Nombres entiers – rationnels - PGCD

Classe de Troisième
Marc Bizet
Nombres entiers – rationnels - PGCD - Exercices
Exercice 1
a. Ecrire la liste par ordre croissant :
•
•
Des diviseurs de 36
Des diviseurs de 60
b. Quels sont les diviseurs communs à 36 et 60 ?
c. Quel est le PGCD de 36 et 60 ?
Exercice 2
Expliquer, sans faire de calculs, pourquoi les nombres suivants ne sont pas premiers entre eux :
a. 218 et 162
b. 21 et 18
c. 175 et 190
Exercice 3
Dans la division euclidienne d’un nombre entier n par 5 , le quotient est 14 et le reste est 4 . Quel
est ce nombre n ?
Exercice 4
Effectuer la division euclidienne :
a. de 915 par 12 à la main.
b. de 23 534 par 1 257 à la calculatrice.
Exercice 5
Un nombre est dit premier s’il n’a pour diviseurs 1 et lui-même.
Donner la liste de tous les nombres de 15 à 30 premiers.
Exercice 6
Trouver, si possible (sans justifier) :
a.
b.
c.
d.
Deux nombres pairs dont le PGCD est 1 .
Deux multiples de 5 ont le PGCD est 1
Deux nombres dont le PGCD est 20 .
Deux nombres impairs supérieurs à 20 dont le PGCD est 3 .
Exercice 7
Dans chaque cas, déterminer en indiquant la propriété utilisée :
a. PGCD(50 ;100)
b. PGCD(1 ; 35)
c.
PGCD(48 ; 48)
-1-
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Marc Bizet
Exercice 8
Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant la méthode indiquée :
a. 11 592 et 9 936 (divisions successives - méthode d’Euclide)
b. 357 et 721 (divisions successives - méthode d’Euclide)
c. 1 312 et 2 536 (divisions successives)
d. 1 634 et 602 (soustractions successives)
Exercice 9
Grâce à un tableur, déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Voici une capture d’écran, vous devez réaliser toutes les actions permettant de l’obtenir.
Aide :
• partie entière d’un quotient : =ENT(A1/B1)
•
reste d’une division euclidienne : =MOD(A1 ;B1)
Exercice 10
Calculer le PGCD des deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :
a. 846 et 1 044
b. 9 615 et 5 128
c. 1 515 et 1 789
d. 1 569 872 et 16 448
Exercice 11
a. Calculer le PGCD d de 118 404 et 13 884 .
118 404
13 884
b. Calculer
et
.
d
d
c. Vérifier que ces quotients sont premiers entre eux.
-2-
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Exercice 12
Grâce à un tableur, déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l’algorithme des soustractions
successives.
Voici une capture d’écran, vous devez réaliser toutes les actions permettant de l’obtenir.
Aide :
•
obtenir le minimum de 2
nombres : =min(A1 ;B1)
•
obtenir le maximum de deux
nombres : =max(A1 ;B1)
Exercice 13
Effectuer, par soustractions successives, la recherche du PGCD des nombres :
a. 192 et 120
b. 1 071 et 1 764
Exercice 14
a. Calculer le PGCD de 114 400 et 60 775 .
b. Expliquer comment, sans utiliser la touche « fraction » d’une calculatrice, qui simplifie
60 775
automatiquement, rendre irréductible la fraction
114 400
Exercice 15
Écrire sous forme irréductible la fraction
630
en donnant le détail du calcul.
924
Exercice 16
117
8
et B = − .
63
7
a. Expliquer pourquoi la fraction A n’est pas irréductible.
b. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.
c. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que A − B est un nombre entier.
Soient les nombres : A =
-3-
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Exercice 17
a. Démontrer que les nombres 65 et 42 sont premiers entre eux.
520 65
b. Démontrer que
= .
336 42
Exercice 18
Rendre irréductible les fractions :
262 080
a.
34 398
109 891 236
b.
1 797 523
Exercice 19
Les fractions
2 682
12 762
et
sont-elles égales ?
2 831
13 471
Exercice 20
Un philatéliste possède 1 631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa
collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la
même répartition de timbres français et étrangers.
a. Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b. Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots ?
