Nombres carrés et triangulaires Sur les traces des pythagoriciens, nous allons étudier deux classes de nombres que l’on peut représenter par des figures géométriques simples : les nombres triangulaires : les nombres carrés : b 1 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 4 9 16 b b b b 1 b b b b 3 b b b b b b b 6 b b b b b 10 Le but du problème est de trouver des nombres à la fois triangulaires et carrés. I. Quelques exemples On note Cn le nombre carré figuré par un carré dont le côté comporte n points et Tn le nombre triangulaire figuré par un triangle dont la base comporte n points. 1. Expliciter en fonction de n les nombres Cn et Tn . 2. Déterminer à l’aide d’une calculatrice deux nombres à la fois triangulaires et carrés. 3. Vérifier que 41 616 est à la fois triangulaire et carré. II. Une condition nécessaire et suffisante Montrer qu’un entier naturel N est à la fois triangulaire et carré si, et seulement si, il existe deux entiers non nuls x et y tels que N = x2 et y 2 − 8x2 = 1.1 III. Les solutions... On considère les deux suites (xn ) et (yn ) définies par x0 = 1, y0 = 3 et pour tout n>0: xn+1 = 3xn + yn et yn+1 = 8xn + 3yn . On note alors Nn = x2n . 1. Vérifier que N0 , N1 et N2 sont des nombres à la fois triangulaires et carrés. 2. Montrer que, pour tout n > 0, xn et yn sont des entiers naturels non nuls tels que yn2 − 8x2n = 1. Que peut-on en déduire concernant Nn ? 3. Déterminer trois nouveaux nombres triangulaires et carrés. 1 TS équation que l’on retrouve souvent en arithmétique sous le nom d’équation de Pell-Fermat Septembre 2005