elements de mecanique celeste
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ELEMENTS DE MECANIQUE CELESTE SOMMAIRE I) De l'antiquité à Copernic. II) La révolution copernicienne et ses conséquences. III) Newton et la gravitation universelle. IV) Einstein et la mécanique relativiste. V) La mécanique céleste demain. ANNEXES : Rappel sur le mouvement circulaire uniforme. Annexe 1 : La gravitation et la force centrifuge (ex : la Lune). Annexe 2 : Comment on a pesé la Terre. Annexe 3 : Comment on a pesé le Soleil. Annexe 4 : Orbite géostationnaire des satellites artificiels. 1 Qu'est-ce que la " mécanique céleste " : C'est l'étude des mécanismes et des lois physiques qui régissent le mouvement des corps célestes. L'histoire de la mécanique céleste est jalonnée de noms illustres qui vont bouleverser nos conceptions du monde au cours des siècles : Hipparque, Copernic, Galilée, Képler, Newton & Einstein . I) De l'antiquité à Copernic e En fait, jusqu'au milieu du XVIII siècle, c'est l'étude du mouvement des planètes qui a préoccupé les astronomes. En effet, depuis l'antiquité, le ciel est constitué de la sphère des étoiles fixes, immuable, sur laquelle circulent le Soleil, la Lune et 5 planètes ("astres errants " en grec) : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne . e D'après Platon (V siècle av.JC), héritier des courbes parfaites de la philosophie grecque : "Seul le mouvement circulaire uniforme peut rendre compte de la perfection et de l'harmonie de l'univers ". Mais ce mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer simplement la position réelle des planètes. A cette époque, la terre est au centre du système, et on constate très vite que la distance des planètes par rapport à la terre varie au cours de l'année, sans compter la rétrogradation de certaines planètes comme Mars . Hipparque (150 av. JC), s'appuyant sur les idées d'un mathématien grec (Appolonios de Perga), imagine un système d'épicycles pour expliquer ces variations tout en conservant le mouvement circulaire uniforme comme base. Planète épicycle Terre déférant La variation des vitesses du déférent par rapport à l'épicycle permettait de rendre compte du mouvement complexe de chaque planète . Cette idée fut reprise par Ptolémée 3 siècles plus tard . 2 Il importait moins à l'époque de savoir comment les planètes se déplaçaient que de pouvoir prédire leurs positons à un moment donné . II) La révolution copernicienne et ses conséquences . 15 siècles plus tard, Copernic remet le soleil au centre du système des planètes, mais conserve le système d'épicycles qui s'est compliqué au cours des siècles du fait des écarts de plus en plus importants entre la théorie et la réalité . Copernicien convaincu, un disciple de Tycho Brahé: Johann Képler (1571-1630) reprend la place d' astronome impérial à Prague en 1601, à la mort de celui-ci. Ayant une confiance absolue dans les mesures de son maître, il ne peut croire que Tycho Brahé ait pu faire des erreurs aussi importantes que celles qui existent entre ses mesures et l'hypothétique mouvement circulaire uniforme . Dès 1602, il comprend que plus la planète se rapproche du soleil, plus elle va vite. Après avoir reporté les mesures relatives de Mars et de la Terre, il comprend en 1605 que le mouvement de Mars n'est pas un cercle, mais une ellipse. Il essaie sur les autres planètes et çà marche. Rappel : L'ellipse est le lieu géométrique des points tel que la somme des distances à 2 points appelés " Foyers" est constante . B A X F1 O F2 C - Dans l'ellipse ci-dessus , F1 & F2 étant les 2 foyers , on a : F1 A + F2 A = F1 B + F2 B = F1 C + F2 C = 2 OX - L'excentricité est : e = O F1 / O X ( si e = 0 , l'ellipse est un cercle). - O X représente le demi-grand axe . En 1609, il énonce dans "Astronomia nova "ses 2 premières lois : ere -1 e LOI : - 2 LOI : Chaque planète décrit une ellipse autour du soleil qui occupe un des deux foyers . Dans le mouvement elliptique des planètes , leur rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux 3 Planète Soleil e Dans le schéma ci-dessus , représentant la 2 loi de Képler, les 2 arcs rouges sont parcourus dans le même temps, ce qui explique que les planètes vont plus vite lorsqu'elles s'approchent du soleil (confirmation avec les comètes). Mais Képler n'a pas abandonné l'idée de trouver un lien entre les vitesses des différentes planètes . En comparant les distances et les périodes de révolution de chaque planète par rapport à la Terre, il établit le tableau suivant : PLANETE 1/2Grd AXE "a" PERIODE "T" a3 T2 MERCURE 0,387 0,241 0,058 0,058 VENUS 0,723 0,615 0,378 0,378 TERRE 1 1 1 1 MARS 1,524 1,881 3,54 3,538 JUPITER 5,203 11,862 140,8 140,7 SATURNE 9,539 29,458 868 867,9 e Ce tableau lui permet d'énoncer en 1618 sa 3 LOI : e 3 LOI : Les carrés des temps de révolutions des planètes sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes de leurs orbites. Cette période descriptive ou géométrique de la mécanique céleste est liée aux noms illustres de Copernic, Tycho Brahé, Képler & Galilée. Elle explique comment les planètes se déplacent, mais pas pourquoi . III) Newton et la gravitation universelle . Utilisant les travaux de Galilée sur la chute des corps, la force d'inertie et les corps en mouvement (la cinématique), un physicien anglais : Issac Newton (16421727), réussit à prouver qu'une force d'attraction mutuelle existe entre 2 corps . 4 En 1687, dans son célèbre ouvrage "Principes mathématiques de la philosophie naturelle ", il formule des lois connues sous le nom de " lois de la gravitation universelle " qui sont devenues la pierre angulaire de toute la mécanique céleste et même au delà de toute la cinématique . ere 1 e LOI : Loi d'inertie : Tout corps reste à l'état de repos ou conserve un mouvement rectiligne uniforme tant qu'il n'est pas soumis à une force extérieure . 2 LOI : L'accélération @ acquise par le corps est proportionnelle à la force appliquée F ,et inversement proportionnelle à la masse du corps M : @ = F/M e 3 LOI : Si un corps agit sur un autre corps avec une certaine force dans une direction donnée , le deuxième corps réagit sur le premier avec une force égale et de sens contraire . e 4 LOI : Les corps s'attirent avec une force F proportionnelle au produit de leurs masses (M & m) , et inversement proportionnelle au carré de la distance (d) qui les sépare : 2 -11 F= G.M.m / d avec la constante gravitationnelle G = 6,67x10 , si M & m en Kg ; d en mètres ; F en Newton) 2 Newton mesure l'accélération de la pesanteur à la surface de la terre G=9,81m/s , la masse étant concentrée au centre de gravité . Entre 2 masses existe un point d'équilibre : " le point de Lagrange " . A l'aide de ces lois, en prenant l'exemple de la lune, il démontre que les planètes et leurs satellites sont en équilibre car la force centrifuge compense la gravitation universelle ( voir calcul en annexe 1) . Ces lois ouvraient à l'astronomie des possibilités nouvelles. Elles permirent, entre autres choses, de peser la Terre (annexe 2) et le soleil (annexe 3) ,de comprendre les effets de marée, ainsi que de calculer les orbites de satellites artificiels (annexe 4) . Si les lois de la gravitation universelle créaient les fondements de la mécanique céleste, elles n'expliquaient pas les causes physiques de ce phénomène . Cette force d'attraction qui agit à distance et que rien n'arrête était loin de faire l'unanimité parmi la communauté scientifique . 