Exercice 21
Un collège décide d’organiser une épreuve sportive pour tous les élèves.
Les professeurs composent le plus grand nombre possible d’équipes. Chaque équipe doit
comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
a. Sachant qu’il y a 294 garçons et 210 filles, quel est le plus grand nombre d’équipes que l’on
peut composer ?
b. Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe ?
Exercice 22
Deux livres ont respectivement 480 et 608 pages. Chacun de ces livres est formé de fascicules, ou
« cahiers », qui ont tous un même nombre de pages, compris entre 30 et 50.
a. Quel est le nombre de pages d’un cahier ?
b. Quel est le nombre de cahiers qui composent chacun des deux livres ?
Exercice 23
Un fleuriste dispose de 98 roses rouges et 70 roses blanches. Il veut composer le plus grand
nombre de bouquets contenant le même nombre de fleurs de chaque sorte en les utilisant toutes.
a. Combien de bouquets peut-il composer ?
b. Combien de fleurs de chaque sorte contient chaque bouquet ?
Exercice 24
Les côtés d’un terrain triangulaire mesurent 330 m, 270 m et 255 m. On plante des arbres le long
des côtés, également espacés, avec un arbre à chaque sommet. La distance qui sépare deux arbres
consécutifs est mesurée par un nombre entier de mètres. Quel est le nombre minimum d’arbres qu’il
faut acheter ?
Conseil : calculer le PGCD de deux premiers nombres et vérifier qu’il divise le troisième nombre.
-4-
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Marc Bizet
Exercice 25
Un chocolatier vient de fabriquer 2 668 œufs de Pâques et 2484 poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de poissons de façon que :
• tous les paquets aient la même composition ;
• après la mise en paquet, il ne reste ni œufs, ni poissons.
Aider ce chocolatier à choisir la composition de chaque paquet : donner toutes les possibilités.
Exercice 26
Dire qu’un nombre est abondant signifie qu’il est inférieur à la somme de ses diviseurs propres, c’està-dire ses diviseurs différents de lui-même.
Dire qu’un nombre entier est déficient signifie qu’il est supérieur à la somme de ses diviseurs
propres.
Par exemple, considérons le nombre 10 : ses diviseurs propres sont 1, 2 et 5. La somme de ses
diviseurs propres est 1 + 2 + 5 = 8 et 8 < 10 donc 10 est déficient.
Parmi les nombres compris entre 16 et 25 , quels sont ceux qui sont abondants, quels sont ceux qui
sont déficients ?
Exercice 27
Un artisan doit réaliser le carrelage d’une pièce dont les
dimensions et la forme sont données par la figure ci-contre.
L’artisan souhaite utiliser des carreaux de forme carrée
dont le côté soit un nombre entier de centimètres.
a. Quel est le plus grand carreau possible ?
b. Combien de carreaux dont le côté est le plus grand
possible, l’artisan doit-il utiliser ?
Exercice 28
Dans un grand hôtel, on répartit en paquets, 552 serviettes blanches et 782 serviettes bleues. Tous
les paquets de serviettes sont identiques, et contiennent les deux couleurs de serviettes. On veut
constituer un maximum de paquets, et ne pas laisser une seule serviette seule.
a. Combien y a-t-il de paquets ?
b. Quel est le nombre de serviettes blanches et bleues ?
Exercice 29
20 755 3
− .
9 488 8
a. Calculer le PGCD de 20 755 et 9 488 .
b. Écrire, en détaillant les calculs, le nombre M sous la forme d’une fraction irréductible.
c. M est-il décimal ? Rationnel ? Justifier.
On pose M =
-5-
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Exercice 30
Voici une liste de nombres :
2
;
3
7 ;
56
;
7
9
1 1 1
; 10π ; 105 ; 10 −7 ; + +
2 3 6
4
Recopier les nombres de cette liste qui sont :
a.
b.
c.
d.
entiers
décimaux et non entiers
rationnels et non décimaux
irrationnels
Exercice 31
Indiquer pour chacun de ces quatre nombres s’il est :
•
•
•
un nombre entier ;
un nombre décimal non entier ;
un nombre rationnel non décimal.
