Partie I - Polynômes de Hilbert

MP1 Janson
DM9 pour le 23 janvier
b. Vérifier que Mn est inversible ; expliciter Mn´1 .
Notations, définitions et rappels
Si n P N, soit Cn rXs l’espace des polynômes complexes de degré inférieur ou
égal à n.
Pour P dans CrXs, soit T pP q le polynôme P pX `1q. L’application T ainsi définie
est clairement un endomorphisme de CrXs. De plus, si n P N, Cn rXs est stable
par T et on note Tn l’endomorphisme de Cn rXs induit par T .
Soit pHi qiPN la suite des polynômes de Hilbert, définie par :
i´1
1 ź
H0 “ 1 et @i P N˚ , Hi “
pX ´ kq.
i! k“0
(2.) Propriétés de la suite pHi qiPN
a. Montrer que pHi q0ďiďn est une base de Cn rXs.
b. Si j P Z et i P N˚ , donner une expression simple de Hi pjq montrant
que Hi pjq est dans Z. On distinguera les trois cas : j ă 0, 0 ď j ď i´1
et j ě i.
(3.) Polynômes de CrXs tels que P pNq Ă Z
Soit P dans Cn rXs. On décompose P sur pHi q0ďiďn en P “
n
ÿ
a i Hi .
i“0
¨
Si R P R˚` , soit : DR “ tz P C, |z| ă Ru, DR “ tz P C, |z| ď Ru et CR “
tz P C, |z| “ Ru.
On convient d’autre part que D8 “ C. Pour R dans R˚` Y t8u, soit ER l’espace
`8
ÿ
vectoriel des fonctions de DR dans C de la forme z ÞÑ
an z n où la série entière
n“0
`8
ÿ
2014/2015
˛
¨ ˛
P p0q
a0
˚ .. ‹ t
˚ .. ‹
a. Vérifier l’égalité suivante : ˝ . ‚ “ Mn ˝ . ‚
P pnq
an
où tMn est la transposée de la matrice Mn .
i
ÿ
b. Établir : @i P t0, . . . , nu , ai “
p´1qi´j Cij P pjq.
j“0
an z n a un rayon de convergence supérieur ou égal à R. L’espace E8 est appelé
n“0
espace des fonctions entières.
On pourra utiliser la formule de Stirling : n! „
?
2πn
´ n ¯n
e
Si i ě n ` 1, que vaut
i
ÿ
p´1qi´j Cij P pjq ?
j“0
lorsque n Ñ `8.
Objectif du problème, dépendance des parties
La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes P de CrXs tels que P pNq Ă Z. La partie II est complètement
indépendante de I. Elle a pour but d’établir quelques propriétés des séries entières
utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant
une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû
à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la dernière question de I.
Partie I - Polynômes de Hilbert
I. Soit n dans N.
(1.) Inversion d’une matrice
a. Écrire la matrice Mn de Tn dans la base p1, X, . . . , X n q de Cn rXs.
c. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
A. @i P t0, . . . , nu , P piq P Z
B. @i P t0, . . . , nu , ai P Z
C. P pZq Ă Z
En particulier les polynômes P de CrXs tels que P pNq Ă Z sont
les combinaisons linéaires à coefficients dans Z des polynômes de
Hilbert.
(4.) Description des suites de la forme pP pjqqjPN où P est un polynôme.
Soit puj qjPN une suite complexe. Démontrer que les deux conditions
suivantes sont équivalentes :
A. il existe P P Cn rXs tel que : @j P N, uj “ P pjq
B. @i P N, i ě n ` 1 ñ
i
ÿ
j“0
p´1qi´j Cij uj “ 0.
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DM9 pour le 23 janvier
Partie II - Quelques propriétés des séries entières
II. Dans toute cette partie, on fixe R dans R˚` Y t`8u, f dans ER , ω dans DR
et r dans s|ω| , Rr. Pour z dans DR , on écrit donc :
f pzq “
`8
ÿ
`8
ÿ
(3.) Division de f pzq ´ f pωq par z ´ ω pour f dans ER
a. Si j P N, montrer la convergence de la série de terme général
`8
ÿ
an ω n´1´j pour n ě j ` 1. On pose bj “
an ω n´1´j .
n“j`1
an z
n
n“0
où la série entière
2014/2015
an z n a un rayon de convergence supérieur ou égal à R.
