Collège Elie COUTAREL Année 2009-2010. G.MANDALLAZ. Ecrit avec LATEX Trigonométrie dans le triangle rectangle 1 Vocabulaire et notations On considère un triangle ABC rectangle en B. b B b et C b les angles BAC, \ ABC \ et ACB. \ Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on note respectivement A, Le côté [AC] du triangle est particulier, on dit qu’il est l’hypoténuse du triangle. b: Relativement à l’angle A i [BC] est le côté opposé (le côté "en face" de l’angle). i [AB] est le côté adjacent (le côté qui touche l’angle et qui n’est pas l’hypoténuse). b : Relativement à l’angle C i . . . . . . est le côté opposé. i . . . . . . est le côté adjacent. 2 Relations trigonométriques dans le triangle rectangle Dans cette partie, on considère un triangle ABC rectangle en B. 2.1 Cosinus d’un angle aigu Définition 1 b b = Côté adjacent de A . On appelle cosinus de l’angle  le rapport : cos A Hypoténuse cos â = Exercice 1 b Exprimer cos C. 1 AB AC 2.2 Sinus d’un angle aigu Définition 2 b b = Côté opposé de A . On appelle sinus de l’angle  le rapport : sin A Hypoténuse sin  = BC AC Exercice 2 b Exprimer sin C. 2.3 Tangente d’un angle aigu Définition 3 b b = Côté opposé de A . On appelle tangente de l’angle  le rapport : tan A b Côté adjacent de A tan  = BC AB Exercice 3 b Exprimer tan C. 2.4 Procédé mnémotechnique et valeurs remarquables Pour se rappeler des formules, on peut utiliser le procédé mnémotechnique suivant qui devrait plaire à la plupart d’entre vous : CAHSOHTOA En lisant ce "mot", il est facile de se le rappeler en faisant attention à la place des H. CAH : Cosinus=Adjacent/Hypoténuse. SOH : Sinus=Opposé/Hypoténuse. TOA : Tangente=Opposé/Adjacent. Les valeurs trigonométriques sont rarement des nombres décimaux, pourtant il est conseillé de connaître certaines valeurs par coeur : Angle α (en ◦ ) 30 √ 3 2 1 √2 3 3 cos α sin α tan α 45 √ 2 √2 2 2 1 60 1 √2 3 2 √ 3 Remarque 1 Vous verrez l’année prochaine une extension des lignes trigonométriques à n’importe quel nombre réel. 2 2.5 Exemples Exemple 1 [ On considère un triangle T RI rectangle en T . Sachant que T RI = 30◦ et RI = 5, calculer T I. Indic : Sur le brouillon faites apparaître ce que représentent le côté dont la mesure est donnée ainsi que le côté cherché (relativement à l’angle donné). Exemple 2 \ = 60◦ et OG = 2, calculer ON . On considère un triangle GON rectangle en G. Sachant que GON Exemple 3 \ On considère un triangle OM E rectangle en O. Sachant que OM E = 45◦ et OE = 7, calculer OM . Exemple 4 [ On considère un triangle T RI rectangle en T . Sachant que T R = 4 et RI = 6, calculer T RI. Indic : Sur le brouillon faites apparaître ce que représentent les deux côtés dont on connaît la mesure (relativement à l’angle que l’on cherche). Exemple 5 [ On considère un triangle EIL rectangle en E. Sachant que EL = 3 et EI = 2, calculer EIL. Exemple 6 \ On considère un triangle OV E rectangle en O. Sachant OE = 3 et V E = 7, calculer OV E. 3 Propriétés des fonctions trigonométriques Propriété 1 Si  est un angle aigu alors : l 0 < cos  < 1. l 0 < sin  < 1. l 0 < tan Â. Démonstration 1 Cet angle correspond à un triangle ABC rectangle en B. b = AB ; sin A b = BC et tan A b = BC . Ainsi cos A AC AC AB b ; 0 < sin A b et 0 < tan A. b Comme quotient de longueurs on a déjà 0 < cos A Comme ABC est rectangle en B, on a AB < AC et BC < AC (AC est l’hypoténuse). b < 1 et sin A b < 1.¥ Donc cos A 3 Propriété 2 sin  Si  est un angle aigu alors : tan  = et cos2  + sin2  = 1. cos  Démonstration 2 Cet angle correspond à un triangle ABC rectangle en B. BC b BC sin A BC AC BC b= Ainsi tan A et = AC = × = . AB b AB AC AB AB cos A AC b b = sin A . Donc tan A b cos A µ ¶ µ ¶ AC 2 AB 2 BC 2 AB 2 + BC 2 2 b 2 b = = 1 (d’après le théorème de Pythagore).¥ cos A + sin A = + = AC AC AC 2 AC 2 4