A = 7, 15 − 15 × 10
−2
B = 5 × 10 − 2 × 10
3
−2
5 × 10−3 × 12 × 104
C=
3 × 10 × 2 × 10 −1
D=−
4 × 10 −2 × ( −5) × 107
3 × 105
Exercice 32
Trouver les nombres entiers dont le PGCD est égal à 542 et la somme est égale à 4 878.
Exercice 33
Cette année, le 1er janvier est un dimanche. Quel jour correspond au 300ème jour de l’année ?
Exercice 34
Soit n un nombre entier tel que le reste de la division euclidienne de n par 8 soit égale à 5 .
a. Quel est le reste de la division euclidienne du nombre n + 1 par 8 ?
b. Quel est le reste de la division euclidienne de n + 4 par 8 ?
Exercice 35
Martin a cuit 125 gâteaux pour l'anniversaire de sa
sœur. ll les aligne pour les décorer. ll met une noix
sur un gâteau sur deux, une fraise sur un gâteau sur
trois et une dragée sur un gâteau sur quatre. ll n'y a
rien sur le premier gâteau. Une fois décorés, Martin
range les gâteaux sur 4 plateaux :
•
•
•
•
les gâteaux sans décoration,
les gâteaux avec une seule décoration,
les gâteaux avec deux décorations,
les gâteaux avec trois décorations.
Combien y-a-t-il de gâteaux sur chaque plateau ?
-6-
Les quatre premiers gâteaux, de
gauche à droite
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Marc Bizet
Nombres entiers – rationnels - PGCD - Correction
Exercice 1 - correction
a.
36 a pour diviseurs : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 ,12 ,18 , 36 .
60 a pour diviseurs : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,10 ,12 ,15 , 20 , 30 , 60 .
b. Les diviseurs communs à 36 et 60 sont : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ,12 .
c.
PGCD(36 ; 60 ) = 12 .
Exercice 2 - correction
218 et 162 sont divisibles par 2 , donc PGCD(218 ;162) ≠ 1 . Ils ne sont pas premiers entre
eux.
b. 21 et 18 sont divisibles par 3 , donc PGCD(21 ;18) ≠ 1 . Ils ne sont pas premiers entre eux.
a.
c.
175 et 190 sont divisibles par 5 , donc PGCD(175 ;190) ≠ 1 . Ils ne sont pas premiers entre
eux.
Exercice 3 - correction
n = 5×14 + 4
= 74
Exercice 4 - correction
a. Calcul posé à la main :
9 1 5 12
−8 4
76
75
−7 2
3
b. À la machine : 23 534 = 1 257×18 + 908
Exercice 5 - correction
Les nombres cherchés sont : 17 − 19 − 23 − 29
Exercice 6 - correction
a.
b.
c.
d.
C’est impossible car ils sont forcément divisibles par 2.
C’est impossible car ils sont forcément divisibles par 5.
20 et 40 par exemple.
21 et 27 par exemple.
-7-
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Exercice 7 - correction
a. PGCD ( 50 ; 100 ) = 50 car 50 est un diviseur de 100 .
b. PGCD ( 1 ; 35 ) = 1 car PGCD ( 1 ; a ) = 1 quel que soit le nombre entier a > 0 .
c.
PGCD ( 48 ; 48 ) = 48 car PGCD ( a ; a ) = a quel que soit le nombre entier a > 0 .
Exercice 8 - correction
a. Utilisons la méthode d’Euclide :
11 592 = 9 936 × 1 + 1 656
9 936 = 1 656 × 6 + 0
PGCD ( 11 592 ; 9 936 ) = 1 656
b. Utilisons la méthode d’Euclide :
721 = 357 × 2 + 7
357 = 7 × 51 + 0
PGCD ( 721 ; 357 ) = 7
c. Utilisons la méthode d’Euclide :
2 536 = 1 312 × 1 + 1 224
1 312 = 1 224 × 1 + 88
1 224 = 88 × 13 + 80
88 = 80 × 1 + 8
80 = 8 × 10 + 0
PGCD ( 1 312 ; 2 536 ) = 8 .
