Dérivation – Continuité

Dérivation – Continuité
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2009/2010
Table des matières
1 Nombre dérivé – Fonction dérivé
2
1.1
Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.3
Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Équation de la tangente à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
2 Sens de variation d’une fonction
4
2.1
Sens de variations d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Sens de variation d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Sens de variation par dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Dérivation d’une fonction composée
5
3.1
Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
De nouvelles formules de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Continuité – Application
6
4.1
Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2
Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Table des figures
1
Nombre dérivé et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4
Une fonction non continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Liste des tableaux
1
Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
∗ Ce
cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
1
NOMBRE DÉRIVÉ – FONCTION DÉRIVÉ
En préliminaire au cours :
– Test C page 10 [Déclic] : Droites et fonctions affines.
– Test A page 10 [Déclic] : Équations et inéquations du second degré.
Exercices de révision : Test D page 101 – 2, 3, 4 page 232 – 6, 8, 10 page 23 et 85 page 333 – 11, 12
page 234 [Déclic]
1
Nombre dérivé – Fonction dérivé
Dans toute la suite, on considère
une fonction
f définie sur un intervalle I. On note Cf sa courbe
→
− →
−
représentative dans un repère O ; i ; j .
1.1
Nombre dérivé
Définition : Soit a ∈ I.
(a)
Si le taux d’accroissement f (a+h)−f
tend vers un nombre fini lorsque h tend vers zéro, on dit que
h
la fonction f est dérivable en a.
Ce nombre est alors appelé nombre dérivé de f en a. On le note f 0 (a).
On a donc :
f (a + h) − f (a)
f 0 (a) = lim
h→0
h
Remarques :
1. Le taux d’accroissement de f en a peut aussi s’écrire
La fonction f est dérivable en a si
Dans ce cas, on a :
f (x)−f (a)
x−a
f (x)−f (a)
.
x−a
tend vers un nombre fini lorsque x tend vers a.
f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x−a
2. Le taux d’accroissement de f en a correspond à un coefficient directeur d’une sécante à f en
a(voir figure 1). Si la fonction f est dérivable en a, alors sa courbe représentative admet une
tangente au point d’abscisse a et f 0 (a) est le coefficient directeur de la tangente.
Fig. 1 – Nombre dérivé et tangente
Exercices : 13 page 23 ; 38, 39 page 26 et 92 page 355 – 40, 44 page 26 et 45 page 276 [Déclic]
1 Lectures
graphiques sur une courbe.
sous le même dénominateur.
3 Second degré.
4 Lectures graphiques.
5 Nombre dérivé : détermination graphique et par le calcul.
6 Coût moyen et coût marginal
2 Mise
2
1
NOMBRE DÉRIVÉ – FONCTION DÉRIVÉ
1.2
1.2
Fonction dérivée
Fonction dérivée
1.2.1
Définition
Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel a de l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable
sur l’intervalle I.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f sur l’intervalle I la fonction qui, à tout x de I, associe
le nombre dérivé f 0 (x). On note cette fonction f 0 .
1.2.2
Dérivées des fonctions usuelles
les résultats concernant les dérivées des fonctions usuelles ont été vus en Première ES et sont résumés
dans le tableau 1.
fonction f
f (x) = k (k constante)
f (x) = x
f (x) = x2
f (x) = x3
f (x) = xn (n entier >0)
dérivée f 0
f 0 (x) = 0
f 0 (x) = 1
f 0 (x) = 2x
f 0 (x) = 3x2
f 0 (x) = nxn−1
Domaine de dérivabilité
R
R
R
R
R
f (x) =
1
x
f 0 (x) = −
1
x2
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
f (x) =
1
x2
f 0 (x) = −
2
x3
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
f (x) =
1
(n entier >0)
xn
f 0 (x) = −
√
1
f 0 (x) = √
2 x
f (x) =
x
n
]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
xn+1
]0 ; +∞[
Tab. 1 – Dérivées des fonctions usuelles
1.2.3
Opérations sur les fonctions dérivables
les résultats concernant les opérations sur les fonctions dérivables ont été vus en Première S et sont
résumés dans le tableau 2.
Opération
Dérivée
Somme de deux fonctions
Multiplication par une constante
Produit de deux fonctions
u+v
ku
uv
u0 + v 0
ku0
0
u v + uv 0
Inverse d’une fonction
1
v
Quotient de deux fonctions
u
v
−
v0
v2
u0 v − uv 0
v2
Tab. 2 – Opérations sur les fonctions dérivables
Exercices : Exercice 14 page 23 [Déclic]
3
Conditions
d’utilisation
u et v dérivables sur I
u dérivable sur I
u et v dérivables sur I
u et v dérivables sur I
Pour tout x ∈ I, v (x) 6= 0
u et v dérivables sur I
Pour tout x ∈ I, v (x) 6= 0
1.3
1.3
Équation de la tangente à une courbe
2
SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION
Équation de la tangente à une courbe
On reprend la figure 1.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a ∈ I.
