NOM :

Spécialité Terminale S
IE3 nombres premiers
S1 2015-2016
Exercice 1 :
/4
a) Montrer que tout nombre premier autre que 2 et 3 est de la forme 6n + 1 ou 6n + 5, où n est un
entier naturel.
b) En raisonnant par disjonction des cas, en déduire que, si p est premier et au moins égal à 5, p² - 1
est divisible par 24.
Exercice 2 :
a) 503 est-il un nombre premier ?. Justifier la réponse.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x² - y² = 503.
/4
Exercice 3 :
N désigne un entier naturel dont l’écriture décimale est 1600…00
Combien faut-il écrire de 0 pour N possède exactement 140 diviseurs positifs ?
/2
Spécialité Terminale S
IE3 nombres premiers
S2 2015-2016
Exercice 1 :
/4
Soit p un nombre premier au moins égal à 5.
a) Montrer que p s’écrit sous l’une des formes 12k + 1, 12k – 1, 12k + 5 ou 12k – 5, où k est un entier.
b) Soit N = p² + 11. En raisonnant par disjonction des cas, déterminer le reste de la division
euclidienne de N par 24.
Exercice 2 :
a) 521 est-il un nombre premier ?. Justifier la réponse.
b) Déterminer tous les couples (a ;b) d’entiers naturels tels que a² - b² = 521.
/4
Exercice 3 :
N désigne un entier naturel dont l’écriture décimale est 2500…00
Combien faut-il écrire de 0 pour N possède exactement 99 diviseurs positifs ?
/2
1
Spécialité Terminale S
IE3 nombres premiers
CORRECTION
S1 2015-2016
Exercice 1 :
/4
a) Montrer que tout nombre premier autre que 2 et 3 est de la forme 6n + 1 ou 6n + 5, où n est un
entier naturel.
b) En raisonnant par disjonction des cas, en déduire que, si p est premier et au moins égal à 5, p² - 1
est divisible par 24.
a) Dans la division euclidienne d’un entier par 6, les restes possibles sont compris entre 0 et 5.
Si p est un nombre premier autre que 2 et 3, les écritures 6n ; 6n + 2 ; 6n + 3 ; 6n + 4 ne conviennent
pas car ces nombres sont divisibles par 2 ou 3.
Les écritures restantes sont donc : 6n + 1 ou bien 6n + 5.
b) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5.
D’après la question précédente, p peut s’écrire sous la forme :
p = 6n + 1 ou p = 6n + 5
er
1 cas : p = 6n + 1
(avec n >=1)
p² - 1 = (6n + 1)² - 1 = (6n + 1 – 1)(6n + 1 + 1) = 6n(6n + 2) = 12n(3n + 1)
Si n est pair, alors n = 2k avec k   et donc p² - 1 = 122k(3n+1) = 24k(3n+1)
Donc p² - 1 est divisible par 24 si n est pair.
Si n est impair alors p = 2k + 1 avec k  .
Et 3n+ 1 = 3(2k + 1) + 1 = 6k + 3 + 1 = 6k + 4 = 2(3k +2)
Et p² - 1 = 12n2(3k+2) = 24n(3k + 2)
Donc p² - 1 est divisible par 24 si n est impair.
Conclusion : dans tous les cas p² - 1 est divisible par 24.
2ème cas : p = 6n + 5
(avec n >=0)
p² - 1 = (6n + 5)² - 1 = (6n + 5 – 1)(6n + 5 + 1) = (6n + 4)(6n + 6) = 12(3n + 2)(n + 1)
 Si n est impair, alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k + 1.
Alors n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 2) et donc (3n + 2)(n + 1) est pair.
 Si n est pair, alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k.
Alors 3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) et donc (3n + 2)(n + 1) est pair.
Dans les deux sous cas du deuxième cas, (3n + 2)(n + 1) est toujours divisible par 2.
Donc p² - 1 est divisible par 34.
Conclusion : Par disjonction des cas, nous avons montré que, si p est premier et au moins égal à 5,
alors p² - 1 est divisible par 24.
Exercice 2 :
a) 503 est-il un nombre premier ?. Justifier la réponse.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels tels que x² - y² = 503.
/4
a)
503  22,4
503 n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à 23 :
2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;23.
503 est donc premier.
b) x² - y² = 503
 (x – y)(x + y) = 503
2
Spécialité Terminale S
IE3 nombres premiers
CORRECTION
S1 2015-2016
x – y = 1
x – y = 503
 
