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Département STPI
1ère année
er
1 semestre
UF Physique 1 (I1ANPH21)
Mouvement d’un corps dans un potentiel
central. Formules de Binet.
Mouvement de corps célestes.
B.Lassagne
Introduction
Nous allons étudier le mouvement d’un corps donné autour du soleil ou autour de la Terre. Ce corps
aura une masse beaucoup plus petite que le corps autour duquel il gravite (planètes ou comètes
pour le soleil et satellites artificiels pour la Terre). Ce mouvement sera étudié dans un référentiel
supposé galiléen dont l’origine est le soleil ou la Terre et dont les axes pointent vers des étoiles
lointaines supposées fixes par rapport au soleil ou la Terre.
I) Cas simple du satellite artificiel géostationnaire
Nous nous intéressons au mouvement d’un satellite
de masse Ms autour de la Terre. Sa position par
rapport à la Terre situé en O est donné par le vecteur
𝑟⃗. Nous considérons que le Référentiel ℛ(𝑂, 𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 )
est galiléen. Le satellite a une masse de 1000 kg. La
masse de la terre est de 6×1024 kg. La constante
universelle de gravitation vaut G = 6.67×10-11 m3.Kg1 -2
.s .
1) Quelle est l’expression de la force exercée par
la Terre sur le satellite dans le référentiel
ℛ(𝑂, 𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 ).
2) En utilisant l’expression de l’accélération dans la base de Frenet, donner la condition que doit
respecter la vitesse du satellite dans le référentiel ℛ pour qu’il possède une orbite circulaire
uniforme.
3) Déterminer la distance à laquelle doit orbiter le satellite pour être géostationnaire (c'est-àdire qu’il garde une position fixe par rapport à la surface du sol). Donner la valeur numérique
de la force subie par le satellite.
II) Détermination de l’équation différentielle du mouvement dans le cas
général.
1. Calculer le moment (couple) Γ⃗ de la force de gravitation exercé par le soleil ou la Terre (objet
S situé au point O de masse M) sur un objet P (planète ou satellite) de masse m. En déduire
que le mouvement est plan en justifiant votre réponse auprès d’un enseignant.
2. On prendra le repère cylindrique pour décrire le mouvement du corps P. L’axe z du repère
sera perpendiculaire au plan du mouvement. Déterminer le vecteur vitesse 𝑣⃗𝑃/ℛ ainsi que le
vecteur accélération 𝑎⃗𝑃/ℛ .
2
3. Utiliser le PFD ainsi que le théorème du moment cinétique pour établir les équations du
mouvement et montrez que ces dernières sont solutions du système d’équations suivant :
Eq 1 :
𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 = −𝐺
𝑀
𝑟2
Eq 2 :
2𝑟̇ 𝜃̇ + 𝑟𝜃̈ = 0
Eq 3 :
𝑚𝑟 2 𝜃̇ = 𝐿0
Avec L0 une constante.
III) Appréciation du mouvement d’un point de vue énergétique
1. Montrer que le travail de la force de gravitation est conservatif. En déduire la forme de le
l’énergie potentielle associée à la force de gravitation. On prendra l’origine des énergies
potentielles à l’infini.
2. Exprimer l’énergie cinétique en fonction de m, 𝑟, 𝑟̇ et L0.
3. Dans un premier temps on considère que le moment cinétique du corps P est nul, en d’autres
termes 𝜃̇ (𝑡) = 0, le mouvement est donc unidimensionnel selon 𝑒⃗𝜌 .
- Grâce au théorème de l’énergie mécanique prédire le comportement de l’objet P sous
l’influence de S. Pour cela vous utiliserez un graphique ou vous représenterez l’énergie
potentielle de gravitation en fonction de 𝑟.
- A l’instant initial, l’objet est à la position 𝑟0 . Vous étudierez ce qui se passe lorsque
l’énergie cinétique initiale est nulle, non nulle avec un vecteur vitesse dirigé à l’opposé
de S et une énergie cinétique non nulle avec un vecteur vitesse dirigé vers S.
4. Cette fois on considère que le moment cinétique du corps P est non nul.
- Grâce au théorème de l’énergie mécanique montrez que le mouvement du corps peut
être décrit graphiquement comme pour le cas précédent, c'est-à-dire un mouvement
unidimensionnel mais avec une énergie cinétique et une énergie potentielle effective
que l’on déterminera.
