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CORRIGE
EXERCICE 1
[2 points = 0,25×7 + 0,25 suivant qu'une définition est donnée ou pas]
Définition 1
Un nombre décimal est un nombre rationnel (une fraction) qui peut s’écrire sous la forme
d’une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur)
Définition 2
Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture fractionnaire irréductible est de la forme
!
!! ×!!
!
!
= !
!×!
!×!
= !
!"
= 0,4 ; n'a pas d'écriture décimale, on ne peut écrire 7 comme le produit d'une puissance de 2 par
!
une puissance de 5 ;
0,33 est un nombre décimal ;
3 est un nombre entier donc un nombre décimal car les nombres entiers font partie de
l'ensemble des nombres décimaux ;
!!
!"
!
!"#
!"
!!
=
=
!!:!
!":!
!
!!
;
=
= !!
!! ×!!
=
!!
!
!
!""
=
!!
!"
= 2,2 ;
= 0,04 ;
55 = 5×11 or ni 11 ni 5
ne divisent
29 ; la fraction est donc irréductible. Son
dénominateur étant divisible par un autre nombre que 2 ou 5, la fraction n'est pas un nombre
décimal.
(on pouvait aussi diviser et remarquer que le résultat donné par la calculatrice : 0,5272727
pouvait s'écrire 0,527 qui est l'écriture d'un rationnel mais pas d'un décimal)
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EXERCICE 2
[2 points = 0,5 × 4]
a) A l'aide d'une lecture graphique, on trouve 150 kg puis 240 kg.
b) La fonction m est une fonction affine ; en général, la lecture de l'ordonnée du point
d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées donne la valeur de b mais ici, l'échelle ne
peut qu'indiquer que cette valeur est proche de 100.
On va donc devoir calculer : a =
∆!
∆!
=
!"#!!"#
!"#!!"
= 0,9 ; on trouve b en remplaçant par a par 0,9 , x
par 50 et y par 150 (par exemple) dans l'égalité : ! = !" + ! : 150 = 0,9×50 + ! !" ! = 105.
l'expression algébrique de la fonction affine est !(!) = 0,9! + 105.
(le symbole ∆ représente une différence)
c) b est la masse du container vide : 105 kg.
d) 1 litre d'huile pèse 0,9 kg (le coefficient directeur a).
EXERCICE 3
[3 points = 0,5+ ! + ! + !, !]
Les indications en italique sont données à titre explicatif
1. Un prix qui subit une augmentation de 25 % est multiplié par 1,25 (1 +
Un prix qui subit une baisse de 20 % est multiplié par 0,8 (1 −
!"
!""
!"
!""
)
)
Nouveau prix : 120 € (120×1,25×0,8 = 120)
2. a) On aura 120.(1+ !
!""
)(1- !
!""
) = 120
donc, en divisant chaque terme par 120 : (1+ et par suite (
!""!!
!""
)( !""!!
!""
!
!""
)(1- !
!""
)=1
)=1
les deux facteurs sont inverses l'un de l'autre puisque leur produit est égal à 1 donc :
!""!!
!""
= !""
!""!!
et (100 + !)(100 − !) = 10 000 (produit en croix)
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10 000+100! − 100! − !" = 10 000 (on développe)
100! + !" = 100!
! 100 + ! = 100! (on factorise par y)
et donc ! =
!""!
!!!""
.
b) on a tapé : "=100*B1/(B1+100)" (ne pas oublier les parenthèses autour du dénominateur)
Dans un tableur, on multiplie à l'aide de la touche "*", on divise à l'aide de la touche "/" ; pour
mettre au carré ou au cube, on utilise la touche "^" (et pas le "carré² qui est en haut à gauche
du clavier).
la fonction qui à ! associe ! =
!""!
!!!""
n'est pas une fonction linéaire, il n'y a donc pas
proportionnalité.
c) ! = 40. Donc on remplace y par 40 dans la formule de la question a), puis on résout
l'équation d'inconnue x
40 =
!""!
!!!""
donc 100! = 4 000 + 40! puis 60! = 4 000
on trouve ! =
!""
!
; le pourcentage de hausse est d'environ 66,7 %.
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PROBLEME
[5 points = 5 × 1]
1. On sait que C et D sont symétriques respectivement de A et B par rapport à F et la symétrie
centrale conserve les longueurs, donc !" = !" et !" = !".
On sait que ABF est un triangle équilatéral donc AF = FB (= AB) donc AC = BD. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont de même longueur alors c'est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle. 2. a) On sait que (EF) est perpendiculaire à (AC) et que F est le milieu de [AC]. Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c'est la médiatrice de ce segment. Donc (EF) est la médiatrice de [AC] Si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc EC = EA, et ainsi le triangle AEC est isocèle en E. Le triangle ABF étant équilatéral, ses angles mesurent chacun 60°. Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés
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Les droites (AD) et (BC) sont parallèles (ABCD est un rectangle) donc les angles alternes-­‐
internes !"# et !"# ont la même mesure. Donc !"! = 60° et le triangle AEC, qui a un angle de 60° est équilatéral. b) BF = FC = ABC est un rectangle) donc le triangle BFC est isocèle en F. !"# = !"# − !"# = 90 − 60 = 30° donc !"# = !"# = 30°. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. Donc !"# = 180 − 2×30 = 120°. c) La droite (AD) est perpendiculaire à (CE) (angle droit du rectangle ABCD). Donc (AD) est la hauteur issue de A du triangle ABC. Comme le triangle AEC est équilatéral, la hauteur est aussi médiane, donc D est le milieu de [CE]. d) On sait que (AB) est parallèle à (CD) (côtés opposés du rectangle ABCD) et que !" = !" = !". Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme. Donc ABDE est un parallélogramme. 3.a) Si !" = ! alors !" = !" = !" = !" = !" = !. !" = 2!. On sait que FEC est un triangle rectangle en F ; on peut donc appliquer le théorème de Pythagore donc : !"² = !"² + !"² !"² = 4!² − !² EF² = 3a EF = ! 3. Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés
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On sait que ABC est un triangle rectangle en B (angle droit du rectangle ABCD) ; on peut donc appliquer le théorème de Pythagore donc : !"² = !"² + !"² !"² = 4!² − !² !"² = 3!² On sait que EBC est un triangle rectangle en C (angle droit du rectangle ABCD) ; on peut donc appliquer le théorème de Pythagore donc : !"² = !"² + !"² !"² = 3!² + 4!² !"² = 7!² !" = ! 7. b) Aire de AEC = !"×!"
!
= ! !.×!!
!
= !² 3. c) Aire de ABCD = !"×!" = a×a√3=a²√3 Aire de ABDE = !"×!" (côté multiplié par la hauteur correspondant au côté) =!×! 3 = !² 3. 4) On sait que le cercle tracé a comme centre F et comme diamètre [AC] et que G est sur le cercle. Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les deux extrémités d'un diamètre et un point du cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. Donc le triangle AGC est rectangle en G et (CG) est la hauteur issue de C du triangle AEC. Comme le triangle AEC est équilatéral alors la hauteur est aussi médiane, donc G est le milieu de [AE]. 5. ABHCDG est un hexagone régulier Elisabeth REBILLARD — AFADEC — Droits de reproduction réservés
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