M3 : Physique en Option Spécifique PARTIE B. MECANIQUE CELESTE Figure1:"Lesplanètesdécriventdesorbitesenformed'ellipsesdontleSoleiloccupeundesfoyers." -1- Historique MouvementsKéplériens:Compétencesexigibles 1. LestroisdeKepler démonstrationdela2eet3e(orbitecirculaire). 2. Energiepotentiellegravitationnelle énoncéetdémonstration. 3. Formedelatrajectoireselonlesignedel'énergiemécanique(sans démonstration!) 4. Conservationdel'énergiemécaniqueetdumomentcinétique #$ lienaveclethéorèmedumomentcinétique 𝑀 = = 0. #% 5. Constructiondel'hyperboleaveclegrandaxe(a)etpetitaxe(b). 6. Momentcinétiqueàl'infinisurunehyperbole 𝐿 = 𝑏 · 𝑚 · 𝑣,-. 7. 1ereet2emevitessescosmiques. -2- M3 : Physique en Option Spécifique TabledesMatières MOUVEMENTSKEPLERIENS:COMPETENCESEXIGIBLES - 2 - CHAPITRE1: MOUVEMENTSDESCORPSCELESTES -4- 1.1 LESLOISDEKEPLER 1.1.1 HISTORIQUE 1.1.2 LESTROISLOISDEKEPLER 1.1.3 DEMONSTRATIONDESLOISDEKEPLER 1.2 TRAJECTOIRESDESCORPSCELESTESENFONCTIONDELEURENERGIE 1.2.1 ENERGIEPOTENTIELLEDEGRAVITATION 1.2.2 GRANDEURSCONSERVEESDANSUNMOUVEMENTKEPLERIEN 1.2.3 RAPPELSSURLESCONIQUES(CRMP.57) 1.2.4 VITESSESCOSMIQUES 1.3 EXERCICES -3- - 4 - - 4 - - 4 - - 9 - -11- -11- -13- -14- -16- -18- Historique Chapitre 1 : Mouvements des corps célestes 1.1 LesloisdeKepler 1.1.1 Historique En1600,JohannesKeplerselançadansuneétudetrèsapprofondiedel’orbitedeMarsen utilisantlesdonnéesd’observationsdeTychoBrahé,lesmeilleuresfaitesavant1600. Après8ansd’études,Keplerarrivaàuneconclusionrévolutionnaireen1608. Alorsqu’onpensaitdepuisprèsde20sièclesquelesorbitesdesplanètesdevaientêtredes cerclesparfaits,sousprétextequelescieuxdevaientêtreparfaitspourrefléterlaperfection desdieux(ouduDieu),Keplermontraquelesorbitesavaientuneformeelliptique1. ? http://agregation.capes.free.fr/_Ressources_CAPES2015/physique/4_Mecanique/Kepler_CEA/kepler.swf ? http://serge.bertorello.free.fr/astrophy/kepnew/kepnew.html 1.1.2 LestroisloisdeKepler Enastronomie,lesloisdeKeplerdécriventlespropriétésprincipalesdumouvementdes planètesautourduSoleil,sanslesexpliquer.Copernicavaitsoutenuen1543queles planètestournaientautourduSoleil,maisilleslaissaitsurlestrajectoirescirculairesdu vieuxsystèmedePtoléméehéritédel’antiquitégrecque. LesdeuxpremièresloisdeKeplerfurentpubliéesen1609etlatroisièmeen1618.Les orbiteselliptiques,tellesqu’énoncéesdanssesdeuxpremièreslois,permettentd’expliquer lacomplexitédumouvementapparentdesplanètesdanslecielsansrecouriraux épicycliquesdumodèleptoléméen. Peuaprès,IsaacNewtondécouvriten1687laloidel’attractiongravitationnelle(ou gravitation),celle-ciinduisant,parlecalcul,lestroisloisdeKepler. ? http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf PremièreloideKeplerouloidesorbites Latrajectoiredesplanètesautourdusoleilestplaneetdécrituneellipse. Lesoleilsetrouvesurunfoyer. 1 LaGravitation,L.Tremblay,CollegeMerci,Quebec -4- M3 : Physique en Option Spécifique 2 Figure2:Orbiteselliptiquesdesplanètesdusystèmesolaire . 