GEL-1000 Circuits ÉLÉMENTS DE BASE Objectifs • • • • • • • • • • connaître les types de circuits, de matériaux, de signaux électriques; connaître les paramètres électriques dans un circuits (charges électriques, tension, courant, puissance, énergie) exploiter les relations qui unissent les paramètres électriques; connaître les éléments de base d’un circuit électrique (résistance, condensateur, inductance); apprendre le vocabulaire de base relatif au génie électrique; connaître les relations v-i des éléments de base; déterminer tous les paramètres électriques aux bornes d’un élément en fonction de l’un d’eux; comprendre la fonctionnement d’un transformateur idéal; reconnaître les différents types de sources (tension, courant) indépendantes ou commandées (par tension, par courant); comprendre le fonctionnement d’un amplificateur opérationnel idéal. 2/65 Circuit électrique § Un circuit électrique ou un réseau électrique fil vs + - O O Résistance O O fil § Un cicuit électrique peut être complexe 3/65 Éléments de circuits électriques Paire de bornes i + v - Multipôles Dipôle Quadripôle + + v - i1 v1 - i2 + v2 - i 4/65 Courant électrique § Un courant électrique traduit le déplacement d’électrons libres sous l’influence d’un champ électrique. Conducteur Sens du courant électrique i - - - - - - - Sens de déplacement des électrons § Un courant électrique est le taux de variation dans le temps de la charge électrique qui traverse un point donné du circuit. dq i= dt 5/65 Calcul de q – 2 Exemples Ex 1: Calculer la charge électrique qui a traversé la borne d’un élément à l’instant t quand le courant varie comme i = -2 q0 e-2t et q(0) = q0. Ex 2: Calculer la charge électrique qui traverse la borne d’un élément entre les instants t = 0 et t = 3 s quand le courant entrant à cette borne varie comme indiqué sur la figure. i (A) 3 1 1 3 t (s) 6/65 Conducteurs et isolants électriques § Les électrons libres se déplacent dans un matériau conducteur sous l’influence d’un champ électrique. § Un matériau conducteur a beaucoup d’électrons libres Courants électriques importants § Un matériau isolant a très peu d’électrons libres Empêche la circulation de courants électriques 7/65 Courant continu et courant alternatif § Quand le courant est constant, il est noté I et appelé “Courant Continu (CC)”. En anglais “Direct Current (DC)”. i (A) I 0 t (s) § Quand le courant est périodique, il est appelé “Courant Alternatif (CA)”. En anglais “Alternating Current (AC)”. 8/65 Tension § La tension est l’habilité à déplacer des électrons entre deux points d’un circuit. b a Conducteur Courant i - + - - Tension v - - § L’équation de la tension entre les bornes a et b est donnée par: dw v= dq 9/65 Puissance électrique & énergie § La puissance électrique mesure le taux de variation dans le temps de l’énergie électrique: dw p= dt § Comment calculer l’énergie à partir de la puissance ? p (W) Puissance p(t) Énergie w(t) 0 t t (s) 10/65 Exemple § Un élément électrique soumis à une tension transitoire v = 8 e -t est traversé par un courant électrique i = 20 e-t . Trouver la puissance fournie par l’élément et l’énergie fournie pendant la première seconde d’opération. On suppose la tension et le courant nuls aux temps négatifs. 11/65 Puissance reçue & Puissance fournie Convention passive Convention active i i + v - - v + Si p > 0: l’élément absorbe de la puissance Si p > 0: l’élément fournit de la puissance Si p < 0: l’élément fournit de la puissance Si p < 0: l’élément absorbe de la puissance 12/65 Exemple (a) Lesquels des éléments fournissent 12 W ? (b) Lesquels des éléments absorbent 12 W ? (c) Quelle est la valeur de la puissance reçue par l’élément B ? (d) Quelle est la valeur de la puissance fournie par l’élément B ? (e) Quelle est la valeur de la puissance fournie par l’élément D ? 