesuivant:
Fairefonctionnercetalgorithmepour N = 2 .Pourcela,onrecopieraetcompléteraletableaudevariables
ci-dessous:
b/L’algorithmeprécédentaffiche-t-illesvaleursde uN et v N pourunentier N donné?
Danslecascontraire,écriresurlacopieuneversioncorrigéedel’algorithmeproposéquiaffichebienles
valeursde uN et v N pourunentiernaturel N .
3) Onpose,pourtoutentiernaturel n , z n = un + ivn .
Onnote a =
3 + i .
a/Démontrerque,pourtoutentiernaturel n :
z n+1 = az n b/Écrire a suslaformeexponentielle.
c/Endéduireque,pourtoutentiernaturel n :
⎧
⎛ nπ ⎞
n
⎪un = 2 cos ⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠
⎪
⎨
⎛
⎞
n
π
n
⎪v = 2 sin
⎜⎝ 6 ⎟⎠
⎪ n
⎩
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Exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
(
 
)
Leplanestrapportéàunrepère O ; i ; j Soitaunnombreréelstrictementpositif
Onnote∆aladroited’équationy=axetΓlacourbereprésentativedelafonctionexponentielledanslerepèreorthonormal
 
(
)
repère O ; i ; j Lebutdecetexerciceestdedéterminerlenombredepointsd’intersectiondeΓetde∆asuivantlesvaleursdea.
Pourcela,onconsidèrelafonctionfadéfiniepourtoutnombreréelxpar: fa(x)=ex–ax.
Onadmetpourtoutréelaquelafonctionfaestdérivablesurl’ensembledesnombresréels.
1) Etudeducasparticuliera=2
Lafonctionf2estdoncdéfiniepourtoutréelxréelparf2(x)=ex–2x.
a) Etudierlesvariationsdelafonctionf2surl’ensembledesréelsetdressersontableaudevariationsur
l’ensembledesréels.(onnedemandepasdedéterminerleslimitesauxbornesdel’ensemblededéfinition).
b) EndéduirequeΓetde∆2n’ontpasdepointd’intersection.
2)
Etudeducasgénéraloùaestunréelstrictementpositif.
a) Déterminerleslimitesdelafonction f a en+∞eten–∞.
b) Etudierlesvariationsdelafonctionfasurl’ensembledesréels.
Montreralorsqueleminimumsurl’ensembledesréelsdelafonctionfaesta–alna.
c) Etudierlesignedea–alnasuivantlesvaleursduréela.
d) Déterminerselonlesvaleursduréel a lenombredepointscommunsàΓetde∆a.
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