1.1.2.1 Excentricitédesorbites 2 http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf -5- Les trois lois de Kepler 1.1.2.2 Vocabulaireetunitésastronomiques - Périapseoupériapsideestlepointdel’orbited’unobjetcélesteoùladistanceest minimaleparrapportaufoyerdecetteorbite. - Apoapseouapoapsideestlepointdel'orbited'unobjetcélesteoùladistanceest maximaleparrapportaufoyerdel'orbite. - Apogée:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusloindelaTerresurune orbiteelliptiqueautourdelaTerre. - Périgée:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusprochedelaTerresurune orbiteelliptiqueautourdelaTerre. - Aphélie:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusloinduSoleilsuruneorbite elliptiqueautourduSoleil. - Périhélie:positiond’unsatellitelorsqu’ilsetrouveauplusprocheduSoleilsurune orbiteelliptiqueautourduSoleil. - Année-lumière(AL):distanceparcourueparlalumièrependantuneannée(1𝐴𝐿 = 9,46 · 1067 𝑚) - Unitéastronomique(UA):distanceTerre-Soleil(1𝑈𝐴 = 1,496 ⋅ 1066 𝑚) - Parsec(pc):distanceàlaquelle1UAsous-tendunangle d’uneseconde.Autrementdit,ladistanceàpartirdelaquelle onverraitladistanceterre-soleil,sousunangled'une seconded'arc(1𝑝𝑐 = 3,085 · 106? 𝑚 ≈ 3.2616𝐴𝐿) 1.1.2.3 Propriétésdesorbiteselliptiques 𝑎:demi-grandaxe 𝑏:demipetit-axe 𝑐:distanceaucentre E 𝑒 = :excentricité F 𝑟H + 𝑟F = 2𝑎 𝑎= 𝑒= JK LJM N JM PJK JM LJK 𝑒𝑡𝑐 = 𝑟F :distanceàl’apoapside(pointleplus éloignédel’astrecentral) 𝑟H :distanceaupériapside(pointleplus prochedel’astrecentral) JM PJK N -6- M3 : Physique en Option Spécifique DeuxièmeloideKeplerouloidesaires L’airebalayéeparlerayonvecteurd’uneplanèteendestempségauxestconstante. Autreformulation: Lavitessearéolaireestconstante. TroisièmeloideKeplerouloidespériodes Pourtouteslesplanètes,lerapportentrelecubedudemigrandaxedelatrajectoireetle carrédelapériodeestidentiqueetproportionnelàlamassedel’astrecentral. 𝑎Q 𝐺 ⋅ 𝑀 = 𝑇N 4𝜋 N 𝑎 ∶demi-grandaxedel’orbite[m] 𝑇:périodeorbitale[s] 𝐺:constanteuniverselledegravitation(𝐺 = 6.67 ⋅ 10P66 𝑁. 𝑚N ⋅ 𝑘𝑔PN ) 𝑀:massedel’astrecentral[kg] -7- Les trois lois de Kepler 1.1.2.4 Détectiondesexoplanètes Enréalitélemouvementestdécritautour ducentredemasseSoleil-Planètequise situeàl’intérieurduSoleil.Defait,leSoleil décritaussiunmouvementautourdu CDM. De manière plus générale, c’est ce mouvementdel’étoilecentraleautourdu centredemassedusystèmeplanétairequi permet la détection indirecte des exoplanètes par effet Doppler-Fizeau sur lesraiesspectralesdel’étoilecentrale. ? https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/ Figure3:Leprincipedeladétectiond'uneexoplanèteparla mesured'undécalagespectralpareffetDoppler-Fizeau.©Eso -8- M3 : Physique en Option Spécifique 1.1.3 DémonstrationdesloisdeKepler 1.1.3.1 Théorèmedumomentcinétique 1.1.3.2 Mouvementdescorpssoumisàuneforcecentrale -9- Démonstration des lois de Kepler 1.1.3.3 Loidesaires Ladémonstrationestbaséesurlaconservationdumomentcinétique. L’aire infinitésimale dS balayée par le vecteur 𝑟 pendant le déplacement dS est égale à la moitié de la norme du produit vectoriel En divisant dS par le temps infinitésimal dt (durée du déplacement dr), on obtient la dérivée de l’aire par rapport au temps (taux de variation de l’aire par seconde) Cette dérivée s’appelle la vitesse aréolaire. (1) D’autre part : (2) En combinant (1) et (2), on obtient : Remarque: Laloidesaires,observéeparJ.Kepleren1609,estenréalitéunepropriétégénéraledetout mouvementàforcecentrale,carilnefaitintervenirquelapropriétédeconservationdu momentcinétique. Exemples:Forceélectriqueetmodèlesdel’atomedeRutherfordetdeBohr. -10- M3 : Physique en Option Spécifique 1.1.3.4 Loidespériodes Démonstrationdanslecasd’unetrajectoirecirculaire: 1.2 Trajectoiresdescorpscélestesenfonctiondeleurénergie 1.2.1 Energiepotentielledegravitation 1.2.1.1 Travaild’uneforcevariable -11- Energie potentielle de gravitation 1.2.1.2 Energiepotentielleettravail i. Définitiondel’énergiepotentielle