TD M4 : travail et énergies - e

Mécanique
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Exercice 1 - Le Toboggan ***
Un enfant - que l’on assimilera à un point matériel M de masse m = 40 kg - glisse sur un toboggan décrivant une
trajectoire circulaire de rayon r = 2,5 m. L’enfant, initialement en A, se laisse glisser (vitesse initiale nulle) et
atteint le point B avec une vitesse v. On supposera le référentiel terrestre galiléen.
g
A
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2. Montrer que la résultante des forces dérive d’une énergie potentielle. Exprimer cette énergie : on montrera
3p
que la constante est nulle en prenant EP (r0 ) = 3 K1 K22 .
2
3. Retrouver la position d’équilibre r0 en utilisant l’énergie potentielle.
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!=10°
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4. Quelle est la nature de la position d’équilibre en r = r0 (stable, instable ou indifférente) ?
Exercice 4 - Tir d’un obus vers le zénith ***
!
Un canon tire un obus à la vitesse v0 = 100 m.s−1 suivant la verticale ascendante (axe Oz dirigé verticalement vers
−
le haut). Le référentiel terrestre est considéré galiléen et l’on note →
g0 le champ de pesanteur terrestre, de module
g0 = 9,8 m.s−2 constant.
r=2,5 m
1. Dans un premier temps, on néglige la résistance de l’air. À l’aide d’un raisonnement énergétique, calculer
l’altitude maximale atteinte par l’obus.
B
1. Tout d’abord, on supposera que tous les frottements sont négligeables. Exprimer et calculer la vitesse v de
l’enfant en B (on pourra faire un raisonnement énergétique).
2. En réalité, les frottements dus au contact de l’enfant avec le toboggan ne sont pas négligeables. Pour simplifier
on suppose que le frottement est d’intensité constante F = 50 N.
Exprimer et calculer la nouvelle vitesse v 0 dans ce cas, la donner en fonction de v.
2. On cherche à voir l’influence des frottements sur la hauteur maximale. On modélise les forces de frottement
par une loi quadratique en vitesse : l’obus, de forme sphérique, possède un rayon r0 = 5 cm et subit une force
de frottement opposée à sa vitesse et de module
f = kπr02 v 2
Dans les conditions normales, k = 0,25 SI. L’obus est en plomb de masse volumique
µ = 11,3 g.cm−3 .
2.1. Préciser l’unité SI de k.
2.2. Comparer la force de frottement au poids. Commenter.
2.3. On pose u = v 2 . Montrer, en appliquant le théorème de l’énergie cinétique sous forme différentielle
P →
−
dEC
=
P( F ) , que, dans la phase ascendante, u(z) vérifie l’équation :
dt
Exercice 2 - Bille dans une gouttière ***
Une bille, assimilée à un point matériel M de masse m,
est lâchée sans vitesse initiale depuis le point A d’une
gouttière situé à une hauteur h du point le plus bas O de
la gouttière. Cette dernière est terminée en O par un guide
circulaire de rayon R, disposé verticalement. La bille, dont
on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut
éventuellement quitter la gouttière à l’intérieur du cercle.
−
−
→ l’accélération de la pesanteur.
On désigne par →
g = −g u
y
A
y
du
kπ 2
= −2g0 − 2
r u
dz
m 0
h
On pourra définir une longueur caractéristique ` qui dépend de m, k et r0 .
C
Indication :
θ
O
M
x
df
df
dx
=
×
dt
dx
dt
2.4. Résoudre l’équation différentielle (E) ci-dessus et en tirer l’altitude maximale atteinte par l’obus. Comparer
à la valeur de la question 1.
1. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, trouver l’expression de la vitesse vO à l’arrivée dans le guide
circulaire.
2. Faire de même en utilisant le théorème de l’énergie mécanique.
3. A l’aide du théorème de votre choix, exprimer la vitesse de la bille en un point M quelconque du guide
circulaire. Le point M est repéré par l’angle θ.
→
−
4. Toujours en un point M quelconque, exprimer en fonction de m, g, θ, R et h la force de réaction N de la
gouttière sur la bille.
5. Déterminer la hauteur minimale du point A pour que la bille ait un mouvement révolutif dans le guide
circulaire.
Exercice 3 - Energie potentielle et stabilité ***
−→ −
→. Elle est soumise à
Une particule ponctuelle de masse m, située en A, est repérée par le vecteur OA = →
r = r−
u
r
−
→
−
→ K2 −
→
−
→
deux forces, F1 = −K1 r et F2 = 2 ur , où K1 et K2 sont des constantes positives. On néglige la pesanteur.
r
→
−
1. Exprimer la résultante des forces F que subit la particule. En déduire la position r0 correspondant à un
équilibre.
1
(E)
2