Cours 7 - PROBABILITES

Cours 7 – PROBABILITÉS –
1.
Expérience aléatoire – Ensemble des résultats possibles .
On réalise une expérience dont l’issue dépend du hasard .
Les résultats possibles forment un ensemble Ω .
2.
Evénements
Définir un événement E sur cette expérience , c’est fixer l’attention sur certains résultats .
Un événement E n’est rien d’autre qu’une partie de Ω .
3.
Vocabulaire des probabilités
L’événement ∅ ne retenant aucun résultat est dit impossible
Ω retenant tous les résultats est dit certain
L’événement
Un événement {ω} réduit à un seul résultat est dit élémentaire
a/
b/
Si A est un événement alors le complémentaire de
A dans Ω
se note
A
et s’appelle le contraire de A
c/
Si A et B sont des événements alors
« réaliser A ou B
la réunion A ∪ B est l’événement
l’intersection A ∩ B est l’événement « réaliser A et B
d/
»
»
Des événements A et B sont dits incompatibles lorsque les parties A et B
sont disjointes
c’est–à–dire lorsque
A ∩ B = ∅ .
A
A
B
A ∩ B
A
A ∪ B
3. Loi de probabilité sur Ω
a/
Définition
La loi de probabilité d’une expérience aléatoire est la donnée des résultats
et de leurs probabilités
p1 , p2 , ... , pn
possibles ω1 , ω2 , ... , ωn
résultats possibles
probabilités
Les probabilités
b/
p1 , p2 , ... , pn
ω1 ω2
... ωn
p1
... pn
vérifient
p2
l’égalité
p1 + p2 +
... + pn = 1 .
Probabilité d’un événement E
La probabilité P ( E ) d’un événement E se calcule en ajoutant les probabilités
des résultats ω i
qui composent E .
Remarque :
On a P ( Ω ) = 1
et
on pose
P (∅) = 0 .
.
pi
5.
Propriétés à admettre
P1
Pour tout événement E ,
P2
Si A et B
on a
P3
P4
6.
P
P
(A∪
B
)
=
P(A) + P(B)
sont des événements quelconques
,
(A∪
(A ∩
B
)
=
P(A) + P(B) − P
Des événements contraires A et
Par suite
≤ 1
sont des événements incompatibles ,
Si A et B
on a
0 ≤ P(E)
on a
( )
P ( A) + P A
= 1
A
B
)
sont incompatibles et
c’est–à–dire
( )
P A
A ∪
A = Ω
= 1 − P ( A)
Loi équirépartie
a/
Définition
La loi de probabilité sur Ω est dite équirépartie lorsque les
1
ont la même valeur
.
n
On dit aussi que les résultats possibles sont équiprobables .
n
nombres
pi
b/ Probabilité d’un événement E
Dans le cas d’une loi équirépartie , la probabilité d’un événement E
1
s’obtient en comptant
pour chaque élément de E .
n
nombre de résultats réalisant E
On a ainsi
.
P (E) =
nombre total de résultats
7.
Loi des grands nombres
On reproduit n fois la même expérience aléatoire et on compte la fréquence f n ( A )
de réalisations d’un événement A .
Lorsqu’on augmente n indéfiniment , cette fréquence f n ( A ) tend presque sûrement
vers la probabilité de A .
Cette loi ( dite des grands nombres ) peut être considéréer comme un fait expérimental
mais se démontre dans le cadre d’e la théorie des probabilités .
.