ii. Energiepotentielledegravitation calcul de l'énergie gravitationnelle (Merici, Astro, Chap-1-Rappels, p15) -12- M3 : Physique en Option Spécifique 1.2.2 Grandeursconservéesdansunmouvementképlérien L’énergiemécaniqued’unsatelliteestconstante 1 𝐺𝑀𝑚 𝐸^_E = 𝑚𝑣 N − = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝑟 Lemomentcinétiqued’unsatelliteestconstant 𝐿 = 𝑟×𝑝 = 𝑚 1. La conservation de l’énergie mécanique provient du fait qu’il s’agit de système conservatif soumis à des forces conservatives (force de Gravitation). 2. La conservation du moment cinétique vient du fait que la force de gravitation est une force v2 centrale. Son moment de force est nul, ce qui entraîne que la dérivée du moment cinétique est nulle, donc que a v1 b (90°) le moment cinétique est r1 constant. (Théorème du r2 moment cinétique) L’énergiesuruneorbiteelliptiquepeuts’exprimerenfonctiondugrandaxe(2a)del’ellipse. 𝐸^éE = − 𝐺𝑀𝑚 2𝑎 Preuvepourunetrajectoirecirculairederayonr -13- Rappels sur les coniques (CRM p. 57) 1.2.2.1 Trajectoiresenfonctiondel’énergie ? https://phet.colorado.edu/sims/my-solar-system/my-solar-system_en.html 𝐸^_E < 0 ⟹Latrajectoireestuneellipse 𝐸^_E = 0 ⟹Latrajectoireestuneparabole 𝐸^_E > 0 ⟹Latrajectoireestunehyperbole 1.2.3 Rappelssurlesconiques(CRMp.57) On appelle conique de foyer F, d’excentricité e, et de directrice D, l’ensemble des points M du plan P tels que : MF=e × d(M,D) où d(M,D) est la distance de M à la droite D. 0 ≤ 𝑒 < 1: 𝑒𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒 = 1 ∶ 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑒 > 1 ∶ ℎ𝑦𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 1.2.3.1 L’ellipse ÉtantdonnésdeuxpointsfixesFetF’,onappelleellipsel’ensembledespointsduplandont lasommedesdistancesàFetF’estconstante. Uneellipseestl’ensembledespointsMtelsque 𝑀𝐹 + 𝑀𝐹′ = 2𝑎 FetF’:foyers a:demi-grandaxe b:demi-petitaxe SetS’:sommets O:centre. qr e:excentricitée = qs -14- M3 : Physique en Option Spécifique 1.2.3.2 L’Hyperbole ÉtantdonnésdeuxpointsfixesFetF’,onappellehyperbolel’ensembledespointsduplan dontladifférencedesdistancesàFetF’estconstante. Unehyperboleestl’ensembledespointsMtelsque 𝑀𝐹 − 𝑀𝐹′ = 2𝑎 FetF’:foyers a:demi-grandaxe b:demi-petitaxe SetS’:sommets O:centre. Remarque: Unehyperbolepossède2asymptotes. b est aussi la distance entre le foyer et l’asymptote 1.2.3.3 LaParabole Uneparaboleestl’ensembledespointsMtelsque 𝑀𝑀′ = 𝑀𝐹 Remarque: Uneparabolen’apasd’asymptote. M’ -15- Vitesses cosmiques 1.2.3.4 Expressionanalytiquedesconiques 1.2.3.5 Momentcinétiqueàl’infini(hyperbole) A l’infini, la vitesse du satellite est pratiquement tangente à l’asymptote. 𝐿 = 𝑟t 𝑚𝑣t sin 𝛼 et 𝑟t sin 𝛼 = 𝑏 vinf 𝐿 = 𝑏𝑚𝑣t r inf a b 1.2.4 Vitessescosmiques 1.2.4.1 Premièrevitessecosmiqueouvitessecirculaire Lapremièrevitessecosmiquereprésentelavitessedesatellisationminimaleautourdela Terre. 𝑣E,J = 𝐺𝑀 𝑅z -16- M3 : Physique en Option Spécifique C’estdonclavitessed’unsatelliteàlasurfacedeTerre. 