Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe Manip.Méca.7. 1 Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe M.7.1. But de la manipulation Le but de la manipulation est de vérifier l'équation qui régit le mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe, dans le cas simple d'un mouvement uniformément accéléré. Pour ce faire, vous devrez montrer que l'accélération angulaire du mouvement est proportionnelle au moment de la force agissante et inversement proportionnelle au moment d'inertie du solide. De plus, vous testerez la conservation de l'énergie mécanique dans le dispositif où le solide est mis en mouvement par la pesanteur agissant sur une masse que vous aurez attachée au préalable à ce solide. Enfin, vous vérifierez la loi de conservation du moment cinétique lors d'une collision entre deux corps en rotation. M.7.2. Dispositif expérimental M.7.2.1. Solide en rotation autour d'un axe fixe Le dispositif expérimental est fait d’une base fixe, perpendiculairement à laquelle peut tourner, avec des frottements réduits, un arbre sur lequel se fixe un plateau et accessoirement d’autres pièces (un second plateau, une barre et un anneau en acier). La base est montée sur trois supports que l’on peut régler de manière à assurer l’horizontalité du dispositif. Une poulie à trois gorges dont l’axe coïncide avec l’axe de rotation est solidaire du plateau principal. Un fil, fixé à cette poulie et enroulé sur celle-ci, permet d’appliquer à une distance de l’axe de rotation fixée par le rayon de la gorge utilisée, la force mettant en rotation le plateau; grâce à une autre poulie cette force peut être celle résultant du poids d’une masse suspendue au fil. Les dimensions et autres caractéristiques intéressantes des différentes pièces tournantes du dispositif sont indiquées dans le tableau ci-contre. Tier of step pulley use Smallest Middle Largest 10-spoke 1.00 0.75 0.60 Rayon des gorges du plateau (en cm) Petite = 1.5 Moyenne = 2.0 Grande = 2.5 Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 2 M.7.2.2. Dispositif d'enregistrement du mouvement: poulie chronométrique La rotation du solide est observée au moyen d’une poulie chronométrique (smart pulley timer). Il s’agit d’une poulie de faible inertie pouvant tourner, avec un frottement réduit entre les deux montants d’une porte optique (photogate). L’un des montants de la porte émet un mince faisceau de lumière infrarouge que reçoit un détecteur incorporé à l’autre montant, à moins que le faisceau n’ait été intercepté par un des dix rayons (spoke) de la poulie. Un signal indiquant que la porte est ouverte (photogate unblocked) ou fermée (photogate blocked) est transmis en permanence par le détecteur à un ordinateur. Le programme de ce dernier (Datastudio) exploite les intervalles séparant les fermetures successives de la porte lorsque la poulie tourne et fait l’étude cinématique du mouvement de celle-ci (position, vitesse et accélération angulaire). Les résultats sont présentés sous forme de graphiques et/ou de tableaux. Pour lier la rotation de la poulie à celle du plateau on peut faire en sorte que le plateau entraîne la poulie. Celle-ci sera alors mise en contact horizontalement avec le plateau (Smart Pulley sur la figure ci-dessus). Une autre méthode, celle que nous utiliserons pour les deux premières expériences, consiste à se servir de la poulie chronométrique comme poulie de transmission de la force motrice (Pulley sur la figure); l’angle θ dont tourne alors le plateau entre deux interruptions successives du faisceau lumineux de la porte optique dépend évidemment du rayon géométrique de la gorge du plateau que l’on utilise. Dans ce cas, on enregistre une vitesse/accélération linéaire et on convertira celle-ci en la vitesse/accélération angulaire du plateau1. Avant d'entreprendre la manipulation proprement dite, familiarisez-vous avec le logiciel d’acquisition et de traitement de données Datastudio. Ce programme, dont vous trouverez un mode d’emploi succinct à proximité, va vous permettre d’enregistrer les données, de les traiter et de les représenter en graphique. 1 Pour rappel: v = ωr, a = αr (attention aux unités!) Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 3 M.7.3. Manipulation M.7.3.1. Loi du mouvement de rotation Réalisez le montage apparaissant à la figure suivante: Assurez-vous de l’horizontalité du dispositif, celle de la base mais aussi celle du fil tendu entre la poulie de transmission et le plateau. Pour le premier essai, enroulez le fil (1,5 m environ) dans la plus petite gorge et fixez son extrémité à l’aide de la vis prévue à cet effet. Après avoir choisi Create Experiment sur l’écran principal du programme Datastudio, celui-ci va vous demander quel type de senseur vous utilisez. Faites votre choix et justifiez-le. Ensuite le logiciel vous demandera des précisions sur la poulie chronométrique utilisée. Justifiez l’utilisation de ces données et introduisez la bonne valeur. Le support pour masses que vous attacherez à l’autre extrémité du fil est à peser. Vous y déposerez pour commencer une masse de 50 g. Maintenez les masses qui vont entraîner le plateau en une position initiale proche de la table de travail et telle que le témoin lumineux de la porte optique soit allumé. Ce témoin lumineux est reproduit sur le boîtier d’acquisition permettant de relier deux portes optiques à l’ordinateur. Déclenchez alors l’enregistrement au moyen du bouton START dans le programme Datastudio, et libérez les masses en même temps. Avant que ces masses n’atteignent le sol ou que le fil soit complètement déroulé, arrêtez l’enregistrement des mesures (bouton STOP) et bloquez aussi le plateau. En cas de problème, effacer la série de mesures (cliquez sur la série