3A (A) + 4V 6A - - + 6V + 4A 2A (C) 2V (B) - - (D) 3V + 13/65 Résistance 14/65 Résistivité électrique § L’habileté d’un matériau à résister à une circulation de charges électriques s’appelle: la résistivité électrique. Symbole ρ, unité (Ω . m) Matériau Polystyrène Silicium Carbone Aluminium Cuivre Résistivité ρ (Ω . m) 1 x 1016 2.3 x 103 4 x 10-5 2.7 x 10-8 1.7 x 10-8 15/65 Résistance électrique & loi d’Ohm § La résistance électrique est la propriété d’un élément qui s’oppose à la circulation du courant électrique. R= ρL R S § Loi d’Ohm v=Ri i=Gv 16/65 Georg Simon Ohm-Savard 1789-1854 17/65 Linéarité de la loi d’Ohm § Ceci n’est pas toujours vrai, la relation v-i dans une résistance peut être parfois non-linéaire. v - im 0 im i 18/65 Puissance et énergie fournies à une résistance § Puissance fournie à une résistance en fonction de la tension v2 p= R § Puissance fournie à une résistance en fonction du courant p=Ri 2 § Énergie fournie à une résistance t w= ∫ p dt = −∞ t 2 R i ∫ dt = −∞ t ∫ −∞ v2 dt R 19/65 Tension, courant, puissance et énergie dans une résistance 20/65 Condensateur 21/65 Condensateur & Capacité § Un condensateur est un élément électrique constitué de 2 plaques conductrices séparées par un matériau isolant. Surface A Charge +q C= ε A d + + + + + + + + + + + + + ! E Surface A Isolant -- Charge -q - C d e: permittivité électrique de l’isolant A: surface des plaques d: distance entre les plaques Unité: Farad (F) 22/65 Champ électrique et relation tension-courant Surface A Charge +q + + + + + + + + + + + + + ! E Surface A Isolant -- Charge -q - q Champ électrique: E = ε A Tension: v=E.d d dv i=C dt 23/65 Tension, courant, puissance et énergie dans un condensateur 24/65 Exemples Ex1: Cas particulier d’une tension continue + C 12 V - Ex2: Pour un condensateur de capacité C, soumis à une tension variant selon la figure ci-dessous. (a) Trouver le courant i(t) qui le traverse. (b) Que se passe-t-il quand M est très faible ? (c) Que peut-on conclure ? v vmax 0 M t 25/65 Énergie emmagasinée dans un condensateur - Le condensateur emmagasine l’énergie par la séparation des charges entre les plaques. 1 2 w= Cv 2 - Les charges créent un champ électrique entre les deux plaques. - L’énergie est emmagasinée sous forme d’un champ électrique. - Le condensateur est un élément accumulateur d’énergie. Il peut absorber ou fournir de l’énergie. Il ne la dissipe pas. 26/65 Exemple La tension v(t) aux bornes d’un condensateur de capacité 5 mF varie comme indiqué sur la figure. Déterminer le courant i(t) qui le traverse, la puissance p(t) et l’énergie w(t). v i=? p=? 100 50 w=? 0 1 2 3 t 27/65 Exemple La tension aux bornes d’un condensateur de capacité C=4 mF initialement chargé à Vinit=2V, varie suivant l’équation vc(t)=2+2log(t+1)2 entre t=0 et t=9s, pour atteindre Vfin=6V. Déterminer l’énergie fournie wC au condensateur. 28/65 Inductance 29/65 Inductance Champ magnétique créé par un courant électrique circulant dans un fil droit L’intensité du champ magnétique en un point P situé a une distance r du fil est donnée par la loi d’Ampère: H= i 2π r Unité (A / m) 30/65 Densité du champ magnétique Flux magnétique La densité de flux magnétique : ! ! B=µ H Unité: Tesla (T) Le flux magnétique à travers une surface S : ! ! φ = ∫ B dS S Unité: Weber (Wb) 31/65 Champ magnétique dans une bobine + v i i N tours Flux total dans la bobine: µ N 2A L= h Nφ = L i A: aire de la section h: hauteur de la bobine m: perméabilité magnétique 32/65 Caractéristique v-i d’une inductance Loi de Faraday di v=L dt i + L est représentée par: v L Exemple 1 : Cas particulier d’un courant constant Exemple 2 : Courant i dans une inductance 33/65 Michael Faraday-Grenier 1791-1867 34/65 Énergie dans une inductance § Énergie accumulée dans une inductance 1 2 w= Li 2 § L’énergie est accumulée sous forme d’un champ magnétique. § L’inductance est un élément accumulateur d’énergie. Elle peut absorber ou fournir de l’énergie. Elle ne la dissipe pas. 35/65 Tension, courant, puissance et énergie dans une inductance 36/65 Exemple Déterminer la tension, la puissance et l’énergie pour une inductance de 0.1 H quand le courant change comme montré sur la figure. i (A) 20 t (s) 0 1 37/65 Les équations à retenir Résistance R= ρL S v=Ri v i= R v2 p = v i = = R i2 R Condensateur C= ∫ p dt −∞ d dv i=C dt 1 v= C t ∫ i dt −∞ p=vi t w= ε A w= 1 C v2( t ) 2 Inductance µ N 2A L= h di v=L dt 1 i= L t ∫ v( t ) dt −∞ p=vi 1 2 w = L i (t ) 2 38/65 Notes sur s et impédance/admittance Pour alléger l’écriture (et conformément à ce qui suivra): • on remplace d/dt par s • et ∫ dt par 1/s Pour nommer les éléments simples par leur nom • Impédance: v = Zi suivant la relation v = (R+X(s))i – résistance: R – réactance: X(s) – on a v= Ldi/dt donc réactance inductive Ls – et i=Cdv/dt ou encore v = 1 ∫ i dt donc réactance capacitive 1/(Cs). C • Admittance: i = Yv suivant la relation