ˆ
b. Montrer que, lorsque j Ñ `8, bj “ O
˙
1
.
rj
c. Montrer que le rayon de convergence de la série entière
bj z j est
j“0
n“0
Pour k P N˚ , on note f pkq la fonction définie pour z P DR par :
f pkq pzq “
`8
ÿ
`8
ÿ
supérieur ou égal à R. Pour z P DR , on pose gpzq “
`8
ÿ
bj z j .
j“0
npn ´ 1q . . . pn ´ k ` 1qan z n´k
n“k
(on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série
entière initiale).
(1.) Représentation intégrale de f pωq à partir des valeurs de f sur
Cr
a. Si p P N, prouver :
żπ
f preit qe´ipt dt “ 2πap rp .
´π
b. Montrer :
żπ
f pωq “
´π
dt
reit
f preit q .
it
re ´ ω
2π
Indication : on pourra partir de
`8
ÿ ´ ω ¯p
reit
“
.
reit ´ ω p“0 reit
(2.) Principe du maximum
a. Justifier la définition de Mf prq “ max t|f pzq| , z P Cr u.
r
b. Montrer : |f pωq| ď
Mf prq.
r ´ |ω|
c. Montrer : |f pωq| ď Mf prq.
Indication : si p P N˚ , on pourra appliquer, avec justification, le
résultat de II.B.2 à f p puis faire tendre p vers `8.
Vérifier : @z P DR , pz ´ ωqgpzq “ f pzq ´ f pωq.
(4.) Minoration de Mf prq à l’aide des zéros de f
On suppose que p P N˚ , que f s’annule en p points distincts z1 . . ., zp
”
de Dr z t0u.
a. Montrer qu’il existe F dans ER telle que :
@z P DR , F pzq ˆ
p
ź
j“1
pz ´ zj q “ f pzq ˆ
p
ź
pr2 ´ zj zq.
j“1
ˇ 2
ˇ
ˇ r ´ zj z ˇ
ˇ?
b. Si j P t1, . . . , pu et z P Cr z tzj u, que vaut ˇˇ
z ´ zj ˇ
c. En appliquant II.B.3 à F au point ω “ 0, montrer :
ˇ
ˇ
p
ˇź
ˇ
ˇ
ˇ
Mf prq ˆ ˇ
zj ˇ ě |f p0q| rp .
ˇj“1 ˇ
d. On suppose f p0q “ ¨ ¨ ¨ “ f pk´1q p0q “ 0 où k P N˚ . Prouver :
ˇ
ˇ ˇ
p
ˇź
ˇ ˇf pkq p0qˇˇ
ˇ
ˇ
rp`k .
Mf prq ˆ ˇ
zj ˇ ě
ˇj“1 ˇ
k!
(5.) Étude asymptotique d’une fonction entière nulle sur N
MP1 Janson
DM9 pour le 23 janvier
On suppose que R “ `8, c P s0, er, f est nulle sur N et que lorsque
r Ñ 8, Mf prq “ Opcr q.
Montrer que f “ 0.
Indication
! : on supposera par
) l’absurde f ‰ 0, on appliquera II.D.4 avec
k “ min i P N, f piq p0q ‰ 0 , r “ p, z1 “ 1, . . ., zp “ p et on fera tendre
p vers `8.
Partie III - Théorème de Pólya
III. Soit f dans E8 .
ˇ
ˇ
n
ˇÿ
ˇ
ˇ
k k pkq ˇ
(1.) Majoration de ˇ
p´1q Cn f ˇ
ˇ
ˇ
k“0
Soient n dans N˚ et r un réel tel que r ą n.
a. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
Fn “
n!
.
XpX ´ 1q . . . pX ´ nq
b. À l’aide de II.A.2, prouver :
żπ
´π
n
ÿ
dt
n!f preit q
“
p´1qn´k Cnk f pkq.
preit ´ 1q . . . preit ´ nq 2π k“0
c. Montrer :
ˇ
ˇ
n
ˇÿ
ˇ
n!Mf prq
ˇ
ˇ
.
p´1qn´k Cnk f pkqˇ ď
ˇ
ˇ
ˇ pr ´ 1q . . . pr ´ nq
k“0
(2.) Preuve du théorème On suppose ici :
a) f pNq Ă Z
ˆ r˙
2
b) Lorsque r Ñ `8, Mf prq “ o ? .
r
On va démontrer que f est polynomiale (théorème de Pólya).
N.B. L’exemple de f pzq “ 2z montre que la condition asymptotique (b)
n’est pas loin d’être optimale.
2014/2015
a. En appliquant III.A.3 à r “ 2n ` 1, prouver qu’il existe N dans N
tel que
n
ÿ
@n ě N,
p´1qn´k Cnk f pkq “ 0.
k“0
b. À l’aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.