correspondante dans la fenêtre Data à gauche de l’écran et appuyez sur le bouton Delete du clavier) et recommencez. Les tables de données sont visibles (mais non modifiables ☺) en double-cliquant sur Table dans la fenêtre Displays à gauche de l’écran. Si les graphiques obtenus en temps réel sur l’écran de l’ordinateur vous incitent à croire que la manœuvre a été réussie (pas de contacts intempestifs des masses avec l’un ou l’autre corps, notamment avec le sol, alors que les mesures sont en cours), déterminez l’accélération linéaire en ajustant une droite sur le graphique de la vitesse obtenu (clic gauche sur les mesures de la vitesse pour les sélectionner, ensuite clic droit Fit Linear Fit). Pourquoi est-ce la vitesse qui fournit la meilleure valeur pour l’accélération? Passez ensuite à l’accélération angulaire au moyen du rayon de la gorge utilisée (pourquoi doit-on faire cela?). Ajustez les échelles du graphique pour une meilleure visibilité (clic gauche sur un axe et déplacer la souris dans le sens voulu), imprimez-le et joignez-le à votre rapport. Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 4 Recommencez l’expérience pour les valeurs de masse suivantes: 100, 150, 200 et 250 g. Les nouvelles séries de mesures vont se superposer sur les graphiques (Run #1, #2,…). Déterminez chaque fois l’accélération angulaire du mouvement à partir de l’ajustement linéaire de la vitesse. Portez les cinq valeurs obtenues en graphique en fonction de la masse pendante. Pour ceci, cliquez sur le menu Experiment New empty data table et rentrez les valeurs correspondantes. Un double clic sur Graph dans la fenêtre Displays (à gauche) vous permettra ensuite de représenter ces valeurs (double clic sur Editable data) et de les ajuster comme précédemment. Interprétez le graphique ainsi obtenu et imprimez-le. Sauvegardez ensuite l’expérience en cours (instructions à côté de l’ordinateur) avec votre numéro de groupe. Il s’agit de la partie 1 de l’expérience. Recommencez l’expérience, une masse fixe (100 g) entraînant le plateau, mais en enroulant le fil successivement dans les trois gorges. Pour ceci, sélectionnez File New Activity dans Datastudio. En suivant le même procédé qu’auparavant, tracez le graphique de l’accélération angulaire en fonction du rayon de la gorge, ajustez et interprétez. Imprimez également ce graphique. Sauvegardez l’activité (partie 2). Retournez le plateau principal, superposez-lui le plateau auxiliaire et faites un nouvel essai (nouvelle activité dans Datastudio!). Poursuivez en déposant sur le plateau principal la masse puis l’anneau. Tracez le graphique de l’accélération angulaire en fonction du moment d’inertie (cf. tableau page 1) des solides en rotation, essayez d’ajuster avec une fonction bien choisie, interprétez et imprimez. Sauvegardez l’activité (partie 3). M.7.3.2. Energie cinétique de rotation En utilisant le même montage, mesurez, à partir du sol, la hauteur h1 (départ), la hauteur h2 jusqu’à laquelle la masse motrice peut descendre et, lors de chaque essai, la hauteur h3 jusqu’à laquelle elle remonte ensuite. Travaillez avec une masse de 50 g et le fil enroulé sur la plus petite gorge. Ouvrez une nouvelle activité dans Datastudio. Observez le graphique de la vitesse. Interprétez-le en termes d’énergie cinétique du plateau. Comment cette énergie varie-t-elle au cours du mouvement? D’où provient-elle? Sur le graphique de la vitesse, lisez la valeur maximale de la vitesse en activant l’option Statistics (symbolisée par ∑). Calculez ensuite l’énergie cinétique acquise par le plateau et, au même instant, celle de la masse qui l’a mis en mouvement. Mettez l’énergie cinétique ainsi calculée en rapport avec la variation de l’énergie potentielle de pesanteur depuis la mise en mouvement. Vos calculs montrent-ils que l’énergie mécanique est conservée? Sauvegardez également cette activité (partie 4). Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 5 M.7.3.3.Collisions rotationnelles Réalisez le montage apparaissant sur la figure suivante: Démarrez une nouvelle activité dans Datastudio. Puisque vous enregistrerez maintenant une vitesse angulaire, il faudra faire le bon choix dans la fenêtre Choose Timer au début de l’activité. Retournez le plateau (gorges vers le bas), retirez la poulie chronométrique et fixez-la en position horizontale, en la maintenant contre le plateau au moyen d’un élastique. Maintenez le plateau auxiliaire au-dessus du plateau principal de telle manière que, si vous le laissiez tomber, il se fixerait sur l’arbre de rotation. De la main, imprimez un mouvement de rotation au plateau principal et déclenchez l’acquisition de données. Après quelques secondes d’enregistrement, laissez tomber le plateau auxiliaire et arrêtez l’enregistrement après quelques mesures supplémentaires. Interprétez le graphique de la vitesse. Dans le tableau de valeurs qui lui est associé, lisez d’une part la vitesse qui est celle de la poulie (solidaire du plateau principal) avant la collision et lisez d’autre part la vitesse qui est celle de la poulie (avec les deux plateaux) après la collision. Déduisez-en les vitesses de rotation des plateaux avant et après (voir tableau page 1). Calculez le moment cinétique du système constitué par les deux plateaux avant et après leur rencontre et vérifiez dans quelle mesure cette grandeur est conservée. Pourquoi s’attendon à ce qu’elle le soit? Enregistrez l’activité (partie 5). M.7.4. Questions préparatoires à la manipulation a) Quelle est l'équation régissant le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe? b) Qu'appelle-t-on moment d'inertie? c) Donnez l'équation du mouvement uniformément accéléré. d) Comment convertir des vitesses/accélérations angulaires en leurs pendants linéaires?