Chapitre 1 : Les nombres entiers et rationnels I. Les familles de

3ème
Chapitre 1 : Les nombres entiers et rationnels
I. Les familles de nombres
Vocabulaire sur les nombres
Il existe plusieurs familles de nombres
• Les nombres entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ….
• Les nombres entiers relatifs : ….. ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ….
• Les nombres décimaux relatifs : par exemple 4,56 ou – 0,756
Ces nombres peuvent s'écrire sous la forme d'un entier relatif divisé par une puissance de 10.
Par exemple : 4,56 = 456/102 - 7 567/103
• Les nombres rationnels : ce sont les nombres que l'on peut écrire sous la forme d'une
fraction
7
18
Par exemple :
ou 3
11
Attention ! Un même nombre peut appartenir à plusieurs familles.
Par exemple : 7 est un nombre entier naturel mais aussi un entier relatif, un nombre décimal
relatif (7 = 7,0), et aussi un nombre rationnel (7 = 7/1)
• Les nombres irrationnels : ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
Pour l'instant, tu n'en connais qu'un : le nombre π
On admet que ce nombre ne s'écrit pas sous la forme d'une fraction.
II. Division euclidienne
A) Multiples et diviseurs
Définition
a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul.
si a=b×k (ou a : b=k ) où k est un entier naturel.
alors a est multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a ou b divise a
1 est un diviseur de tout entier.
Chaque entier est divisible par lui-même
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1 274 est-il un multiple de 49 ?
1 274 : 49 = 26 donc 1 274 = 49 x 26
1 274 est donc un multiple de 49 (et de 26)
On dit également que :
• 1 274 est divisible par 49 (et par 26) ;
• 49 est un diviseur de 1274 (et 26
aussi) ;
• 49 divise 1 274 (26 divise aussi 1 274)
1 974 est-il divisible par 84 ?
1 974 : 84 = 23,5
23,5 n'est pas un entier naturel donc 1 974 n'est
pas divisible par 84.
On dit également que :
• 84 n'est pas un diviseur de 1 974 ;
• 1 974 n'est pas un multiple de 84.
Propriété
Si un nombre d est un diviseur de deux nombres, alors il divise leur somme et leur différence.
B) Division euclidienne
Définition
Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et
r tels que a=b×q+r avec r < b où q est le quotient (entier) et r le reste de la
division euclidienne.
III.
PGCD de deux entiers naturels
Définition
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Diviseur Commun.
a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD (a ; b) = b
a et b étant des entiers naturels, PGCD(a ; b) = PGCD (b; a)
Théorème
a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Si a ≥ b alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a-b)
Utiliser l'algorithme des soustractions
Déterminer le PGCD (189 ; 693)
Théorème
a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Si a ≥ b alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
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Utiliser l'algorithme d'Euclide
Déterminer le PGCD (782 ; 136)
III. Fractions irréductibles
Définition
Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels.
45 et 91 sont-ils premiers entre eux ?
426 et 568 sont-ils premiers entre eux ?
Définition
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
Rends les fractions
75
396 136
;
;
irréductibles.
105
360 782
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