ou 
car 503 est premier
x + y = 503
x + y = 1
x = 252
x = 252
 
ou 
y = 251
y = -251
Seul le couple d’entiers naturels (252 ;251) convient.
Exercice 3 :
N désigne un entier naturel dont l’écriture décimale est 1600…00
Combien faut-il écrire de 0 pour N possède exactement 140 diviseurs positifs ?
/2
N = 1610p = 24(25)p = 2p+45p
Le nombre de diviseurs de N est donc (p + 4 + 1)(p + 1) = (p + 5)(p + 1).
On cherche p entier tel que (p + 5)(p + 1) = 140
p² + 6p + 5 = 140
 p² + 6p – 135 = 0
Equation du second degré dont le discriminant  est égal à : 6² + 4135 = 576 = 24²
-6  24
D’où : p =
2
La solution positive p = 9 convient.
Le nombre 16 000 000 000 possède donc 140 diviseurs positifs.
3
Spécialité Terminale S
IE3 nombres premiers
CORRECTION
S2 2015-2016
Exercice 1 :
/4
Soit p un nombre premier au moins égal à 5.
a) Montrer que p s’écrit sous l’une des formes 12k + 1, 12k – 1, 12k + 5 ou 12k – 5, où k est un entier.
b) Soit N = p² + 11. En raisonnant par disjonction des cas, déterminer le reste de la division
euclidienne de N par 24.
a) p -6 [12] ou p -5 [12] ou p -4 [12] ou p -3 [12] ou p -2 [12] ou p -1 [12] ou p 1 [12] ou p
2 [12] ou p 3 [12] ou p 4 [12] ou p 5 [12]
Comme p est premier, les cas suivants sont impossibles :
 p -6 [12] car p = -6 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 2.
 p -4 [12] car p = -4 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 2.
 p -3 [12] car p = -3 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 3.
 p -2 [12] car p = -2 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 2.
 p 2 [12] car p = 2 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 2.
 p 3 [12] car p = 3 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 3.
 p 4 [12] car p =4 + 12k (avec k entier) et p serait divisible par 2.
Il reste donc les cas annoncés dans l’énoncé :
12k – 5 ; 12k – 1 ;12k + 1 et 12k + 5
b) Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5.
1er cas : p = 12k – 5
N = p² + 11 = 144k ²– 120k + 25 + 11 = 24(6k² - 5k + 1) + 12
2ème cas : p = 12k – 1
N = p² + 11 = 144k ²– 24k + 1 + 11 = 24(6k² - k) + 12
3ème cas : p = 12k + 1
N = p² + 11 = 144k ²+ 24k + 1 + 11 = 24(6k² + k) + 12
4ème cas : p = 12k + 5
N = p² + 11 = 144k ² + 120k + 25 + 11 = 24(6k² + 5k + 1) + 12
Dans tous les cas, le reste de la division euclidienne et N par 24 est 12.
Conclusion : Par disjonction des cas, nous avons montré que, si p est premier et au moins égal à 5,
alors le reste de la division euclidienne de p² + 11 par 24 est 12.
Exercice 2 :
a) 521 est-il un nombre premier ?. Justifier la réponse.
b) Déterminer tous les couples (a ;b) d’entiers naturels tels que a² - b² = 521.
/4
a)
521  22,8
521 n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à 23 :
2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;23.
521 est donc premier.
a² - b² = 521
 (a – b)(a + b) = 521
a – b = 1
a – b = 521
 
ou 
car 521 est premier
a + b = 521
a + b = 1
x = 261
x = 261
 
ou 
y = 260
y = -260
Seul le couple d’entiers naturels (261 ;260) convient.
4
Spécialité Terminale S
IE3 nombres premiers
CORRECTION
S2 2015-2016
Exercice 3 :
N désigne un entier naturel dont l’écriture décimale est 2500…00
Combien faut-il écrire de 0 pour N possède exactement 99 diviseurs positifs ?
/2
N = 2510p = 5²(25)p = 2p5p+2
Le nombre de diviseurs de N est donc (p + 1)(p + 2 + 1) = (p + 1)(p + 3).
On cherche p entier tel que (p + 1)(p + 3) = 99
p² + 4p + 3 = 99
 p² + 4p – 96 = 0
Equation du second degré dont le discriminant  est égal à : 4² + 496 = 400 = 20²
- 4  20
D’où : p =
2
La solution positive p = 8 convient.
Le nombre 2 500 000 000 possède donc 99 diviseurs positifs.
5