d. Utilisons la méthode des soustractions successives :
1 634 − 602 = 1 032
1 032 − 602 = 430
602 − 430 = 172
430 − 172 = 258
258 − 172 = 86
172 − 86 = 86
86 − 86 = 0
PGCD ( 1 634 ; 602 ) = 86
Exercice 9 - correction
voir vidéo sur le site…
-8-
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Marc Bizet
Exercice 10 - correction
a. Par méthode d’Euclide :
1 044 = 846×1 + 198
846 = 198×4 + 54
198 = 54×3 + 36
54 = 36×1 + 18
36 = 18×2 + 0
PGCD(846 ;1 044) = 18
b. Par méthode d’Euclide :
9 615 = 5128×1 + 4 487
5128 = 4 487×1 + 641
4 487 = 641×7 + 0
PGCD(9 615 ; 5128) = 641
c. Par méthode d’Euclide :
1 789 = 1 515×1 + 274
1 515 = 274×5 + 145
274 = 145×1 + 129
145 = 129×1 + 16
129 = 16×8 + 1
16 = 1×16 + 0
PGCD(1 515 ;1 789) = 1 , les deux nombres sont premiers entre eux.
d. Par méthode d’Euclide :
1 569 872 = 16 448×95 + 7312
16 448 = 7 312×2 + 1 824
7 312 = 1 824×4 + 16
1 824 = 16×114 + 0
PGCD(1 569 872 ;16 448) = 16
Exercice 11 - correction
a. Par méthode d’Euclide :
118 404 = 13 884×8 + 7 332
13 884 = 7 332×1 + 6 552
7 332 = 6 552×1 + 780
6 552 = 780×8 + 312
780 = 312×2 + 156
312 = 156×2 + 0
d = PGCD(118 404 ;13 884) = 156
-9-
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118 404
13 884
= 759 et
= 89
156
156
c. Par méthode d’Euclide :
b.
759 = 89×8 + 47
89 = 47×1 + 42
47 = 42×1 + 5
42 = 5×8 + 2
5 = 2×2 + 1
2 = 1×2 + 0
PGCD(759 ; 89) = 1 donc ces deux nombres sont premiers entre eux.
Exercice 12 - correction
Voir vidéo.
Exercice 13 - correction
a. Par soustractions successives :
192 − 120 = 72
120 − 72 = 48
72 − 48 = 24
48 − 24 = 24
24 − 24 = 0
PGCD(192 ;120) = 24
b. Par soustractions successives :
1 764 − 1 071 = 693
1 071 − 693 = 378
693 − 378 = 315
378 − 315 = 63
315 − 63 = 252
252 − 63 = 189
189 − 63 = 126
126 − 63 = 63
63 − 63 = 0
PGCD(1 764 ;1 071) = 63
Exercice 14 - correction
a. Par méthode d’Euclide :
114 400 = 60 775×1 + 53 625
60 775 = 53 625×1 + 7 150
53 625 = 7 150×7 + 3 575
7 150 = 3 575×2 + 0
PGCD(114 400 ; 60 775) = 3 575
- 10 -
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Marc Bizet
b. Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD :
60 775
60 775 ÷ 3 575 17
=
=
114 400 114 400 ÷ 3 575 32
Exercice 15 - correction
Nous calculons le PGCD des nombres 630 et 924 par méthode d’Euclide :
924 = 630×1 + 294
630 = 294×2 + 42
294 = 42×7 + 0
PGCD(630 ; 924) = 42 .
Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
630 630 ÷ 42 15
=
=
924 924 ÷ 42 22
Exercice 16 - correction
a. Calculons le PGCD des nombres 117 et 63 par méthode d’Euclide :
117 = 63×1 + 54
63 = 54×1 + 9
54 = 9×6 + 0
PGCD(117 ; 63) = 9 . Comme le PGCD est différent de 1 , A n’est pas irréductible.
b. Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD :
117 117 ÷ 9 13
A=
=
=
63
63 ÷ 9
7
c.
A −B =
13  8  13 8 21
−−  = + = = 3 , qui est bien un nombre entier.
