1 Fonctions d`une variable Objectifs Lectures suggérées

Fonctions d’une variable
GIN 102.
102 Mathématique complémentaire
par
Mélanie Trudel, Ph. D.
Département de génie civil
Tél. : (819) 821-8000 (poste 63046)
Courriel : [email protected]
1
Automne 2011
Objectifs
y Compréhension du concept de fonction;
y Se familiariser avec des fonctions simples;
y Linéaires;
y Puissance
P i
y Log
y Paires et impaires
y Trigonométrique
y Polynomiales
2
Automne 2011
Lectures suggérées
y Fonctions d’une variable
y Chapitre 1
3
Automne 2011
1
Fonctions d’une variable1
Fonction : lien de dépendance entre 2 quantités qui assigne à chaque
donnée d’entrée un seul nombre de sortie.
[p. 2-5]
C = 4T - 160
Température en oF - variable indépendante
Taux de stridulation - variable dépendante
C ≥ 0 ⇒ T ≥ 40
T max sur la terre : 136 oF
⇒ domaine de validité de la fonction : 40 ≤ T ≤ 136 oF
Pour ces valeurs, 0 ≤ C ≤ 384
champ de la fonction
1Les pages indiquées entre parenthèses carrées réfèrent
aux pages du manuel du cours :
Hugues-Hallett, D, et Gleason, A., M. (1999), Fonctions d’une
variable, Chenelière/McGraw-Hill, Montréal.
4
Automne 2011
pente
1. Fonctions linéaires : [p. 8-15]
y = f(x) = mx + b
ordonnée à l’origine
y
Δf = f(x2) -f(x1)
Δx = x2 - x1
b
x
Taux moyen de variation :
Δf f ( x 2 ) − f ( x 1 )
=
Δx
x 2 − x1
5
Automne 2011
2. Fonctions exponentielles :
[p. 17]
P = Po at
base
Autre forme :
quantité initiale à t = 0
P = Po (1 + r)t
a > 1 ⇒ croissance exponentielle
a < 1 ⇒ décroissance exponentielle
P = Po (1 - r)t
Fonction exponentielle
300
250
f(t)
200
f(t) = 67.38 (1.026)t
150
100
50
Po = 67.38
0
0
10
20
30
40
50
60
t
6
Automne 2011
2
Fonction exponentielle de saturation :
f(t) = S (1 - at)
[p. 21]
0<a<1
asymptote
Fonction exponentielle de saturation
11.00
10.00
9.00
f(t) = 10 (1 - 0.3t)
8.00
7.00
f(t)
6.00
5.00
S = 10
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0
1
2
3
4
5
t
7
Automne 2011
3. Fonctions de puissance :
[p. 27-28]
Puissances entières positives :
f(x) = k xp
p = 1, 2, 3, …
Puissances paires et impaires
30
p=3
25
20
15
y
10
p=2
5
p=1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-5
-10
x
8
Automne 2011
Prédominance des puissances plus élevées de x :
[p. 29]
x≥1
x >= 1
35.0
30.0
25.0
p
p
y
20.0
y=x
p>0
5
4
3
2
1
15.0
10.0
5.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-5.0
x
9
Automne 2011
3
Dominance des puissances plus petites de x :
[p. 29]
0≤x≤1
Pour 0 <= x <= 1
1.1
1.0
p
0.9
1
2
3
4
5
0.8
y=x
0.7
p
p>0
0.6
y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
-0.1
x
10
Automne 2011
Puissances nulle et négatives :
[p. 29]
p = 0, -1, -2, …
Puissances nulle et négatives
50
40
y = xp
p <= 0
p
0
-1
-2
2
30
y
20
10
0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-10
-20
x
11
Automne 2011
Comparaison des puissances entières
et fractionnaires positives
[p. 31]
Comparaison des puissances entières et fractionnaires positives
9
8
7
6
1/3
1/2
1
2
3
y = xp
p = 1,
1 2
2, 3
5
y
y = x1/p
4
3
2
1
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
12
Automne 2011
4
Prédominance entre fonctions exponentielles et de puissance :
[p. 32]
Petites valeurs de x
70
60
3
y=x
50
x
3
Comparaison de 2 et x pour
des faibles valeurs de x
y
40
30
y=2
x
20
10
0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
x
13
Automne 2011
Prédominance entre fonctions exponentielles et de puissance :
[p. 32]
Grandes valeurs de x
Comparaison des fonctions exponentielles et de puissance
2000
y = 2x
1500
y = x3
x
y=2
grandes valeurs de x
3
y
y=x
1000
500
0
14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Automne
2011
x
4. Fonctions logarithmiques :
15
Logarithme à base 10 : [p. 40-43]
Logarithme naturel : [p. 46-53]
log10x = log x = c
⇒ 10c = x
logex = ln x = c
⇒ ec = x
x>0
x>0
Propriétés :
Propriétés :
1. log(AB) = log A + log B
2. log(A/B) = log A - log B
3. log(Ap) = p log A
4. log(10x) = x
5. 10log x = x
6. log 1 = 0
7. 100 = 1
1. ln(AB) = ln A + ln B
2. ln(A/B) = ln A - ln B
3. ln(Ap) = p ln A
4. ln(ex) = x
5. eln x = x
6. ln 1 = 0
7. e0 = 1
Automne 2011
5
Comparaison Log x et Ln x
6
5
10
x
4
3
Ln x
ex
f(x)
2
Log x
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
x
16
Automne 2011
Relation entre log x et ln x :
N = 10log N = eln N
=1
⇒ (ln10) (log N) = (ln N) (ln e)
= 2.30285
⇒ ln N = (ln 10) log N
Relation entre at et ekt :
[p. 49]
P = Po at = Po ekt = Po (ek)t
⇒ a = ek ⇒ k = ln a
⇒ Toute fonction de croissance ou décroissance
exponentielle peut se représenter en base e.