La tangente T à Cf au point d’abscisse a est la droite :
– de coefficient directeur m = f 0 (a) ;
– passant par A (a ; f (a)).
On obtient le résultat suivant :
Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a ∈ I.
La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a admet comme équation :
y = f 0 (a) (x − a) + f (a)
Exercices : 51, 52, 53 page 287 [Déclic]
2
Sens de variation d’une fonction
2.1
Sens de variations d’une somme
Propriété 1 : Produit de fonctions par un nombre
Soit f une fonction et k un réel.
– Si k > 0, f et kf ont même sens de variations.
– Si k < 0, f et kf ont des sens de variations contraires.
Propriété 2 : Somme de deux fonctions
– Si f et g sont croissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est croissante sur I.
– Si f et g sont décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est décroissante sur I.
Remarques :
1. Il n’y pas de résultat général lorsque f et g sont de sens de variations contraires.
2. Pour étudier les variations de f − g, on peut remarquer que f − g = f + (−g) et étudier d’abord
les variations de la fonction (−g).
Exercices : 17, 18 page 248 – 21, 22 page 24 et 29, 31, 32 page 259 [Déclic]
2.2
Sens de variation d’une fonction composée
Activité : Activité 1 page 1110 [Déclic]
Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.
Soit v une fonction définie sur l’intervalle J.
On appelle composée de u suivie de v la fonction f définie sur l’intervalle I par : f (x) = v (u (x)).
Ceci peut se résumer par le schéma suivant :
f :
I −→
x −→
J
−→
X = u (x) −→
R
v (X) = v (u (x))
On note alors : f = v ◦ u.
Remarque : Pour pouvoir définir la fonction composée de u suivie de v, il faut absolument que la
fonction v soit définie sur l’ensemble correspondant aux images de u. La fonction composée, elle, a
alors même ensemble de définition que la fonction u.
Exercices : 20, 25, 26 page 2411 [Déclic]
7 Équation
de tangente.
8 QCM.
9 Sens
de variations de fonctions sommes.
de fonctions : fonction composée.
11 Écriture de fonctions composées.
10 Montage
4
3
DÉRIVATION D’UNE FONCTION COMPOSÉE
2.3
Sens de variation par dérivation
Propriété : Sens de variation par composition
Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.
Soit v une fonction définie sur l’intervalle J.
On note f = v ◦ u.
– Si u et v ont même sens de variations, alors f est croissante sur l’intervalle I.
– Si u et v ont des sens de variations contraires, alors f est décroissante sur l’intervalle I.
Remarque : Attention ! Les variations de u sont à étudier sur l’intervalle I et celles de v sur l’intervalle
J.
√
Exemple : Soit f la fonction définie sur [4 ; +∞[ par f (x) =
√ 2x − 8.
On pose u (x) = 2x − 8, définie sur [4 ; +∞[ et v (x) = x. On a alors f = v ◦ u
4
+∞
x
Les variations de u sur [4 ; +∞[ sont :
.
%
u (x)
0
Par suite, si x ∈ [4 ; +∞[, u (x) ∈ [0 ; +∞[. On doit donc étudier les variations de v sur [0 ; +∞[.
Donc :
– u est croissante sur [4 ; +∞[, à valeurs dans [0 ; +∞[
– v est croissante sur [0 ; +∞[
Par suite, f est croissante sur [4 ; +∞[.
Exercices : 34, 35, 37 page 2512 – 27 page 24 et 36 page 2513 – 90, 91 page 3514 [Déclic]
2.3
Sens de variation par dérivation
Théorème fondamental (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
– Si, pour tout x de I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante sur I.
– Si, pour tout x de I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante sur I.
– Si, pour tout x de I, f 0 (x) = 0 alors f est constante sur I.
Remarques :
1. On a aussi : f 0 (x) > 0 donne f strictement croissante, etc.
2. Pour étudier les variations d’une fonction, il suffit donc d’étudier le signe de sa dérivée. Néanmoins, dans certains cas simples (trinôme du second degré, fonctions associées, somme de deux
fonctions...), ceci n’est pas toujours nécessaire.
Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f 0 s’annule en changeant de signe en a ∈ I, alors f admet un extremum en a.
Exercices : 16 page 23 et 41, 42 page 2615 – 46, 48 page 27 et 82 page 3216 – 56 page 28 et 86 page
3317 [Déclic]
3
3.1
Dérivation d’une fonction composée
Théorème fondamental
Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle
J telles que, pour tout x ∈ I, u (x) ∈ J.
