Travail n 2 - Simulations de processus aléatoires discrets Prise en

ECE 2
Informatique
n◦ 2 - Simulations de processus aléatoires discrets
Travail
Prise en main - Commandes tabul, bar et select...
case
Dans la console SCILAB, entrer les unes après les autres, les commandes suivantes et interpréter ce qui apparait
à l’écran :
z=grand(1,50,"uin",1,3)
t=tabul(z)
bar(t(:,1) ; t(:,2))
x=floor(3*rand())+1
select x case 1 then y=4 case 2 then y= 7 case
3 then y=13
Exercice 1 - Mouvement aléatoire sur les sommets d’un triangle.
1. Récuperer puis interpréter le fichier depl.sci sur la page SCILAB du site mathecegap.free.fr :
http://mathecegap.free.fr/mathece2gap/Algorithmique.html
2. Ecrire un algorithme acceptant en entrée un entier naturel n et qui dessine dans le plan la trajectoire de
taille n d’un mobile sur un triangle soumis au régle de mouvement aléatoire de l’ex. 5 de la feuille
Révisions - Utilisations de systèmes complets d’évènements .
Indication : On pourra utiliser la fonction depl présentée dans la question 1 de cet exercice ainsi qu’une
structure itérative dans laquelle s’intégrera une structure de conditionnelle Select .... case ... then
afin de distinguer les différents mouvements possibles en fonction de la position du pion.
Tester votre algorithme et appeler pour faire vérifier votre programmation.
3. Observations des positions à l’instant n.
Modifier l’algorithme précédent afin qu’il accepte en entrée un entier naturel n et un entier naturel m et qu’il
simule m trajectoires de taille n du mobile afin d’effectuer m observations de la variable Xn , variable donnant
la position du pion à l’instant n. Présenter le résultat sous forme d’un diagramme bâtons et comparer aux
valeurs théoriques an , bn et cn donnant la loi de la variable Xn .
Indication : On utilisera la commande tabul pour afin de d’établir une matrice valeur/effectif puis l’instruction
bar afin de tracer le diagramme bâtons associé.
Tester votre algorithme et appeler pour faire vérifier votre programmation.
4. Observations du temps passé dans un état donné entre l’instant initial et l’instant n.
Modifier l’algorithme précédent afin qu’il permette de comptabiliser le temps passé dans chacun des 4 états
lors d’une trajectoire de taille n. Présenter le résultat sous forme d’un diagramme bâtons.
Tester votre algorithme et appeler pour faire vérifier votre programmation.
Exercice 2 - Marche aléatoire sur Z.
On souhaite simuler la marche aléatoire d’un mobile sur une droite graduée aux valeurs entières relatives (positives
et négatives). Le mobile à l’instant initial est au point 0. A chaque instant il peut avec la même probabilité :
rester sur place, avancer d’une ou deux unités ou reculer d’une ou deux unités. On souhaite simuler le mouvement
et mémoriser la position de ce mobile.
1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Tk donnant le nombre d’unités (orientés) de déplacement
du mobile lors de l’instant k.
2. Créer une fonction SCILAB qui permet de simuler cette loi de probabilité.
Tester votre algorithme et appeler pour faire vérifier votre programmation.
3. Avec quel type de structure algorithmique peut-on simuler et mémoriser la trajectoire de ce mobile ?
4. Dans la console SCILAB, tapez puis observez ce que interprétez les instructions suivantes :
Appeler pour faire vérifier votre interprétation.
5. Compléter puis faire fonctionner le programme ci-dessous afin qu’il demande un entier n à l’utilisateur et
simule puis représente la trajectoire du mobile en fonction du temps jusqu’à l’instant n.
Tester votre algorithme et appeler pour faire vérifier votre programmation.
6. Qu’observez vous en modifiant l’instruction rand(1,n) par rand(10,n) ; l’instruction z=cumsum(x) par
z=cumsum(x,"c") et enfin l’instruction plot2d(1:n,z) par plot(1:n,z) ?
7. A l’aide de l’observation précédente, modifier le programme de la question 5 afin qu’il demande un entier n
et simule 100 fois la variable aléatoire Xn , donnant la position du mobile à l’instant n. Présenter le résultat
sous forme d’un diagramme bâtons.
Indication : On remarquera que si M est une matrice de taille p × m alors l’instruction M(:,m) affiche sa
dernière colonne.
Tester votre algorithme et appeler pour faire vérifier votre programmation.
Exercice 3 - Variations aléatoires du cours d’une action
Une action à une valeur initiale (instant 0) de 10 euros. A chaque instant, le cours de cette action peut uniformément soit augmenter de 5%, soit diminuer de 1 %, soit rester inchangé.
1. Compléter l’algorithme SCILAB ci-dessous afin qu’il accepte en entrée un entier naturel n et fournisse en
sortie le graphe de l’évolution aléatoire du cours de cette action de l’instant 0 à l’instant n.
2. Télécharger, exécuter et interpréter l’algorithme présenté dans fichier tp2ex3.sce accessible sur la page
SCILAB du site mathecegap.free.fr. Expliquer notamment la ligne de commande :
u=u*(1.05)^(max(0,x(i)))*(0.99)^(-min(0,x(i))) ;