17
Automne 2011
5. Fonctions paires et impaires :
[p. 56]
Pour toute fonction f(x)
f(x) est paire si f(-x) = f(x)
f(x) est impaire si f(-x) = -f(x)
Fonctions paire et impaire
9
8
f(x) = x3
7
Symétrie
6
5
f(x) = x2
4
3
2
f(x)
1
0
-3.0
-2.0
-1.0
-1 0.0
1.0
2.0
3.0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
x
18
Automne 2011
6
6. Les fonctions trigonométriques :
[p. 59-68]
Définition d’un radian :
1 radian
Longueur de l’arc = 1
r=1
s
θ
r
Longueur d’un arc = s = rθ
19
Automne 2011
Fonctions sinus et cosinus :
[p. 61-63]
x
x = cos t
y
t
y = sin t
sin2t + cos2t = 1
Fonctions sinus et cosinus
1
1.5
1.0
cos x
Amplitude
sin(t), cos(t)
0.5
0.0
-9.0
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
-0.5
-1.0
sin x
Période = 2π
-1.5
t
20
Automne 2011
De façon plus générale,
[p. 61]
f(t) = A sin(Bt)
Amplitude = A
g(t) = A cos(Bt)
Période =
2π
B
[p. 64]
f(t)
Mouvement oscillatoire amorti
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1 0
1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
y = - 0.9t
-0.8
-0.9
-1.0
-1.1
y = 0.9t
f(t) = 0.9
0 9t sin t
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t
21
Automne 2011
7
Fonction tangente :
[p. 64]
tg t = (sin t) / (cos t)
Période = π
Asymptote
à -π/2
Asymptote
à π/2
Tangente t
20
18
16
14
12
tg t
10
8
6
4
2
0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
tg t
-2 0.0
-4
-6
0.5
1.0
1.5
2.0
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
t
22
Automne 2011
Fonctions trigonométriques inverses :
Pour -1 ≤ y ≤ 1,
[p. 65-66]
arcsin y = x
⇒ sin x = y avec - (π / 2) ≤ x ≤ (π / 2)
Pour tout y,
arctan y = x
⇒ tg x = y
avec
- (π / 2) ≤ x ≤ (π / 2)
Notation standard : sin-1 x = arcsin x
tg-1 x = arctan x
23
Automne 2011
Fonction t = arcsin y
2.0
1.5
1.0
0.5
t = arcsin y = sin-1 y
t
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
y
Asymptotes
24
Automne 2011
8
Polynômes et fonctions rationnelles :
[p. 69-73]
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0
G(x) = am xm + am-1 xm-1 + … + a1 x + … + a0
y = P(x)
ou
y = P(x) / G(x)
25
Automne 2011
Fonctions polynomiales
20
P5(x) = x P4(x)
15
P2(x) = (x - 1) (x + 1)
P4(x) = (x + 2) P3(x)
10
P(x))
5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
-10
P3(x) = (x - 2) P2(x)
-15
-20
x
26
Automne 2011
Problèmes suggérés
y Fonctions d’une variable
y Chapitre 1 :
y pp. 12-14 : 2, 5, 7, 15
y pp. 24-27 : 5-6, 12, 20,21, 28
y pp. 33-35 : 19, 21,22
y pp. 38-39: 1, 13.
y pp. 44-45 : 2-5, 9, 17, 23, 28
y pp. 50-52 : 2-4; 29, 33, 41
y pp. 67-68 : 15, 16, 18, 21, 27, 29, 31
y pp. 73-76 : 2, 14, 16, 25
y pp. 79-84: 15-17, 24,41,44
27
Automne 2011
9