Alors la fonction f définie par f (x) = v ◦ u (x) = v (u (x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I :
f 0 (x) = u0 (x) × v 0 (u (x))
12 Sens
de variation d’une fonction composée.
d’une fonction.
14 QCM, Vrai ou faux.
15 Sens de variation et dérivation.
16 Lien entre f et f 0 .
17 Fonctions économiques.
13 Inverse
5
3.2
De nouvelles formules de dérivation
4
CONTINUITÉ – APPLICATION
Exemple : Soit f la fonction définie sur ]−5 ; 5[ par :
f (x) =
On a f = v ◦ u avec u (x) = x2 − 25 et v (X) =
Comme u0 (x) = 2x et v 0 (X) = − X12 , on a :
0
f (x) = 2x ×
−
x2
1
− 25
1
X.
!
1
(x2
2
− 25)
=−
2x
(x2
2
− 25)
Exercices : 57, 60 page 29 ; 65 page 30 et 83 page 3218 [Déclic]
3.2
De nouvelles formules de dérivation
Quelques cas particuliers importants :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
0
– Pour tout entier naturel n non nul, la fonction un est dérivable sur I et (un ) = nu0 un−1 .
0
0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) 6= 0, La fonction u1 est dérivable sur I et u1 = − uu2 .
0
0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) 6= 0, La fonction u1n est dérivable sur I et u1n = − unu
n+1 .
√
√ 0
0
– Si pour tout x ∈ I, u (x) > 0, La fonction u est dérivable sur I et ( u) = 2u√u .
Remarque : Dans le tableau des dérivées usuelles, on remplace x par u et on multiplie par u0 .
Exercices : 58 page 2919 – 61, 62, 64 page 3020 – 66 page 3021 [Déclic]
4
Continuité – Application à la résolution d’équations
Activité : Activité 3 page 1122 [Déclic]
4.1
Fonctions continues
Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.
On dit que f est continue en a si limx→a f (x) = f (a).
Remarque : Il ne suffit pas que la fonction soit définie en a pour qu’elle soit continue en a. Par exemple,
la fonction partie entière (voir figure 2) est définie en 2 mais n’est pas continue en 2 : E (2) = 2 et
lim x→2 E (x) = 1.
x<2
Fig. 2 – Fonction partie entière
Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel a de l’intervalle I.
Remarque : Graphiquement, la fonction f est continue sur l’intervalle I si on peut tracer sa représentation graphique « sans lever le crayon ». (voir figures 3 et 4)
18 Nombre
dérivé de fonctions composées.
ou faux.
20 Calcul de dérivées.
21 Étude de fonctions.
22 Recherches de solutions d’une équation.
19 Vrai
6
4
CONTINUITÉ – APPLICATION
4.1
Fig. 3 – Une fonction continue
Fig. 4 – Une fonction non continue
7
Fonctions continues
4.2
Théorème des valeurs intermédiaires
RÉFÉRENCES
Quelques cas particuliers :
– Les fonctions usuelles et les fonctions obtenues par opérations sur les fonctions usuelles son t
continues sur leur ensemble de définition.
– Les fonctions polynômes et rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
– Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (mais la réciproque est
fausse, voir activité 3 page 11[Déclic])
Exercices : 69, 71, 73 page 31 et 79 page 3223 [Déclic]
4.2
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 1 : (admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b ∈ I avec a < b.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe (au moins) un réel c de [a ; b] tel que f (c) = k
(voir figure 3).
Remarque : L’hypothèse de la continuité est essentielle.
La fonction de la figure 4 n’est pas continue sur [0 ; 4] et, bien que f (0) = 1 et f (4) = 5, l’équation
f (x) = 2, 5 n’admet aucune solution.
Théorème 2 : Cas des fonctions strictement monotones
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a, b ∈ I avec a < b.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un unique réel c de [a ; b] tel que f (c) = k
Remarque : Il n’est en général pas possible de déterminer de manière exacte cette solution. Par contre,
des méthodes (comme la méthode de balayage ou l’utilisation du mode solveur des calculatrices)
permettent d’en trouver une valeur approchée (voir TD 1 page 2024 [Déclic]).
Exercices : 74, 75 page 3125 – 78 page 31 ; 80, 81 page 32 et 93 page 3526 [Déclic]
Références
[Déclic] Déclic Term ES, Hachette éducation (édition 2006)
2, 3, 4, 5, 6, 8
23 Continuité
d’une fonction.
d’équations à la calculatrice.
25 Théorème des valeurs intermédiaires.
26 Valeurs approchées de solutions.
24 Résolution
8