5 Mais les preuves se sont accumulées au cours des siècles : - Halley, à l'aide de ces lois, calcule les orbites de 24 comètes et prédit le retour de la comète qui porte son nom en 1759. Il décédera en 1756 et ne la verra donc pas . er - 1 janvier 1801, Piazzi découvre un astre errant qu'il perd dans les lueurs du Soleil. Gauss, utilisant les lois de Newton et les quelques données de Piazzi, calcule l'orbite de cet astre, et on retrouve Cérès à l'endroit prévu par Gauss de l'autre côté du Soleil. e - 26 septembre 1846 : Galle trouve la 8 planète "Neptune " à l'endroit où l'avait calculé le mathématicien français Urbain Le Verrier à partir des perturbations e d'Uranus, la 7 planète découverte par Herschel 50 ans plus tôt. La loi de TITUS-BODE : Coïncidence ou Enigme mathématique ? En 1766, Daniel Titus constate dans la répartition des planètes du système solaire une progression mathématique . En effet, si on découpe la distance Soleil/Saturne en 100 parties ( 1/10 u.a. ), les n planètes semble être réparties suivant la progression : 4 + ( 3 x 2 ), (avec n = -∞ pour Mercure ; et n = 0 pour Vénus ), soit : 4 ; 7 ; 10 ; 16 ; 28 ; 52 ; 100. Mais pour 28 ( entre Mars et Jupiter ), il n'y a rien. C'est Johann Bode qui reprend le flambeau, et établit la fameuse loi de TitusBode. Le 13 mars 1781 , William Herschel découvre Uranus , et l'orbite coïncide avec cette loi. e La découverte de Cérès, en 1801, bouche le trou de la 5 planète. - Récapitulation des demi-grands axes par la loi de Titus - Bode et dans la réalité: Planète Mercure Vénus n - 00 loi T.B. 0,4 ua Terre Mars 0 1 2 3 4 5 0,7 ua 1 ua 1,6 ua 2,8 ua 5,2 ua 10 ua 1 ua 1,52 ua 2,77ua 5,2 ua 9,54 ua 19,2 ua 1/2gd a. 0,39 ua 0,72 ua Cérès Jupiter Saturne Uranus Neptune 6 7 19,6 ua 38,8 ua 30 ua Hormis Neptune, on constate une liaison troublante entre la loi de Bode et les distances réelles. Pourtant cette loi a rendu l'âme en silence, car 2 siècles n'ont pas suffit à la démontrer mathématiquement, à l'inverse des lois de Képler. 6 Alors curiosité exotique ? moyen mnémotechnique ? simple coïncidence ? ou loi physique dont la puissance dépasse notre savoir ? Cette loi est un défi qui sème le trouble dans les têtes les mieux faites. IV) Einstein et la mécanique relativiste e Si les lois de Newton avait acquis leurs lettres de noblesse au début du XX siècle, elles n'étaient pas sans failles, et des désaccords entre la théorie de Newton et la réalité se font jour : - C'est le même Le Verrier qui met en évidence un résidu inexpliqué de 43 s d'arc par siècle dans le périhélie de l'orbite de Mercure ( Le Verrier émettra l'hypothèse d'une planète entre Mercure et le Soleil : Vulcain ). - Dans la physique de Galilée et Newton, si 2 corps se rapprochent l'un vers l'autre , la vitesse de rencontre est la somme des 2 vitesses . Dans son mouvement, la Terre s'approche de sources lumineuses. On devrait alors observer des vitesses relatives supérieures à celles de la lumière. La plus célèbre de ces expériences est celle de Michelson et Morley en 1887. Mais toutes les