Exercices sur les applications des équations différentielles

201-ESG-05 gr. 01
Professeur : Yves LANDRIAULT
Session : H15
Exercices sur les applications des équations différentielles d’ordre un
1.- Un parachutiste tombe à une vitesse de 50 m/sec lorsque son parachute
s’ouvre. Si la résistance de l’air est donnée par mgv 2 25 , donnez la vitesse en
fonction du temps après l’ouverture du parachute. Quelle est la vitesse limite ?
[Prenez ici g = 10 m/sec2]
2.- Un navire dont la masse est de 45*106 kg démarre sous l’effet d’une force
constante de 900,000 N. La force de résistance du milieu est de 150,000 v.
Donnez la vitesse en fonction du temps ainsi que la vitesse limite.
3.- Un poids de 192 lbs a une vitesse limite de 16 pi/sec lorsqu’il tombe. On
considère que la force de résistance est proportionnelle à la vitesse et sachant
que l’objet commence sa chute avec une vitesse nulle : [Prenez ici g = 32 pi/sec2]
a) trouvez la vitesse après une seconde.
b) combien de temps le poids tombe-t-il avant que sa vitesse soit de
15 pi/sec.
4.- On remorque sur la glace un traîneau chargé de masse totale de 35 kg.
Sachant que les résistances combinées de la glace et de l’air offrent une résistance
égale à 70 fois la vitesse :
a) donnez la force de traction constante à exercer sur le traîneau pour
obtenir une vitesse limite de 16 km/h.
b) donnez la vitesse et la distance parcourue après 48 secondes.
5.- Soit circuit électrique RL où R = 12 Ω, L = 4H et une batterie (la source) de
60V. Donnez l’expression du courant I(t) si l’interrupteur est fermé à t = 0 ainsi
que le courant limite.
6.- Soit le circuit électrique du numéro précédent mais dont la source fournit une
tension variable
= 60 sin 30 Volts. Donnez l’expression du courant I(t) si
l’interrupteur est fermé à t = 0.
7.- De l’eau à une température de 10ºC prend 5 minutes pour se réchauffer à 20ºC
dans un environnement où la température est de 40ºC.
a) donnez la température de l’eau après 20 minutes, 30 minutes.
b) après combien de temps l’eau sera-t-elle à 25ºC ?
8.- Un thermomètre qui indique 36ºF est placé dans un four. Après 1 et 2
minutes, il indique respectivement 60ºF et 82ºF. Quelle est la température dans le
four ?
Réponses aux exercices
1.-
=
2.-
= 6 1−
3.-
!
=
(sens positif vers le haut) et la vitesse limite sera de 5 m/sec (vers le bas).
/
et la vitesse limite sera de 6 m/sec.
" − # avec k = 12; a) 13,8 pi/sec
b) 1,39 sec
4.- a) 311,1 N b) v = 16 km/h et x = 211 mètres
5.- $
=5 1−
et le courant limite est de 5 ampères.
6.- $
=
sin 30 − 10 cos 30 +
=
sin 30 − 1,4711 +
√
7.- a) 34,1ºC et 37,4ºC
8.- 324ºF
b) 8,55 minutes