Chapitre 5 : les circuits électriques en régime sinusoïdal

Chapitre 5 : les circuits électriques en régime sinusoïdal
1 Régime sinusoïdal
Les régimes sinusoïdaux ont une grande importance ou génie électrique.
-
La majeur partie de l’énergie électrique consommée dans le monde est produite
et distribuée sous dormes de tensions sinusoïdales
La base pour la décomposition de signaux périodique en somme de sinusoïdes
(décomposition en série de FOURIER transformation de Fourier)
L’étude des circuits électriques en régime sinusoïdal correspond à l’étude de
réseaux électriques composés uniquement de dipôles passifs linéaires (résistance,
condensateurs et bobines), alimentés par des sources de tension ou de courant
sinusoïdales
En tout point de ce circuit, les signaux (tensions, courants) sont des grandeurs
sinusoïdales du temps, de même fréquence f ( de même période, de même pulsation)
que la source a2 tension (éventuellement source de courant) mais déphasées les
unes par rapport aux autres et de valeurs efficaces différentes.
2 Représentation des grandeurs sinusoïdale
2.1 Définitions
Un signal sinusoïdal est défini par s(t)= S√2cos( wt+ 𝜑0) valeur efficace
S : valeur efficace (cf chap 4) w : 2π.f=
2𝜋
𝑇
1
f= 𝑇 T : en 0 f : en Hz ‘
Exemple 𝜑0 =0 0 T° 0s
S(t)= S√2cos( wt )
S : valeur crête : valeur max
s(t)= S√2cos( wt+ 𝜑0) point à t = Os
or ici 𝜑0= 0
S(0)=S√2cos(0)
S(0)=S√2
2.2 Représentation complexe
𝜋
On note j le nombre complexe tel que j² =1 ou j= 𝑒 𝐽 2
Le nombre complexe j est utilisé en génie électrique à la place au nombre complexe noté :
en mathématique afin d’éviter la confusion avec l’intensité du courant électrique.
Pour faciliter le traitement mathématique des signaux, on utilise leur représentation
Définition
Un signal a(t)=X√2cos ( wt+ 𝜑0) est représentée sous la forme complexe
x(t) = X√2cos ( wt+ 𝜑0) = X√2𝑒 𝑗𝜑0 𝑒 jwt
Amplitude du signal complexe qui contient valeur efficace et terme de déphasage la
grandeur physique x(t) est la partie réelle de la grandeur complexe associée.
Application à la dérivation et à l’application et à l’intégration des signaux
Dérivation à partir de la représentation complexe. On établit une relation entre le signal à (t)
et sa dérivée par rapport au temps.
Si x(t) = X√2𝑒 𝑗(𝜑0+𝑈0) alors dx(t) = jw x (t)
Domaine temporel : x(t) = X√2 cos(wt+𝜑0)
Domaine complexe x(t) = X√2𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑0)
2.3 Impédances complexes
2.3.1 Définition loi d’ohm généralisée
Pour un dipôle D ( résistance, bobine ou condensateur) parcouru par un courant
I(t) = I 𝑒 𝑗𝑤𝑡 , l’impédance notée Z est définie par le rapport d’amplitude
Complexe de u(t) par celle de i(t)
Z=
𝑈
𝐼
Avec u : grandeur complexe de la tension
I : grandeur complexe du courant
U(t) = U ejwt
Rappel sur les nombres complexes
Soit un nombre complexe Z= a+Jb
Alors Z= √𝑎² + 𝑏² et 𝜑= arg (Z))= arctan (𝑏⁄𝑎)
On peut écrire arg (Z) = tan-1 (b/a)
Remarque sur le calcul des arguments
𝑏
Arg ( a+ jb) )=arctan 𝑎 pour a>0
𝑏
Arg (a + jb)= arctan 𝑎 ± π pour a <0
Soit Z1= et Z2 2 nombres complexes quelconque
Si Z = Z1+Z2 alors les modules sont égaux, arg(z)= arg ( Z1) + arg (Z2)
2.3 Impédances complexes
2.3.2 Expression d’une impédance
si i (t)= I ejwt = Ieff √2 𝑒 𝑗𝑤𝑡
u(t) = 𝑢𝑒 𝑗𝑤𝑡 = Ueff√2 𝑒 (𝑗𝑤𝑡+𝜑0)
(envoie de kylian)
Ou R est la résistance de l’impédance ( R est toujours positif) et X est la réactance (R est
toujours positif) et X est la réactance ( on verra que si X plus grand que 0 alors l’impédance
est de tye inductif et si X est plus petit 0 alors l’impédancxe est de type capacitif)
Attention : |𝑍| = √𝑅² + 𝑋² = est le module de l’impédance
Z, R et X ont pour unité ohm