7  7  7 7 7
Exercice 17 - correction
a. Calculons le PGCD des nombres 65 et 42 par méthode d’Euclide :
65 = 42×1 + 23
42 = 23×1 + 19
23 = 19×1 + 4
19 = 4×4 + 3
4 = 3×1 + 1
3 = 1×3 + 0
PGCD(65 ; 42) = 1 , donc 65 et 42 sont premiers entre eux.
- 11 -
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b. La méthode la plus simple est la vérification des produits en croix :
520×42 = 21 840
336×65 = 21 840
On a bien
520 65
=
336 42
Exercice 18 - correction
a. Par la méthode d’Euclide :
262 080 = 34 398×7 + 21 294
34 398 = 21 294×1 + 13104
21 294 = 13104×1 + 8 190
13104 = 8 190×1 + 4 914
8 190 = 4 914×1 + 3 276
4 914 = 3 276×1 + 1 638
3 276 = 1 638×2 + 0
PGCD(262 080 ; 34 398) = 1 638
Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD :
262 080 262 080 ÷ 1 638 160
=
=
34 398
34 398 ÷ 1 638
21
b. Par la méthode d’Euclide :
109 891 236 = 1 797 523×61 + 242 333
1 797 523 = 242 333×7 + 101192
242 333 = 101192×2 + 39 949
101192 = 39 949×2 + 21 294
39 949 = 21 294×1 + 18 655
21 294 = 18 655×1 + 2 639
18 655 = 2 639×7 + 182
2 639 = 182×14 + 91
182 = 91×2 + 0
PGCD(109 891 236 ;1 797 523) = 91
Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD :
109 891 236 109 891 236 ÷ 91 1 207 596
=
=
1 797 523
1 797 523 ÷ 91
19 753
Exercice 19 - correction
Vérification des produits en croix :
2 831×12 762 = 36 129 222
2 682×13 471 = 36 129 222
On a bien
2 682 12 762
=
2 831 13 471
- 12 -
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Marc Bizet
Exercice 20 - correction
a. On souhaite vendre toute la collection, le nombre de lots doit donc être un diviseur commun
à 1 631 et 932 . On souhaite effectuer un maximum de lots, on cherche à déterminer le
PGCD des deux nombres. Utilisons la méthode d’Euclide :
1 631 = 932×1 + 699
932 = 699×1 + 233
699 = 233×3 + 0
PGCD(1 631 ; 932) = 233 .
Le philatéliste fera 233 lots identiques.
b. 1 631 ÷ 233 = 7 et 932 ÷ 233 = 4 .
Il y a donc dans chaque lot 7 timbres français et 4 timbres étrangers.
Exercice 21 - correction
a. Les professeurs souhaitent que tous les élèves participent donc le nombre d’équipes doit
être un diviseur commun à 294 et 210 . Ils souhaitent composer le maximum d’équipes, on
cherche donc le PGCD de ces deux nombres. Utilisons la méthode d’Euclide :
294 = 210×1 + 84
210 = 84×2 + 42
84 = 42×2 + 0
PGCD(294 ; 210) = 42 .
Les professeurs vont composer 42 équipes.
b. 294 ÷ 42 = 7 et 210 ÷ 42 = 5 .
Il y a donc dans chaque équipe 7 garçons et 5 filles.
Exercice 22 - correction
a. On cherche des fascicules dont le nombre de pages divise à la fois 480 et 608 . Nous
calculons le PGCD des deux nombres par la méthode d’Euclide.
680 = 480×1 + 128
480 = 128×3 + 96
128 = 96×1 + 32
96 = 32×3 + 0
PGCD(480 ; 608) = 32 .
C’est le plus grand des diviseurs communs à 480 et 608 , il existe d’autres diviseurs
communs comme 16 , 8 , 4 , 2 ou 1 mais 32 est le seul compris entre 30 et 50 .
Chaque cahier comporte donc 32 pages.
b. 480 ÷ 32 = 15 et 608 ÷ 32 = 19 .
Les deux livres sont donc composés respectivement de 15 cahiers et 19 cahiers.
