Compléments sur les fonctions I. Cosinus et sinus d’un nombre réel I.1 Définitions C le cercle trigonométrique de centre O et (O ; i , j ) un repère orthonormal direct Pour tout réel t, il existe un unique point M de C tel que ( i , OM) = t (modulo 2). On note par t une mesure de l’angle orienté ( ⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗). L’abscisse de M dans (O ;⃗ , ⃗) est cos t. On note par t une mesure de l’angle orienté ( ⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗). L’ordonnée de M dans (O ;⃗ , ⃗) est sin t. On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ La tangente de t, notée tan t, est le quotient sin t si t + k où k ZZ cos t tan t est l’abscisse dans le repère (A, j ) du point T de la tangente à C en A, on a AT = tan t j . Page 1 sur 4 I.2 Formules connues (Rappels) Pour tout x IR : – 1 cos x 1 ; – 1 sin x 1 ; cos² x + sin² x = 1 cos (x + 2k ) = cos x (k ZZ) ; sin (x + 2k ) = sin x (k ZZ) Formules d’addition a et b étant deux réels cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a ; ; cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a Formules de duplication Pour tout réel a , sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos²a – sin²a ; cos 2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a cos²a = 1 + cos 2a et sin²a = 1 – cos 2a 2 2 Cosinus et sinus des angles associés Pour tout réel x : cos ( – x) = cos x cos ( – x) = – cos x cos ( + x) = – cos x cos – x = sin x 2 cos + x = – sin x 2 sin ( – x) = – sin x sin ( – x) = sin x sin ( + x) = – sin x sin – x= cos x 2 sin + x = cos x 2 Equation cos x = a avec a réel si a > 1 l’équation n’a pas de solution si a 1 : on pose a = cos , on a cos x = cos x 2k ou x 2k En particulier cos x = –1 x 2k où k et k’ sont deux entiers relatifs où k est un entier relatif k où k est un entier relatif 2 cos x = 1 x 2k où k est un entier relatif cos x = 0 x Equation sin x = b avec b réel si b > 1 l’équation n’a pas de solution si b 1 : on pose b = sin , on a sin x = sin x 2k ou x 2k où k et k’ sont deux entiers relatifs En particulier sin x = –1 x sin x = 0 x k 2 2k x 0 Cos x 1 Sin x 0 où k est un entier relatif où k est un entier relatif 2k 2 Cosinus et sinus d’angles connues sin x = 1 x où k est un entier relatif π √ √ √ √ 0 √ 1 √ √ √ -1 0 Page 2 sur 4 II. Etude des fonctions cosinus et sinus II.1 Définitions La fonction qui a tout réel x associe l’abscisse d’un point M du cercle trigonométrique est la fonction cosinus. La fonction qui a tout réel x associe l’ordonnée d’un point M du cercle trigonométrique est la fonction sinus. On a : cos : x [ – 1 ; 1] cos x sin : x [ – 1 ; 1] sin x II.2 Propriétés On a : Périodicité : Pour tout réel x, cos ( x + 2 ) = cos x et , sin ( x + 2 ) = sin x On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2 On étudie une fonction périodique de période p sur un intervalle de longueur p. Parité : Pour tout réel x, cos ( – x) = cos x et sin ( –x) = – sin (x) On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’origine du repère. II.3 Dérivabilité On a vu : activité 2 page 92 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0. Généralisons : Les fonctions cos et sin sont dérivables sur . Pour tout réel x, cos’(x) = – sin (x) et sin’(x) = cos (x) Démonstration … II.4 Tableau de variations La périodicité et la parité permettent d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur [0 ; ]. x cos’(x) 0 0 1 – 0 x sin’(x) y 4 cos 0 + – 0 1 sin –1 0 3 0 II.5 Représentations graphiques 2 1 y=sin(x) -5 -4 y=cos(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 Page 3 sur 4 -3 III. Dérivée de fonctions composées III.1 Dérivée x f (ax + b) f une fonction dérivable sur un intervalle I, a et b deux réels. Soit J un intervalle tel que : La fonction g : x f (ax + b) est dérivable sur J et, pour tout x J : ( ) ( ) x J, ax + b I. Démonstration … III.2 Dérivée x √ ( ) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction f : x √ ( ) est dérivable sur I et, pour tout x I : ( ) ( ) √ ( ) On obtient la formule (√ ) √ Démonstration … III.3 Dérivée x ( ( )) Soit n *. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , et dans le cas où n < 0, ne s’annulant pas sur I. ( ( )) est dérivable sur I et, pour tout x I : La fonction f : x ( ) ( ) ( ( )) On obtient la formule ( ) Démonstration … III.4 Généralisation Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et v une fonction dérivable sur un intervalle J tel que : pour tout x I, u(x) J. La fonction f = v u est dérivable sur I et, pour tout x I, f’(x) = v’[u(x)] u’(x). Page 4 sur 4