𝜌0 est la phase de l’impédance (ou l’argument de l’impédance Z)
𝑋
𝜌0 représente le déphasage entre I et U et on a tan 𝜌0 = 𝑅
Z impédance complexe Z =
⌈𝑍⌉ =
|𝑈|
|𝐼|
=
𝑈
𝐼
|𝑈𝑒𝑓𝑓|
|𝐼𝑒𝑓𝑓|
𝑈
Argument Z =arg 𝐼 = arg (u) – arg (I)
Impédance complexe d’un dipôle forme algébrique
Z= R + jX
R : Re (Z) : résistance du dipôle
X : Im (Z) réactance du dipôle
Impédance d’un dipôle sous forme trigo
Z = |𝑍|cos 𝜑0 + j |𝑍|sin 𝜑0
Impédance complexe d’un dipôle sous forme exponentielle
Z= |𝑍|𝑒 𝑗𝜑0
2.3.3 Expression d’une admittance
L’admittance d’un dipôle D est définit comme l’inverse de l’impédance et est notée Y
1
1
𝑍
𝑈
Y= ; Y =
1
𝑅−𝑗𝑥
𝑅− 𝑗𝑥
1
𝑅
𝑗𝑥
𝑅−𝑗𝑥
Y = 1/Z = 𝑅+𝐽𝑘 x 𝑅−𝑗𝑥 = 𝑅²−𝑋²= 𝑅²+𝑥²
𝑅
−𝑥
Y = 1/Z = 𝑅+𝐽𝑘 = 𝑅²−𝑥² - 𝑅²−𝑋² où G = 𝑅²+𝑥² est la conductance B = 𝑅²+𝑥² est la susceptance
2.3.4 Impédance d’une résistance dans le domaine temporel
La fonction caractéristique de R : u(t) = Ri(t) valeurs instantanées du régime variable
Dans le domaine complexe : fonction caractéristique (loi d’ohms complexe)
U=RI en utilisant la définition de l’impédance complexe : Z=
𝑈
𝐼
L’impédance complexe d’une résistance notée Zr=U/I=R
Expression sous forme algébrique Zr= R+fx0
Expression sous forme trigonométrique |𝑍𝑟| = R et arg(Zr) =0= 𝜑
Expression sous forme d’exp complexe Z1=R𝑒 𝜑0
L’impédance complexe d’une résistance est un réel pur ; (𝜑= 0) , tension et le courant sont
en phase.
2.3.5 Impédance d’une bobine idéale
𝜋
𝑑𝑖(𝑡)
Domaine temporel : fonction caractéristique : w(t) = L
𝑑𝑡
= jLw i(t)= 𝑒 𝑗 2
Fonction caractéristique pour bobine : u= fLwI
Impédance complexe de la bobine (d’après la définition de l’impédance) et notée Z 2= U / I =fLw
Expression sous la forme algébrique Z2= 0 + jLw
Sous forme trigonométrique : ZL= Lw et arg(ZL)=𝜋/2
Sous forme exponentiel : ZL= Lw𝑒 𝑗𝜋/2
L’impédance complexe d’une bobine idéale est un imaginaire pur.
𝜋
Tension et le courant sont déphases de 2
2.3.6 Impédance complexe d’un condensateur
Dans le domaine temporel
I(t) = C
𝑑𝑢 (𝑡)
𝑑𝑡
=fcw u (t) fonction caractéristique
I𝑒 𝑗𝑤𝑡 = jcwu𝑒 𝑗𝑤𝑡
U=
1
𝑗𝑐𝑤
I=
𝐽
𝑗²𝑤
𝑈
I=
−𝑗
𝑐𝑤
I
1
Impédance complexe du condensateur notée ZC= 𝐼 =𝑗𝑐𝑤
1
Expression sous forme algébrique notée ZC=0 – J 𝑗𝑐𝑤
1
𝜋
Expression sous forme trigonométrique |𝑍𝐶| = 𝑐𝑤 et arg (Zc) =- 2
1
𝜋
Expression sous forme exponentielle ZC= 𝑐𝑤 𝑒 −𝑗 2
Donc l’impédance complexe d’un condensateur est un imaginaire pure.
𝜋
La tension et le courant sont déplacés de 2 .
3. compléments régime sinusoïdale
On est en présence de sources de tension ou de courant sinusoïdales.
Par exemple : pour une source de tension.
E(t) = E0 cos (wt+𝜑0)
Le régime sinusoïdal fait partie (avec le régime continu) des régime permanents ( par opposition
aux régimes variables transitoires)
Théorème
Dans un circuit fonctionnant en régime sinusoïdal, tous les courants et toutes les tensions dans le
circuit sont sinusoïdaux de même pulsation, Cad de même période T, de même fréquence f.
Ces grandeurs électriques (i(t) et Vx(t)) possèdent des amplitudes (et des valeurs efficaces à √2
prés) qui dépendent des éléments du circuit et de w.
De plus, ces grandeurs présentent des déphasages par rapport à e(t).
Dans notre exemple
E(t) = E0cos wt
Vx(t) = V2cos ( wt+ 𝜑0)
I(t) = I1 cos (wt+ 𝜑1)
𝜑2 Et 𝜑1 : déphasage de i(t) et de vx(t) par rapport à la source e(t)
Ici, 𝜑1 Et 𝜑2 pour être plus précis, il faut les appeler « avance algébriques de phase », car ils sont
précédés du signe +
Ces grandeurs présentent des déphasages rapport à e(t)
Lorsqu’un déphasage est négatif, il traduit un retard de phase. Lorsqu’un déphasage est positif, il
traduit une avance de phase. Lorsque deux signaux présentent un déphasage de 𝜋/2, ils sont en
quadrature déphase.