- 13 -
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Exercice 23 - correction
a. Le fleuriste souhaite utiliser toutes ses fleurs, donc le nombre de bouquets doit être un
diviseur commun à 98 et 70 . On souhaite faire le plus grand nombre de bouquets, donc on
cherche le PGCD des deux nombres. Utilisons la méthode d’Euclide :
98 = 70×1 + 28
70 = 28×2 + 14
28 = 14×2 + 0
PGCD(98 ; 70) = 14 .
Le fleuriste fera 14 bouquets.
b. 98 ÷ 14 = 7 et 70 ÷ 14 = 5 .
Chaque bouquet est composé de 7 roses rouges et 5 roses blanches.
Exercice 24 - correction
Calculons le PGCD de deux nombres parmi 330 , 270 et 255 : nous choisissons 330 et 270 et
utilisons la méthode d’Euclide :
330 = 270 × 1 + 60
270 = 60 × 4 + 30
60 = 30 × 2 + 0
PGCD(330 ; 270) = 30 . Il faut aussi diviser que la distance cherchée divise 255 . Cherchons
maintenant le PGCD de 30 et 255 . Nous utilisons la méthode d’Euclide :
255 = 30 × 8 + 15
30 = 15 × 2 + 0
PGCD(30 ; 255) = 15 . La distance maximale entre 2 arbres est de 15 m, on lui fait correspondre le
nombre minimal d’arbres qu’il faut acheter.
(330 + 270 + 255) ÷ 15 = 57 (alternance un arbre - un espace) : il faudra acheter 57 arbres au
minimum.
Exercice 25 - correction
On veut utiliser tous les œufs et tous les poissons. Le nombre de lots doit être un diviseur commun à
2 668 et 2 484 . Cherchons le PGCD de ces deux nombres, en utilisant la méthode d’Euclide :
2 668 = 2 484×1 + 184
2 484 = 184×13 + 92
184 = 92×2 + 0
PGCD(2 668 ; 2 484) = 92 .
On peut au maximum faire 92 lots, mais aussi un nombre de lots diviseur de 92 : 46 , 23 , 4 , 2
voire 1 paquet(s).
- 14 -
Classe de Troisième
Marc Bizet
Résumons les possibilités dans un tableau :
Nombre de lots
92
46
23
4
2
1
Œufs par lot
29
58
116
667
1 334
2 668
Poissons par lot
27
54
108
621
1 242
2 484
Exercice 26 - correction
16 → 1 + 2 + 4 + 8 = 15 : déficient
17 → 1 : déficient
18 → 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 : abondant
19 → 1 : déficient
20 → 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 : abondant
21 → 1 + 3 + 7 = 11 : déficient
22 → 1 + 2 + 11 = 14 : déficient
23 → 1 : déficient
24 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 : abondant
25 → 1 + 5 = 6 : déficient
Exercice 27 - correction
a. Nous convertissons les longueurs en cm afin de travailler avec des nombres entiers.
5,20 m = 520 cm
3,60 m = 360 cm
2,56 m = 256 cm
Calculons le PGCD de deux nombres parmi 520 , 360 et 256 : nous choisissons 520 et 360
et utilisons la méthode d’Euclide :
520 = 360 × 1 + 160
360 = 160 × 2 + 40
160 = 40 × 4 + 0
PGCD(520 ; 360) = 40 . Il faut aussi diviser que la distance cherchée divise 256. Cherchons
maintenant le PGCD de 40 et 256 . Nous utilisons la méthode d’Euclide :
256 = 40 × 6 + 16
40 = 16 × 2 + 8
16 = 8 × 2 + 0
PGCD(40 ; 256) = 8 . Chaque carreau aura pour côté 8 cm.
b. Calculons le nombre de carreaux en considérant la pièce comme l’assemblage de deux
rectangles : l’un, à gauche, aurait pour dimensions 520 cm et 360 cm.
520 ÷ 8 = 65 et 360 ÷ 8 = 45 .
65×45 = 2 925 : il faut donc 2 925 carreaux pour la partie rectangulaire gauche.
L’autre, à droite, aurait pour dimensions 256 cm et 360 cm.
256 ÷ 8 = 32 .