expériences sont unanimes : la vitesse de la lumière dans le vide ne dépend pas de la direction. "L'éther" qui a longtemps servi de support et de référence à la lumière ne tient plus face à la réalité. Dans ce contexte, Einstein abandonne les idées ancestrales de ses prédécesseurs au sujet de l'espace et du temps. Dans l'univers de Newton, les astres se meuvent dans un cadre rigide et absolu : l'espace, et selon une chronologie invariante : le temps. Pour Einstein, espace et temps, matière et énergie sont interdépendants. Seule constante de cette scène cosmique mouvante : la vitesse de la lumière, pivot invariant et absolu de sa théorie : la relativité générale. Dans cette géochronométrie nouvelle et audacieuse la théorie électromagnétique de Maxwell s'insère harmonieusement. Au fil des équations la gravitation trouve sa place, la matière courbe l'espace . L'espace-temps est déformable. A des vitesses proches de celle de la lumière, le temps se contracte et l'espace se dilate. Einstein suscitera simultanément l'admiration des uns et l'hostilité des autres. Depuis 1915, date de la publication de cette théorie, les preuves irréfutables s'accumulent sur le bien-fondé de la relativité qui a maintenant les épaules solides : 7 - Au voisinage d'astres extrêmement massifs, la gravitation courbe localement ère l'espace et dévie les rayons lumineux. La 1 confirmation de cet effet relativiste a eu lieu durant l'éclipse de soleil de 1919 observée par Eddington. Cette année, la mesure de la déflexion, par le Soleil, des rayons lumineux en provenance du quasar 3C279 passant au limbe de notre étoile vient de valider la théorie de la relativité générale avec une précision de 0,2% ( 30% d'erreur en 1919 ). Aujourd'hui les mirages gravitationnels connus sont nombreux. - Au voisinage du Soleil, l'avance du périhélie de Mercure prévue par la relativité est 43 s d'arc. Les autres théories, antérieures et invraisemblables, sont abandonnées . - D'après la relativité, à la surface des naines blanches, le temps ne s'écoule pas à la même vitesse que sur la Terre : l'observation des spectres l'a confirmé. V) La mécanique céleste demain e Le XX siècle a été marqué par des découvertes qui ont modifié nos conceptions du monde comme l'avaient fait les grecs, puis Copernic, Képler, Galilée, Newton avant Einstein . Des sciences nouvelles ont vu le jour, après l'astrophysique, c'est la cosmologie, la planétologie etc...... L'astronautique nous a ouvert des mondes nouveaux dans le système solaire. Deux siècles après Newton, Einstein est venu compléter la théorie de la gravitation. La théorie de la relativité générale sera-t-elle un jour supplantée ? Cette nouvelle théorie modifiera-t-elle nos connaissances sur la mécanique céleste et notre conception du monde autant qu' Einstein l'a fait avec la relativité générale ? Le XXIe siècle nous le dira. 8 ANNEXES * Nota : Les unités de mesures dans les annexes ci-après sont exprimées dans le système "MKSA" ( Mètre , Kilogramme - masse , Seconde & Ampère ) . ________________________ RAPPEL SUR LE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME Pour les calculs en annexes, on assimile les mouvement elliptiques des corps célestes à des mouvements circulaires uniformes car les excentricités sont très faibles et peuvent donc être négligées . Amplitude V = Rw 2 2 @=Rw = V /R A R 0 temps t Le déplacement en fonction du temps d'un point A animé d'un mouvement circulaire uniforme est une sinusoïde pouvant s'écrire : Amplitude = R.sin wt ; R est le rayon du cercle & w la vitesse angulaire en rad/s. Vitesse V = R.w. cos wt (la dérivée du déplacement ) 2 Accélération @ = - R.w . sin wt ( la dérivée de la vitesse ; c'est l'accélération de la force centrifuge ) Les parties trigonométriques montrent que la vitesse est déphasée de 90° et l'accélération de 180° par rapport à R . Les parties entières représentent leurs amplitudes , soit : 2 2 V = R.w & @ =R.w ; on en tire @ = V / R 9 w=2 . /T ; on en tire @ = R (2 V=2 . R/ T /T ) 2 ; T est la période de révolution ANNEXE 1 LA GRAVITATION ET LA FORCE CENTRIFUGE (EX: LA LUNE) L'accélération de la pesanteur terrestre ( inversement proportionnelle au carré de 2 la distance ) étant de 9,81 m/s au niveau de sa surface à 6400km du centre, est 2 2 donc au niveau de la lune de : 9,81 x ( 6400 ) = 0,0027 m/s . 2 ( 384000) Une force de gravitation de 0,0027 x m est donc dirigée vers la terre ( m est la masse de la Lune ) . D'autre part , la Lune ayant un mouvement circulaire uniforme , on a : 2 @ = R ( 2 /T ) , avec T = 27jours 1/3 6 2 @ = 384 x 10 x 4 x (3,14) = 0,0027 m/s 2 ( 27,33 x 24 x 3600 ) 2 Une force centrifuge de 0,0027 x m est donc égale et de sens contraire à la force de gravitation _______________________________________ ANNEXE 2 COMMENT ON A PESE LA TERRE D'après la loi de la gravitation universelle : F = G . M . m ; 2 d Or la force F agissant sur une masse "m" à la surface de la Terre est F= m . g, 2 avec g accélération de la pesanteur à la surface de la Terre = 9,81 m/s , 10 donc g = G . M , d'où on tire M = g . d 2 d G 2 6 24 M = 9,81 x (6400) x 10 = 6 x 10 Kg -11 6,67 x 10 2 ( M : masse de la Terre ) . ANNEXE 3 COMMENT ON PESE LE SOLEIL On utilise comme pour la Lune l'équilibre entre la force centrifuge d'une planète ( par exemple la Terre ), et la force de gravitation qui la fait tourner . F= G.M.m = m.@ 2 d 2 avec M : masse du Soleil en Kg m : masse de la Terre en Kg d : distance Terre - Soleil soit 150 millions de km @ : gravitation du Soleil au niveau de l'orbite terrestre donc M = @ . d G Pour connaître @, il faut calculer l'accélération de la force centrifuge de la Terre : 2 @ = d (2 /T) avec T = 1an 9 2 @ = 150 x 10 x 4 x (3,14 ) = 0,0059 m/s 2 ( 365 x 24 x 3600 ) 2 18 2 30 donc M = 0,0059 x 150 x 10 = 2 x 10 Kg -11 6,67 x 10 - En fait, quelle que soit la planète, on peut écrire : 2 F=G.M.m = 4 .d.m 2 2 d T 2 3 ; donc M = 4 x d 2 G T La masse du système solaire étant concentrée à 99% dans la masse du soleil , e 3 2 on retrouve ici la 3 loi de Képler , car d / T est constant en tous points où la masse M du Soleil agit . 11 ANNEXE 4 ORBITE GEOSTATIONNAIRE DES SATELLITES ARTIFICIELS g @ R D w T 2 : Accélération de la pesanteur au niveau de la Terre en m/s 2 : Accélération de la pesanteur au niveau du satellite artificiel en m/s : Rayon de la Terre = 6 400 000 m : Rayon de l'orbite du satellite artificiel / centre de la Terre en m : Vitesse angulaire en rad/s : Période de révolution ( ici on désire 24 h ) en s L'accélération de la pesanteur étant inversement proportionnelle au carré de la 2 2 distance on peut écrire : g = D ; donc @ = g . R 2 2 @ R D Le satellite ayant un mouvement circulaire uniforme , on a : 2 @=w .D & w = 2 /T @ =4 3 2 .D =g.R 2 2 T D 2 2 2 ( équilibre du satellite ) 2 12 2 2 21 D = g.R . T = 9,81 x (6,4) x 10 x 24 x 3600 = 76,4 x 10 2 4 4 x 3,14 x 3,14 7 D = 4,24 x 10 m soit 42400 km - 6400 km ( rayon de la Terre ) = 36000 km de la surface de la Terre . Gil Maugrion - mars 1996 12