i = (G+B(s))v – conductance: G (si Z=R alors G=1/R) – susceptance: B(s) inductive 1/(Ls) ou capacitive Cs. 39/65 Transformateur idéal 40/65 Transformateur idéal Un transformateur est un quadripôle formé par le couplage mutuel de deux inductances entourant le même noyau magnétique. Le courant i1 dans la bobine au primaire crée un flux magnétique circulant dans le noyau; la bobine au secondaire capte le flux magnétique qui, par induction, crée une force électromotrice v2. Une tension v1 appliquée aux bornes de la première bobine induit une tension v2 dans la seconde bobine. Les transformateurs sont souvent utilisés pour amplifier des signaux alternatifs (AC). 41/65 Sens du filage … La polarité de la tension v2 par rapport à la tension v1 dépend du sens d’enroulement des deux bobines autour du noyau magnétique. 42/65 Sens du filage La polarité de la tension v2 par rapport à la tension v1 dépend du sens d’enroulement des deux bobines autour du noyau magnétique. 43/65 Les équations v2 ( t ) N 2 = v1 ( t ) N 1 i2 ( t ) N1 =− i1 ( t ) N2 Rapport de transformation: N1 a= N2 44/65 Puissance dans un transformateur idéal La puissance absorbée par un transformateur idéal est nulle. Circuit 2 (Charge) Circuit 1 (Source) Primaire Secondaire 45/65 Exemple Une source de tension vs est connectée au primaire d’un transformateur de rapport 4. La charge est une résistance R. Déterminer la tension aux bornes de la résistance, ainsi que les courants i1 et i2 dans le primaire et le secondaire. 4:1 + Vs R - 46/65 Éléments actifs 47/65 Éléments électriques actifs Les éléments actifs représentent les sources d’énergie dans un circuit électrique. Sources de tension Sources indépendantes Sources de courant Sources commandées Le courant entre par la borne négative (-) i + v 48/65 Sources indépendantes Définition: Les sources indépendantes possèdent des caractéristiques qui sont indépendantes des variables du circuit. Source de tension: Tension vs(t) indépendante du courant qui la traverse et des autres variables du circuit. Source de courant: Courant is(t) indépendante de la tension à ses bornes et des autres variables du circuit. + is vs Source de tension Source de courant 49/65 Exemples de sources indépendantes 50/65 Sources indépendantes (suite) Convention de polarité + i p=vi vs Source de tension + is v p=vi Source de courant 51/65 Sources commandées ou dépendantes Définition Les sources commandées possèdent des caractéristiques qui dépendent des variables (tension ou courant) dans une autre partie du circuit. Exemples Transistor, amplificateur opérationnel Caractéristique Une source commandée est caractérisée par la relation entre la tension (ou le courant) de sortie et la tension (ou le courant) d’entrée. 52/65 Sources de tension commandées Commandée par une tension + + - vc vd = m vc - m: gain sans dimension ic Commandée par un courant + - vd = r ic r: gain (dimension R) 53/65 Sources de courant commandées + Commandée par une tension id = g vc vc - g: gain (dimension G) ic Commandée par un courant vd id = a ic a: gain (sans dimension) 54/65 L’amplificateur opérationnel § Circuit intégré § Composant complexe: transistors, diodes, résistances, condensateurs Symbole 55/65 Amplificateur Opérationnel Connections externes Boîtiers types 56/65 Modèle d’un Amplificateur Opérationnel Ampli Op uA741 + vd - Rd AOL vd + - Ro + AOL = 105 BW = 100 Hz Rd = 1 MΩ R0 = 100 Ω vo 57/65 Amplificateur Opérationnel Idéal + + vd - AOL vd + - vo - Ampli Op Idéal AOL = ∞ Rd = ∞ R0 = 0 58/65 Principe d’utilisation de l’ampli-op idéal • AOLè∞ • vo est finie donc • vdè0 • v+=v- • Rdè∞ donc • idè0 • i+=i-=0 si v+>v- alors vo=+Vcc (saturation) si v+<v- alors vo= -Vcc (saturation) è rétroaction négative obligatoire pour obliger v+=vet ainsi éviter la saturation 59/65 Exemple: Ampli Op is=0 + vs - a + - d + 2Ω b + + v2 - vo 1Ω v1 i R=9Ω Exprimer v0 en fonction de vs - - c Circuit avec un ampli op is=0 + + vs - A vs + - Source de tension commandée par une tension v0 - 60/65 Amplificateur Inverseur v0 RF Av = =− vs R1 61/65 Amplificateur Non Inverseur v0 R2 Av = = 1+ v2 R1 62/65 Amplificateur Sommateur RF RF RF v0 = − vs1 − vs 2 − vs 3 R1 R2 R3 63/65 Amplificateur Dérivateur v0 = − R C dvs dt 64/65 Amplificateur Intégrateur 1 v0 = − vs dt RC ∫ 65/65 Filtre à Amplificateur Opérationnel Filtre passe-bas du premier ordre 66/65