M2NA Année 2016/2017 Feuille d'exercices 9 : corrigé Exercice 1. 2×3×7 Les fractions 17 et 42 sont irréductibles et leur dénominateur 17 = 17 n m n'est pas de la forme 2 × 5 (avec n et m dans N), donc ces fractions ne représentent pas des3 nombres décimaux. 3 La fraction 27 8 = 23 est irréductible et son dénominateur est de la forme n m 2 × 5 (avec n = 3 et m = 0), donc elle représente un nombre décimal (on peut aussi poser la division et constater que 27/8 = 3, 375). Enn, comme 91 = 7 × 13, on a 91 7 = 13. Ce nombre est un entier et donc en particulier un décimal. 2. a) On a la division décimale suivante : 1. 1,0 30 20 60 40 50 1 7 0,142857 Le dernier reste de cette division est 1, qui est le nombre duquel on est parti. Les quotients suivants seront donc à nouveau 1, 4, 2, 8, 5, 7, etc. L'écriture décimale périodique de 1/7 est donc : 1 = 0, 142857. 7 b) Comme la période est de longueur 6, le chire 7, qui est en 6e position, se retrouvera en 12e , 18e , 24e et 30e position. La 31e décimale est alors 1, et e la 32 décimale est 4. 42 e 3. a) La 20 décimale de l'écriture décimale de 17 est 5 (cellule B22). b) Dans la celule A18, on retrouve le reste 8 qu'on avait déjà obtenu en A2. La suite des divisions euclidiennes, et donc celle des restes et des quotients, va alors se répéter à l'identique. L'écriture décimale périodique de 42/17 est donc (les chires de la partie décimale se lisent dans les cellules B3 à B18 incluses) : 42 = 2, 4705882352941176. 17 c) La colonne A contient les restes des divisions euclidiennes successives par 17. Il y a 17 restes possibles dans une telle division par 17 (de 0 à 16 inclus). Mais d'après la question 1, le reste 0 ne peut pas être obtenu car le rationnel 1 M2NA Année 2016/2017 n'est pas décimal. On peut donc obtenir 16 restes possibles au maximum (de 1 à 16). Les 16 restes possibles ont été obtenus dans les cellules A2 à A17, donc dans la cellule A18 on est certain d'obtenir un reste déjà obtenu auparavant. 4. On a a = 1, 23, d'où 100a = 123, 23. On en déduit 42 17 100a − a = 123, 23 − 1, 23 = 122, d'où 99a = 122 puis a= 122 . 99 Exercice 2. 1. On cherche les entiers p tels que 1, 117 < que p 1789 ⩽ 1, 118, autrement dit tels 1, 117 × 1789 < p ⩽ 1, 118 × 1789 soit encore 1998, 313 < p ⩽ 2000, 102. Donc p = 1999 ou p = 2000. 1999 Remarque : on peut vérier avec la calculatrice que 1789 ≈ 1, 1174 et 2000 1789 ≈ 1, 1179. 2. a) On met par exemple les fractions au même dénominateur pour les comparer. On a 1/2 = 3/6 et 2/3 = 4/6, donc 1/2 < 2/3. 12 168 13 13×13 169 12 13 De même, on a 13 = 12×14 13×14 = 182 et 14 = 14×13 = 182 , donc 13 < 14 . 31328 177 177×177 31329 176 177 176 = 176×178 De même, on a 177 177×178 = 31506 et 178 = 178×177 = 31506 , donc 177 < 178 . n On peut donc conjecturer qu'on a toujours n−1 n < n+1 ⋅ b) On met les fractions au même dénominateur. On a : n − 1 (n − 1) × (n + 1) n2 − 1 = = n n × (n + 1) n(n + 1) et n n×n n2 = = ⋅ n + 1 (n + 1) × n n(n + 1) n Comme n2 − 1 < n2 , on en déduit qu'on a n−1 n < n+1 . c) On applique le résultat du b) avec n = 987 654 322. On obtient que : 987 654 321 987 654 322 < 987 654 322 987 654 323 ⋅ Exercice 3. 1. Comme (OH) // (JT ), on peut appliquer le théorème de Thalès dans le OH 3r a 3 triangle EJT : on a EO EJ = JT , donc 5r = r . Il en résulte a = 5 r . 