ARITHMETIQUES 3ème Leçon 1 I. LE POINT SUR LES NOMBRES ✔ Les entiers naturels sont les nombres qui peuvent s’écrire sans virgule. þ Exemples : 0 ; 1 ; 2… mais aussi 4 ; 6 3 ✔ Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs ou négatifs. þ Exemples : -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ... et aussi −24 sont des nombres entiers relatifs. 6 ✔ Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient de deux entiers. è Si la division tombe juste, on les appelle aussi " nombres décimaux D ". 3 = 1,5 est rationnel mais aussi décimal. 2 2 è Certains rationnels sont négatifs. Par exemple − ≈ −0, 6666... 3 Par exemple ✔ ATTENTION : Certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. On dit qu’ils sont irrationnels. þ Exemples : 2 ,π … Conclusion : est inclus dans qui est inclus dans D qui est inclus dans qui est inclus dans . On écrit : ⊂ ⊂ D ⊂ ⊂ est l’ensemble des nombres réels Application : Un même nombre peut-il appartenir à plusieurs familles ? II. DIVISIBILITE a. Division euclidienne Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q et le reste r tels que : a = b x q + r et 0 ≤ r < b Exemple : division euclidienne de 249 par 22 A la main : b. Diviseurs et multiples Définition : Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, c’est à dire lorsque le quotient de a par b est un nombre entier. On dit aussi que b est un diviseur de a. þ Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, (ex : ) - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, (ex : ) - par 10, si son chiffre des unités est 0, (ex : ) - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, (ex : - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. (ex : Pascaldorr © www.maths974.fr Applications : 60 est divisible par … ) ) 792 est divisible par … ARITHMETIQUES 3ème Leçon 2 þ Exemples : 18 est divisible par 6 car 18 = 6 x 3 On dit que 6 et 3 sont des diviseurs de 18 et que 18 est un multiple de 6 et de 3. ✔ ✔ Citer 2 nombres qui ne sont pas des diviseurs de 16 : Citer d’autres multiples de 6 : Remarque : 1 est un diviseur de tout entier et chaque entier est divisible par lui-même. c. Nombres premiers Définition : Un nombre est premier lorsqu’il est divisible par exactement 2 nombres : 1 et par lui même. þ Exemples : 2, 3, 5, 7, … Cette liste est infinie. þ Remarque : 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur : lui même. þ Exercice : 12 est il premier ? d. Diviseurs communs ✔ Compléter : 18 = 1 x … = 2 x … = 3 x … ✔ En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 : ✔ Puis celle de tous les diviseurs de 12 : Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b. ✔ En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 : Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b. III. PGCD Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b). ✔ Ainsi PGCD(12 ; 18) = þ Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72) Diviseurs de 56 : Diviseurs de 72 : Diviseurs communs à 56 et à 72 : þ Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16) Diviseurs de 15 : Diviseurs de 16 : Diviseurs communs à 15 et à 16 : þ Ex 3 : Trouver le PGCD (54 ; 81) Diviseurs de 54 : Diviseurs de 81 : Diviseurs communs à 54 et à 81 : PGCD (56 ; 72) = PGCD (15 ; 16) = PGCD (54 ; 81) = þ Ex 4 : Compléter mentalement ces cas particuliers : a) PGCD (169 ; 169) = b) PGCD (123 ; 246) = c) PGCD (0 ; 127) d) PGCD (1 ; 39) = = Pascaldorr © www.maths974.fr 3ème ARITHMETIQUES Leçon 3 Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. þ Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1 par contre 21 et 28 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (21 ; 28) = 7 þ Ex 5 : Bob affirme mentalement que dans chacun des cas suivants, les entiers donnés ne sont pas premiers entre eux. Essaie de trouver sa méthode. a) 312 et 476 b) 345 et 1 644 Remarque : pour déterminer un PGCD, lorsqu’il s’agit de « petits nombres » comme précédemment, on peut faire la liste des diviseurs, mais dans les cas plus compliqués on utilisera un autre procédé. Bientôt … Pascaldorr © www.maths974.fr