Série 11

EPFL - Section de Mathématiques
Introduction
à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre Printemps 2007-2008
Série 11
15.05.2008
Exercice 1
Soit K un corps de nombres de degré n. Soient σ1 , σ2 , . . . , σn les n plongements distincts
de K dans C. On note r1 le nombre de plongements réels et 2r2 le nombre de plongements
complexes. On suppose en outre que les plongements σi sont ordonnés de telle sorte que
σi (K) ⊂ R pour 1 ≤ i ≤ r1 et σj+r2 (x) = σj ¯(x) pour r1 + 1 ≤ j ≤ r1 + r2 .
On note σ le plongement canonique de K dans Rr1 × Cr2 :
σ : K −→ Rr1 × Cr2
x 7→ (σ1 (x), σ2 (x), . . . , σr1 +r2 (x))
On identifiera Rr1 × Cr2 avec Rn , c’est-à-dire, pour tout x ∈ K on écrira :
σ(x) = (σ1 (x), σ2 (x), . . . , σr1 (x), Re(σr1 +1 (x)), Im(σr1 +1 (x)), . . . , Re(σr1 +r2 (x)), Im(σr1 +r2 (x))).
Soit G un sous-groupe du groupe additif de K. On suppose que G est un groupe libre de rang
n et on note x1 , x2 , . . . , xn des générateurs de G.
1. Montrer que les éléments x1 , x2 , . . . , xn sont linéairement indépendants sur Q, en particulier ils forment une base du corps K considéré comme Q-espace vectoriel.
2. Soit A la matrice dont la k-ème ligne est donnée par σ(xk ). À l’aide d’opérations
élémentaires sur les lignes, montrer la relation :
1
det(σk (xj )).
det(A) =
(2i)r2
3. À l’aide de la question 1 et du fait que le discriminant d’une base est non nul (exercice
1 de la série 10), montrer que les lignes de la matrice A sont linéairement indépendantes
sur R. En déduire que σ(G) est un réseau de Rn dont le volume d’un parallélotope
fondamental est :
1
|det(σk (xj ))|.
2r2
4. Soit d le discriminant absolu de K, soit OK l’anneau des entiers de K et soit I un idéal
non nul de OK . Montrer que σ(OK ) et σ(I) sont des réseaux et que leurs parallélotopes
fondamentaux sont de volume :
1 p
v(σ(OK )) = r2 |d|
2
et
1 p
|d|N (I)
2r2
respectivement, où N(I) désigne la norme de l’idéal I.
v(σ(I)) =
Exercice 2
On conserve les notations précédentes. Le but de cet exercice est de montrer que tout idéal
non nul I de OK contient un élément non nul x tel que :
r2
4
n! p
|NK/Q (x)| ≤
|d|N (I).
π
nn
Dans la suite, on fixe un idéal non nul I de OK .
1. Soit t ∈ R, on considère l’ensemble suivant :
Bt := {(y1 , . . . yr1 , z1 , . . . , zr2 |
r1
X
i=1
|yi | + 2
r2
X
|zj | ≤ t}.
j=1
On admet que l’ensemble Bt est compact, convexe et symétrique par rapport à 0, on
admet également que son volume est donné par :
π r2 tn
.
v(Bt ) = 2r1
2
n!
Trouver la valeur optimale de t pour laquelle il existe un élément non nul x ∈ I tel que
σ(x) ∈ Bt .
2. Pour un tel x ∈ I, montrer l’inégalité :
r2
4
n! p
|NK/Q (x)| ≤
|d|N (I).
π
nn
Indication : on pourra utiliser l’inégalité suivante entre moyennes arithmétique et géométrique
pour des nombres réels positifs x1 , x2 , . . . , xn :
√
x1 + x2 + . . . + xn
≥ n x1 · x2 · · · xn .
n