1ère S. Ch.4. Fonctions polynomiales et factorisation. 2004/2005. J. TAUZIEDE F O N C T I O N S P O L Y N Ô M E S À U N E V A R I A BL E. I- GENERALITES. 1°) Fonction polynomiale. Définition . Soit P une fonction définie sur IR. On dit que P est une fonction polynomiale (ou plus simplement fonction polynôme), s’il existe un nombre fini de réels ( an; an −1; ; a1; a0 ) ∈ IR n +1 , appelés coefficients du polynôme P tels que, pour tout réel x : P( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 où n ∈ IN . Lorsque le coefficient an ≠ 0 , l’entier naturel n est appelé le degré du polynôme et on note deg( P ) = n . n Remarque. L’écriture de la définition peut se condenser sous la forme P( x ) = ∑ ak x k avec k =0 n ∈ IN et ∀k ∈ [0; n ] ak ∈ IR . Exemple 1. • La fonction x P( x ) = a0 est la fonction polynomiale constante. • La fonction x P( x ) = a1 x + a0 est une fonction polynomiale : - dite du premier degré si a1 ≠ 0 , - dite affine lorsque a0 et a1 sont quelconques. • La fonction x P( x ) = a2 x 2 + a1 x + a0 est une fonction polynomiale du second degré lorsque a2 ≠ 0 aussi appelée fonction trinôme du second degré. Exemple 2. 4 La fonction f : x f ( x ) = x 2 − 1 est elle une fonction polynomiale ? x +1 ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = x 2 − 1 qui a la forme de la On a D f = IR et pour tout réel x, f ( x ) = x2 + 1 définition. Conclusion, f est bien une fonction polynomiale. 4 • En revanche, la fonction f : x f ( x ) = x 2 − 1 n’est pas une fonction polynomiale x −1 car elle n’est pas définie sur IR. • 2°) Unicité de l’écriture polynomiale. Théorème. iUne fonction polynôme est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls ce qui se traduit par : ∀x ∈ IR, an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 = 0 ⇔ an = an −1 = = a1 = a0 = 0 iiDeux polynômes non nuls de même degré sont égaux si et seulement si ils ont les même coefficients : ∀x ∈ IR, an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 = bn x n + bn −1 x n −1 + + b1 x + b0 ⇔ an = bn, , a0 = b0 -1- Exemple. Déterminer un réel a, tel que le polynôme x 4 + 2ax 3 − 4ax + 4 est le carré d’un trinôme du second degré. On cherche un trinôme du second degré de la forme x 2 + px + q où ( p; q ) ∈ IR 2 tel que, pour ( ( ) 2 tout réel x, x 2 + px + q = x 4 + 2ax 3 − 4ax + 4 . En développant, il vient : x 4 + 2px 3 + p 2 + 2q x 2 + 2pqx + q 2 = x 4 + 2ax 3 − 4ax + 4 . ) 2p = 2a 2 D’après ii) qui traduit l’unicité de l’écriture d’un polynôme, il vient : p + 2q = 0 système 2pq = −4a q2 = 4 p=a p 2 + 2q = 0 équivalent à : il vient alors les deux systèmes : pq = −2a q = 2 ou q = −2 p=a p=a p = 2 p=a p = −2 p2 = 4 p 2 = −4 p = −a impossible, ou bien p = a ⇔ p = 2 ou p = −2 ⇔ q = −2 ou q = −2 q = −2 q = −2 q=2 a = −2 a = 2 ( En choisissant ( a; p; q ) = ( 2;2;−2 ) , on a bien x 2 + 2x − 2 ) 2 = x 4 + 4x 3 − 8x + 4 et en prenant ( a; p; q ) = ( − 2;−2;−2 ) , on a ( x 2 − 2x − 2 )2 = x 4 − 4x3 + 8x + 4 . Les valeurs de a cherchées sont 2 ou –2. Remarque. Le degré du polynôme nul n’est pas défini ; par convention on dit que deg( O ) = −∞ . 