S’ils sont déphasés de 𝜋, ils sont en opposition déphase
E(t)=E0 cox wt = Eeff √2 cos wt
I(t) = Ieff√2 cos (wt+ 𝜑1)
Vx(t)=Veff √2 cos (wt+ 𝜑2)
Lorsqu’un déphasage est négatif, il traduit un retard de phase
Lorsqu’un déphasage est positif, il traduit une avance de phase
Lorsque deux signaux présentent un déphasage de /2 , ils sont en quadrature déphase
2 outils mathématiques pour résoudre les exercices de circuits linéaires en régime sinusoïdal
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Représentation de FRESNEL
Méthodes des amplitudes complexes
3.1 Représentation de FRESNEL
A tout signal sinusoïdal (tenson ou courant)
X(t)) X cos wt
X(t)= Xeff √2 cox wt
⃗⃗⃗⃗⃗ de module XEff√2 qui tourne autour de O dans le sens antihoraire avec
On associe le vecteur 𝑂𝐴
la vitesse angulaire w.
Domaine temporel
domaine de Fresnel
X(t)-------------------------------------> 𝑋= ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴
‖𝑋‖ = Xeff √2
x(t) est la projection de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 sur l’axe OX
⃗⃗⃗⃗⃗ par rapport au vecteur𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ .
A un seconde signal y(t) = Yeff√2 cos (wt+𝜑) est associée 𝑂𝐵
Pour simplifier la représentation des vecteurs de FRESNEL on choisit de les représenter à t= 0s ,
ce qui ne modifie en rien le résultat final.
La représentation de Fresnel consiste donc à représenter chaque signal sinusoïdal par un vecteur
dont la norme est l’amplitude (ou encore la valeur efficace) et la phase par rapport à un vecteur
choisi comme référence de phase.Fresnel ---> vecteurs normes, phases
Selon l’exercice, on choisit judicieusement un vecteur comme référence de phase (donc placé sur
l’axe oX)
Pour effectuer la somme de 2 signaux temporels, on effectue la somme vectorielle de leurs
vecteurs représentatifs.
Remarque : si les grandeurs sinusoïdales sont de natures différentes (par ex : courant et tension)
sont représentées sur un même diagramme, chaque famille de grandeurs doit avoir la même
échelle.
⃗⃗⃗
𝐼3 Norme de ⃗⃗⃗
𝐼3. ‖𝐼3‖=17.3A
⃗⃗⃗ = -90=
Phase de 𝐼3
𝜋
2
représentation de Fresnel à t=o s donc ici c’est la phase à l’origine des
temps t =0S
Passage du domaine de FRESNEL → 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑒𝑙
⃗⃗⃗ → I3(t) = 17,3√2sin (𝜔𝑡 − 𝜋/2)
𝐼3
I3(t) = I2(t)-I2(t) loi des nœuds dans le domaine temporel
I3=I2-I1 loi des nœuds dans le domaine complexes
I1(t) → I1 amplitude complexe efficace
4 Retour au modèle complexe d’un circuit en régime sinusoïdal
Grandeur électrique sinusoïdal
U(t) = Ueff√2 cos (wt+ρ) = Re( Ueff√2cos(𝑤𝑡 + 𝜑) + jUeff√2sin(wt+ 𝜑))
U(t)= Re( Ueff √2 ej(wt
+ 𝜑)
On transpose le schéma réel du circuit sous la forme d’un mobile dit complexe.
En représentant le nombre complexe Z= R+jX dans le plan complexe on obtient le diagramme dit
de Fresnel
‖𝑂𝑀‖ =Z = |𝑍|
𝜑= arg(Z)
Tan 𝜑 = X/R
𝜑 = tan-1 (X/k)
|𝑍| =√𝑅² + 𝑋²
Lien entre vecteur de Fresnel et les amplitudes
complexes.
Attention : Z=R+jXx
5) lois et théorèmes de l’électricité en régime sinusoïdal
On transpose un circuit électrique alimenté par un générateur sinusoïdal dans sa représentation
complexe.
Représentation temporelle
Représentation complexe
La loi d’ohms reste valable
E=Z.I égalité en amplitudes complexes (efficaces)
Eeff= ZIeff
Arg (E) = arg (Z) + arg (I)
E=Eeff
Arg (E)=0
I=Ieff𝑒 𝑗𝜑 → i(t) = Ieff√2 cos ( wt+ 𝜑)
Ieff=
𝐸𝑒𝑓𝑓
𝑍
0= arg(Z) + 𝜑 → 𝜑 = -arg (Z)
Théorème
Dans le schéma électrique transposé à sa représentation complexe, touts les lois et théorèmes
valables en régime continu s’appliquent en considérant les amplitudes complexes (efficaces) et
les impédances ou les admittances complexes
Dans cette représentation complexe on peut écrire
Les lois de Kirchhoff
Le théorème de Millman
Le principe de superposition
Les théorèmes de TN