RECHERCHES ARITHMETIQUES par Carl Friedrich GAUSS Rémi CHEVAL 7 juillet 2014 1 Des nombres congrus en général Définition 1 (Congruence). Soient a un entier naturel et b, c deux entiers relatifs. − Si a divise (b−c), b et c sont dits congrus suivant a, sinon incongrus. a s’appellera le module. Chacun des nombres b et c, résidus de l’autre dans le premier cas, et non résidus dans le seconde. − Les nombres peuvent être positifs ou négatifs, mais entiers. Quant au module, il doit évidemment être pris absolument, c’est-à-dire, sans aucun signe. − Ainsi −9 et +16 sont congrus par rapport au module 5 ; −7 est résidu de 15 par rapport au module 11, et non résidu par rapport au module 3. − Au reste 0 étant divisible par tous les nombres, il s’ensuit qu’on peut regarder tout nombre comme congru avec lui-même par rapport à un module quelconque. − Tous les résidus d’un nombre donné a suivant le module m sont compris dans la formule a + k m, k étant un entier indéterminé. Les plus faciles des propositions que nous allons exposer peuvent sans peine se démontrer par-là ; mais chacun en sentira la vérité au premier aspect. − Nous désignerons dorénavant la congruence de deux nombres par ce signe ≡, en y joignant, lorsqu’il sera nécessaire, le module renfermé entre parenthèses ; ainsi : −16 9 (mod. 5) , ≡ −7 15 (mod. 11) ≡ Théorème 2. Soient m nombres entiers successifs a, a + 1, a + 2, ..., a + m − 1 et un autre A. Un des premiers sera congru avec A, suivant le module m, et il n’y en aura qu’un. Démonstration. On sait qu’il existe un unique k ∈ Z (il s’agit de la partie entière supérieure) tel que : ⇐⇒ k−1 < A + (k − 1) m < a−A m a ≤ k ≤ A + km Existence d’un résidu présent dans { a + i ∥ i ∈ J0, m − 1K } : − On obtient ainsi : − Donc il existe a ≤ i ∈ J0, m − 1K Unicité de ce résidu : A + km tel que A ≡ A + k m (mod. m) ≡ a + i (mod. m) ∀i ∈ J0, m − 1K, k−1 Donc il existe un unique a+m < i ∈ J0, m − 1K < a+i−A m tel que la fraction 1 < k+1 a+i−A soit un entier. m Définition 3 (Résidus minima, résidu minimum absolu). En appliquant le théorème précédent respectivement avec a = 0 et avec a = −(m − 1), on obtient que chaque nombre aura un résidu, tant dans la suite 0, 1, ..., (m − 1), que dans celle-ci : 0, −1, ..., −(m − 1) ; nous les appellerons résidus minima ; et il est clair qu’à moins que 0 ne soit résidu, il y en aura toujours deux : l’un positif, l’autre négatif. S’ils sont inégaux, l’un deux sera strictement inférieur à m/2 ; s’ils sont égaux, chacun d’eux égaux à m/2 sans avoir égard au signe ; d’où il suit qu’un nombre quelconque a un résidu qui ne surpasse pas la moitié du module, et que nous appellerons résidu minimum absolu. Exemple 4. −13 suivant le module 5, a pour résidu minimum positif 2, qui est en même temps minimum absolu, et −3 pour résidu minimum négatif ; +5, suivant le module 7, est lui-même son résidu minimum positif ; −2 est le résidu minimum négatif et en même temps le minimum absolu. Proposition 5. Des notions que nous venons d’établir, nous tirerons d’abord les conséquences suivantes : 1. Les nombres qui sont congrus suivant un module composé, le sont également suivant un quelconque de ses diviseurs : ∀a, b ∈ Z, ∀d, m ∈ N, a ≡ b (mod. m), d ∣ m alors a ≡ b (mod. d) 2. Si plusieurs nombres sont congrus à un même suivant le même module, ils seront congrus entre eux (toujours suivant le même module) : ∀a, b, c ∈ Z, ∀m ∈ N, a ≡ c (mod. m), b ≡ c (mod. m), alors a ≡ b (mod. m) 3. On doit supposer la même identité de module dans ce qui suit. Les nombres congrus ont les mêmes résidus minima ; les nombres incongrus les ont différents. Démonstration. Soient a, b, c ∈ Z et d, m ∈ N, 1. 2. 3. b−a m c−a m et et m sont des entiers d c−b sont des entiers m donc donc Il s’agit une conséquence directe du point 2. 2 b−a d b−a m = = b−a m × est un entier m d c−a c−b − est un entier m m