3°) Opérations sur les polynômes. Théorème. Soient P et Q deux polynômes non nuls de degrés respectifs p et q. iLa somme P + Q est un polynôme de degré inférieur ou égal au plus grand des deux nombres p et q c’est-à-dire : deg( P + Q ) ≤ max( deg( P ); deg( Q ) ) . iiLe produit PQ est un polynôme de degré égal à la somme des deux nombres p et q c’est à dire : deg( PQ ) = deg( P ) + deg( Q ) . II- FACTORISATION D’UN POLYNOME. 1°) Racine d’un polynôme. Définition. On appelle racine (ou zéro) d’un polynôme P, tout réel a tel que P( a ) = 0 . -2- 1ère S. ch.4. Factorisation d’un polynôme Exemples. • Pour P( x ) = 2x + 6 , comme P( − 3 ) = 0 , − 3 est une racine du polynôme P. • Pour P( x ) = x 3 + 2x 2 − 6x + 3 , P(1 ) = 0 donc 1 est une racine de P. 2°) Factorisation d’un polynôme par x-a. Définition. Soit a un nombre réel. On dit qu’un polynôme P non nul est factorisable (ou divisible) par x − a , s’il existe un polynôme Q, avec deg( Q ) = deg( P ) − 1 , tel que pour tout réel x, P( x ) = ( x − a )Q( x ) . Exemple. ) ( P( x ) = x 3 + x 2 + ( x + 1 )( x − 3 ) = ( x + 1 ) x 2 + x − 3 . Théorème. Soit a un nombre réel. Un polynôme P non nul est factorisable par x − a si et seulement si P( a ) = 0 . Démonstration. iSens ⇒. Soit P un polynôme non nul factorisable par x − a . D’après la définition, il existe un polynôme Q avec deg( Q ) = deg( P ) − 1 tel que pour tout réel x, P( x ) = ( x − a )Q( x ) alors P( a ) = ( a − a )Q( a ) = 0 . iiSens ⇐. On a besoin pour démontrer cette implication d’un résultat fondamental à savoir le lemme suivant : Lemme : Soit a ∈ IR et n ∈ IN * . Pour tout réel x, x n − a n = ( x − a ) x n −1 + ax n − 2 + a 2 x n − 3 + + a n − 2 x + a n −1 . ) ( Soit alors P un polynôme non nul et a un nombre réel tel que P( a ) = 0 . n n On a P( x ) = ∑ ak x k et ( ) Par soustraction, k =0 k =0 n P( a ) = ∑ ak a k n ( ) P( x ) − P( a ) = ∑ ak x k − a k = ∑ ak x k − a k et d’après le lemme, on a : k =0 n k =1 ( ) ( ) P( x ) − P( a ) = ∑ ak ( x − a ) x k −1 + ax k − 2 + a 2 x k − 3 + + a k − 2 x + a k −1 soit encore k =1 n P( x ) − P( a ) = ( x − a )∑ ak x k −1 + ax k − 2 + a 2 x k − 3 + + a k − 2 x + a k −1 k =1 et donc il existe un polynôme Q avec Q( x ) = ∑ ak ( x k −1 + ax k − 2 + a 2 x k − 3 + + a k − 2 x + a k −1 ) vérifiant n k =1 deg( Q ) = deg( P ) − 1 tel que P( x ) = ( x − a )Q( x ) ce qui prouve que P est factorisable par x − a . Exemple. Factoriser le polynôme P défini par P( x ) = x 3 + 2x 2 − 6x + 3 . On vérifie que P(1 ) = 0 donc P est factorisable par x − 1 ; il existe donc un polynôme Q vérifiant deg( Q ) = deg( P ) − 1 = 3 − 1 = 2 tel que P( x ) = ( x − 1 )Q( x ) . Comme Q est de degré 2, il existe trois réels a, b et c (avec a non nul) tels que pour tout réel x, Q( x ) = ax 2 + bx + c . Ainsi P( x ) = ( x − 1 ) ax 2 + bx + c ce qui en développant donne : P( x ) = ax 3 + ( b − a )x 2 + ( c − b )x − c et par unicité de l’écriture d’un polynôme, il vient le ( ) a =1 a =1 b−a = 2 système : c − b = −6 ⇔ − 3 b− 3= =3 −6 et donc P( x ) = ( x − 1 ) x 2 + 3x − 3 . − c = 3 c = −3 La factorisation complète de P s’en déduit en utilisant les formules donnant les racines de l’équation du second degré x 2 + 3x − 3 = 0 . On a ∆ = 9 + 12 = 21 avec 21 > 0 ce qui donne deux racines distinctes x1 = 3 − 21 et 6 x1 = 3 + 21 . 6 On a alors la factorisation x 2 + 3x − 3 = x − 3 − 21 x − 3 + 21 ce qui permet d’obtenir 6 6 ( ) celle du polynôme I, à savoir : ∀x ∈ IR , P( x ) = ( x − 1 ) x − 3 − 21 x − 3 + 21 . 6 6 -4-