2. Comme a = 3r5 et que r est un nombre entier, a est le quotient de deux entiers, donc c'est un nombre rationnel. 6r 3. On peut écrire a = 10 . Donc a peut s'écrire comme une fraction décimale (car 6r est un entier), donc a est toujours un nombre décimal. 2 M2NA Année 2016/2017 4. a = 3r5 sera entier si (et seulement si) 5 divise 3r, c'est-à-dire si (et seulement si) 5 est un diviseur de r (car 5 est un nombre premier, qui doit apparaître dans la décomposition en produit de facteurs premiers de 3r). Donc les nombres r pour lesquels a est un nombre entier sont les entiers naturels non nuls multiples de 5 : 5, 10, 15, etc. 5. Oui, le nombre a peut être un nombre premier : pour r = 5 on a a = 3 qui est premier. 6. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle OHB rectangle en H . On a : OB 2 = OH 2 + HB 2 , donc r2 = a2 + HB 2 , d'où 9 9 16 3 2 HB 2 = r2 − a2 = r2 − ( r) = r2 − r2 = (1 − )r2 = r2 . 5 25 25 25 4 5 On en déduit HB = r. 7. Montrons que H est milieu de [AB] : le triangle OAB est isocèle en O (car OA = OB ), donc la hauteur issue de O est aussi la médiatrice de [AB]. Donc (OH) est la médiatrice de [AB]. On sait que cette médiatrice coupe [AB] en son milieu, donc H est le milieu de [AB]. Autre méthode : exactement de la même manière qu'on a calculé HB à la question précédente, on calcule AH à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle OAH ; on obtient que AH = HB . Donc H (qui est entre A et B ) est le milieu de [AB]. On en déduit que b = 2 HB = 58 r. 8. Supposons que b = 8r5 soit un nombre premier. Alors c'est en particulier un nombre entier, et donc 5 divise 8r = 23 × r. Donc 5 est un diviseur de r (car le facteur premier 5 doit apparaître dans 23 × r). Donc r = 5 × k, et donc b = 8 × 5r = 8 × k . Donc b est divisible par 8, et donc il ne peut pas être un nombre premier. On obtient donc une contradiction. Conclusion : le nombre b ne peut jamais être un nombre premier. Exercice 4. 1. VRAI. En eet, si ab est un nombre rationnel non nul, son inverse est ab , donc c'est aussi un nombre rationnel (quotient de deux entiers). 2. FAUX. Par exemple, 3/2 est un nombre rationnel non nul, mais son inverse est 2/3, qui n'est pas un nombre décimal. 3. VRAI. En eet, un nombre décimal est en particulier un nombre rationnel, donc son inverse est un nombre rationnel d'après le point 1. Autre justication possible : un nombre décimal peut s'écrire 10an avec a ∈ Z n et n ∈ N, donc son inverse est 10a , qui est un nombre rationnel car quotient de deux entiers. 4. FAUX. Par exemple, 3/2 = 1, 5 est un nombre décimal non nul, mais son inverse est 2/3, qui n'en est pas un. 3 M2NA Année 2016/2017 Exercice 5. 1. On transforme le second membre : 1 ) p ( p+q 2 + 1 ) q ( p+q 2 = 2 2 2q 2p + = + p(p + q) q(p + q) pq(p + q) pq(p + q) = 2p + 2q 2(p + q) 2 = = ⋅ pq(p + q) pq(p + q) pq 2. Comme p et q sont des entiers impairs, leur somme p + q est un entier pair, autrement dit un nombre entier divisible par 2. On en déduit que p+q 2 est un nombre entier. ) est aussi un nombre entier (produit de deux entiers), Il en résulte que p( p+q 2 ) est un nombre entier. Enn, pq est un nombre entier car et de même q( p+q 2 c'est le produit de deux entiers. 4