32×45 = 1 440 : il faut donc 1 440 carreaux pour la partie rectangulaire droite.
2 925 + 1 440 = 4 365 : l’artisan aura besoin de poser 4 365 carreaux de 8 cm de côté.
- 15 -
Classe de Troisième
Marc Bizet
Exercice 28 - correction
a. On veut répartir toutes les serviettes, donc on cherche un diviseur commun à 552 et 782 .
On veut faire le maximum de paquets, on cherche donc le PGCD ( 552 ; 782 ) .
782 = 552 × 1 + 230
552 = 230 × 2 + 92
230 = 92 × 2 + 46
92 = 46 × 2 + 0
PGCD ( 552 ; 782 ) = 46
On fera donc 46 paquets.
b.
552 ÷ 46 = 12 et 782 ÷ 46 = 17
Dans chaque paquet, il y aura 12 serviettes blanches et 17 serviettes bleues.
Exercice 29 - correction
a. Utilisons la méthode d’Euclide :
20 755 = 9 488×2 + 1 779
9 488 = 1 779×5 + 593
1 779 = 593×3 + 0
PGCD(20 755 ; 9 488) = 593
Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD :
20 755 20 755 ÷ 593 35
=
=
9 488
9 488 ÷ 593 16
b. M =
c.
35 3 35 6 29
− = − =
16 8 16 16 16
29
= 1,812 5 est un nombre décimal, puisqu’il possède un nombre fini (4 ) de chiffres après
16
la virgule. Mais il est aussi rationnel (le mot « ration » se rapporte au mot « fraction »),
puisqu’il s’écrit comme le rapport de 29 par 16 .
Exercice 30 - correction
Quelques calculs avant le classement :
2
≃ 0,666 666 ....
7 ≃ 2,645 751 311 064 59....
3
10π ≃ 31,415 926 535 89...
105 = 100 000
1 1 1 3 2 1 6
+ + = + + = =1
2 3 6 6 6 6 6
56
=8
7
10−7 = 0,000 000 1
56
1 1 1
, 105 et
+ + .
7
2 3 6
9
b. décimaux non entiers :
et 10−7 .
4
2
c. rationnels et non décimaux :
3
d. irrationnels : 7 et 10π .
a. entiers :
- 16 -
9 3
= = 1,5
4 2
Classe de Troisième
Marc Bizet
Exercice 31 - correction
A = 7 est un nombre entier.
B = 4 999,98 est un nombre décimal non entier.
C = 100 est un nombre entier.
2 000 000
D=−
≃ 6,666 666 ... est un nombre rationnel non décimal.
300 000
Exercice 32 - correction
Après avoir remarqué que 542 divise 4 878 (4 878 ÷ 542 = 9) , il suffit d’utiliser 542 et
4 878 − 542 = 4 336 car leur somme vaut naturellement 4 878 et 542 étant un diviseur de 4 336 ,
PGCD ( 542 ; 4 878 ) = 542 .
On utilise ici deux propriétés du cours :
•
•
Si k divise a et b alors k divise a − b et a + b .
Si a divise b , PGCD ( a ; b ) = a
Mais il faut vérifier que d’autres couples de nombres ne conviennent pas.
4 878 − 2×542 = 3 794 et 2×542 = 1 084 sont deux nombres qui sont des multiples de 542 et dont
la somme vaut 4 878 .
Utilisons la méthode d’Euclide :
3 794 = 1 084×3 + 542
1 084 = 542×2 + 0
PGCD(3 794 ;1 084) = 542 , donc 3 794 et 1 084 conviennent.
4 878 − 3×542 = 3 252
et 3×542 = 1 626
pourraient convenir, mais 3 252 = 2×1 626
donc
PGCD(3 252 ;1 626) = 1 626 , 3 252 et 1 626 ne conviennent pas.
4 878 − 4× 542 = 2 710 et 4×542 = 2 168 sont deux nombres qui sont des multiples de 542 et dont
la somme vaut 4 878 .
Utilisons la méthode d’Euclide :
2 710 = 2 168×1 + 542
2 168 = 542×4 + 0
PGCD(2 710 ; 2 168) = 542 , donc 2 710 et 2 168 conviennent.