- Vous utiliserez un graphique ou vous représenterez l’énergie potentielle effective en
fonction de 𝑟.
- Déterminer les trois types de trajectoires possibles d’un corps sous l’influence d’un astre
plus grand.
3
IV) Détermination et analyse de la trajectoire.
La résolution temporelle de ce système d’équation différentielle n’est pas possible
analytiquement. Cependant nous pouvons déterminer l’expression analytique de r en fonction de 𝜃,
pour cela il faut supprimer la variable temporelle afin d’obtenir une équation différentielle
permettant de déterminer 𝑟(𝜃) et non 𝑟(𝑡) et/ou 𝜃(𝑡). On détermine ainsi la trajectoire et non les
équations horaires du mouvement. Pour cela on effectue le changement de variable suivant :
𝑢=
1
𝑟
𝑑𝑢
1. Exprimer 𝜃̇ en fonction de m, L0 et u. Ensuite exprimer 𝑟̇ en fonction de m, L0 et . Pour
finir exprimer 𝑟̈ en fonction de m, L0, u et
𝑑2 𝑢
.
𝑑𝜃2
𝑑𝜃
On utilisera l’astuce suivante :
𝑑
𝑑𝜃 𝑑
𝑑𝜃 𝑑
𝑑
( )=
( )=
( ) = 𝜃̇
( )
𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝜃
𝑑𝜃
2. Montrer que l’équation 1 devient :
𝑑2 𝑢
𝑀𝑚2
+
𝑢
=
𝐺
𝑑𝜃 2
𝐿20
3. A partir de l’équation différentielle trouvée à la question précédente, montrer que la
fonction 𝑟(𝜃) est de la forme
𝑝
𝑟(𝜃) =
𝑒𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 1
ceci correspond à une solution de type elliptique (l’excentricité e est inférieure à 1) ou
hyperbolique (l’excentricité e est supérieure ou égale à 1).
On utilisera les conditions initiales suivantes :
- 𝜃(𝑡 = 0) = 0
- 𝑟(𝑡 = 0) = 𝑟0
- 𝑟̇ (𝑡 = 0) = 0
Avec p à exprimer en fonction de L0, G, M et m et e en fonction de L02, G, M, m et 𝑟0
Rq : on utilisera des solutions de la forme cos(𝜃 − 𝜃0 ) comme solution à l’équation
homogène.
4. Exprimer l’énergie mécanique totale en fonction de l’excentricité e. Quelle est sa valeur pour
une trajectoire elliptique, une trajectoire hyperbolique ? Commenter.
5. Déterminer la condition permettant d’avoir une trajectoire circulaire (e = 0).
6. Dans le cas d’une trajectoire elliptique, on définit la vitesse aréolaire comme l’élément de
surface élémentaire balayé pendant un instant dt. Exprimer vA en fonction de L et m.
4
7. Déterminer la période de révolution T du corps autour du soleil en utilisant vA. Pour cela
exprimer l’aire de l’ellipse en fonction de a et b, grand côté et petit côté de l’ellipse.
3
On montrera alors que 𝑇 =
2𝜋𝑎 2
√𝑘
.
V) Détermination et analyse de la trajectoire.
A l’aide d’un tableur vous déterminerez graphiquement la trajectoire de corps célestes
comme la Terre autour du soleil, la station internationale ISS autour de la Terre. Vous utiliserez la
solution déterminée à la question IV.3) pour tracer ces trajectoires. Vous pourrez aussi tracer la
trajectoire de comètes (trajectoire hyperbolique), à vous de trouver les bons paramètres.
Terre
Constante de gravitation (G)
Masse Soleil (mS)
6,67 × 10−11
1,99 × 1030
𝑘𝑔−1 . 𝑚3 . 𝑠 −1
𝑘𝑔
Masse Terre (mT)
5,97 × 1024
𝑘𝑔
365
𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
4,2 × 105
𝑘𝑔
92,7
𝑚𝑖𝑛
Période de révolution autour
du soleil (T)
Station Spatiale Internationale
Masse ISS (MISS)
Période de Révolution autour
de la Terre (TISS)
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