1.2.4.2 Deuxièmevitessecosmiqueouvitessedelibération. Vitessedelibération Lavitessedelibérationestlavitesseminimaleàlaquelleilfautlanceruncorpsdepuisla surfaced’unastrepourqu’iléchappeàl’attractiongravitationnelledel’astre. VitessedeLibération 𝑣{,| = CasdelaTerre 2𝐺𝑀E 𝑅𝑐 -17- Vitesses cosmiques 1.3 Exercices Ex.1. LacomètedeHalleysedéplacesurorbitedontles distancesàl’aphélieetaupérihéliesontdera= 35,295UAetrp=0,587UA. a. Quelleestl’excentricitédecetteorbite? b. Quelestledemi-grandaxe(a)decetteorbite? c. Quelleestlapériodedelacomète? Rép:a)0.9673b)17.941UAc)76.08ans Ex.2. Onveutlancerunsatelliteartificieldefaçonqu’ilrestetoujours,enMCU,àlaverticaledu mêmepointdelasurfacedelaTerre(satellitedetélécommunicationgéostationnaire). a) Dansquelplandoittournercesatellite? b) Aquellealtitudeetàquellevitessedoit-ilêtreplacéenorbite? Ex.3. Lesoleilsetrouveàenviron30'000annéeslumièresducentredenotreGalaxie.Lesystème solairemetenviron2,5・108annéespoureffectuerunerotationcomplète. a) UtiliserlaloidelaGravitationUniverselleetlesloisdeNewtonpourdéterminerlamasse approximativedenotreGalaxieenconsidérantnotresystèmesolairecommeunsatellite delaGalaxie. b) Déterminerstatistiquementlenombred’étoilesdeGalaxieenposantleshypothèses nécessaires. -18- M3 : Physique en Option Spécifique Ex.4. (Maturitésuisse,automne2001) Deux satellites de même masse m tournent autour de la terre (masse M) en suivant des orbitescirculairesderayon2Rpourlesatellite(1)et3Rpourlesatellite(2). DéterminerlesrapportsdespériodesT1/T2. Ex.5. Un satellite décrit une trajectoire elliptique autour de la terre. Lorsqu’il se trouve à son périgée,savitessevaut9km/setsonaltitudeaudessusdelaterre,600km. a)Calculersavitesseetsonaltitudelorsqu’ilestàsonapogée. b)Calculerlesdemi-axesdel’ellipseetsavitesseauxextrémitésdupetitaxe. Rép:a)3576m/s;10610km.b)a=11605km;b=10470km;v=5673m/s. Ex.6. Unecomètepassedanslechampdegravitationdusoleilendécrivantunebranche d’hyperboledontlesdemi-axesvalenta=4x1010metb=3x1010m. a)Calculersavitesselorsqu’elleesttrèsloindusoleil. b)Calculersadistanceminimaleausoleilainsiquesavitesseàcetendroit. 4 10 5 Rép:5,76x10 m/s;10 m;1,73x10 m/s. Ex.7. LaplanèteMercuredécritautourdusoleiluneellipsededemi-axesa=5,79x1010met b=5,66x1010m.Calculersesvitessesmaximaleetminimale,etsadistanceausoleillorsque cessituationsseréalisent. 10 10 Rép:59480m/s;38780m/s;4,57x10 m;7,01x10 m. Ex.8. Un astéroïde de masse m = 100 kg se déplace sur une orbite elliptique autour de la terre. En A, la vitesse de l’astéroïde est parallèle au grand axe de l’ellipse. L’altitude de B vaut 5000 km. La période de révolution del’astéroïdevaut8h. a) Vérifier que le grand axe 2a de l’ellipse vaut 40400km. b) Calculer l’altitude et la vitesse de l’astéroïde lorsqu’ilsetrouveenA. c) QuevautlavitessedusatelliteenB? Ex.9. Unemétéoritepasseàunevitessede6km/senunpointsituéàunealtitudede30'000km au-dessusdelasurfacedelaterre.Elles’approchedelaterreendécrivantunetrajectoire nonrectiligne. -19- Vitesses cosmiques a) Calculersavitesselorsqu’elleaunealtitudede1000km. b) Indiquerlenomdesatrajectoireenjustifiantvotreréponse. c) Calculerlavitessedelamétéoritelorsqu’ilsetrouveinfinimentloindelaterre. 4 Rép.:1.110 m/s;hyperbole;3.58 ⋅ 10Q m/s Ex.10. (Maturitésuisse,2003) -20- M3 : Physique en Option Spécifique Ex.11. (Maturitésuisse,2004) Ex.12. Une comète de masse m = 1015 kg a une trajectoire paraboliqueets'approchejusqu'àunedistanced=108km du Soleil. Supposer qu'elle ne soit influencée que par le Soleiletquel'onpuissenégligerlesinfluencesdesplanètes. Déterminerlavitessemaximalevdecettecomète. 8 Rép.:5,137.10 m/s Ex.13. Unecomètedemassem=1010kgaunevitessedevo=5km/strèsloinduSoleil.Ladistance deladroitequiportecettevitesseauSoleilestdeD=1012m.Lacomètenepassequ'une foisautourduSoleilaucoursdesonexistence. -21- Vitesses cosmiques a. Calculersavitessemaximale. b. Quelleestlavaleurdelavitessetrès loinaprèssonpassageprèsduSoleil? -22-