Le processus de recherche s’arrête là, car 4 874 − 5×542 = 2 168 et 5× 542 = 2 710 . On retrouve les
nombres précédemment étudiés.
Conclusion : 542 et 4 336 , 3 794 et 1 084 , 2 710 et 2 168 sont les trois couples de nombres
entiers dont le PGCD vaut 542 et dont la somme vaut 4 878 .
Exercice 33 - correction
Le 300ème jour de l’année s’obtient en ajoutant 299 jours au 1er.
299 = 7×42 + 5
299 jours = 42 semaines et 5 jours
Le 300ème jour sera un vendredi.
- 17 -
Classe de Troisième
Marc Bizet
Exercice 34 - correction
a.
n = 8×quotient + 5 en utilisant la division euclidienne.
donc n + 1 = 8×quotient + 5 + 1 = 8×quotient + 6 .
Le reste est 6 .
b. En suivant le même raisonnement, le reste de la division de n + 4 par 8 est 5 + 4 = 9 .
Mais avec 9 , on refait un paquet de 8 et le reste vaut alors 1 .
Exercice 35 - correction
Pour qu’un gâteau soit avec 3 décorations, il faut que sa position soit un multiple de 2 (noix), de 3
(fraise), et de 4 (dragées). Si la position est dans la table de 4, elle est dans la table de 2.
Ainsi, pour qu’un gâteau ait toutes les décorations, il faut qu’il soit dans la table de 3 × 4 = 12 .
Comptions le nombre de paquets de 12 dans 125 avec une division euclidienne : 125 = 12 × 10 + 5 .
Comme on ne peut faire que 10 paquets de 12 complets, il y a 10 nombres divisibles par 12 entre 1
et 125.
10 gâteaux ont les 3 décorations.
Pour avoir 1 décoration, il faut avoir :
•
Une noix uniquement, donc avoir une position divisible par 2 mais pas par 3, et pas par 4.
De 2 à 125 : 5 × 12 + 2 = 62 nombres pairs (5 par tranche de 10, et 12 tranches de 10. On
ajoute les 2 positions 122 et 124).
Parmi ces 62, un sur 3 est dans la table de 3 ( 2, 4, 6 , 8, 10, 12 ... )
Pour les 60 premiers, il y en a 60 ÷ 3 = 20 .Les deux derniers nombres pairs sont 122 et 124 qui
ne sont pas dans la table de 3.
Il reste donc 62 − 20 = 42 positions paires non multiples de 3 : 2, 4 , 8 , 10 , 14, 16 , 20 , 22 ...
Cela donne 21 paires de nombres, avec dans chaque paire, l’un des deux dans la table de 4.
21 positions sont donc des nombres divisibles par 2, mais pas par 3, ni par 4.
21 gâteaux ont seulement la noix pour décoration.
•
Il est impossible de n’avoir qu’une dragée, car alors on a aussi la noix.
•
Pour n’avoir qu’une noix : la position doit être un multiple de 3, mais pas de 2 (donc pas de 4).
125 = 3 × 41 + 2 , il y a donc 41 positions divisibles par 3 : 3 , 6, 9 , 12, 15 ,..., 123
Un sur 2 n’est pas divisible par 2, il y a donc 21 nombres divisibles par 3 mais pas par 2
(attention au 123).
21 gâteaux n’ont que la fraise.
21 + 21 = 42 gâteaux ont donc une seule décoration.
Pour ne pas avoir de décoration, il ne faut pas être un multiple de 2, ou de 3 (si l’on n’est pas
multiple de 2, on n’est pas multiple de 4).
•
•
•
Nous avons déjà déterminé 62 nombres pairs,
Et 21 nombres multiples de 3 non pairs.
Il y a donc 125 − 62 − 21 = 42 nombres qui ne sont ni multiples de 2, ni de 3.
42 gâteaux n’on aucune décoration.
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Classe de Troisième
Marc Bizet
Reste des gâteaux : 125 − 10 − 42 − 42 = 31
31 gâteaux ont 2 décorations.
Autre méthode : avec tableur.
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