A i de mé mo i r e N U M E R A T IO N de la 6 è m e à l a 3 è m e divisibilité ___________________________________________________________________ Un nombre est divisible par un autre quand le reste de la division est nulle. 450 = 45 × 10 + 0 450 est divisible par 10 et 10 est un diviseur de 450 par 2 Un nombre entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 468 = 234 × 2 + 0 par 5 Un nombre entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5 625 = 105 × 5 + 0 par 3 Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 4236: 4 + 2 + 3 + 6 = 15 15 = 5 × 3 + 0 par 9 Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 6 408: 6 + 4 + 0 + 8 = 18 18 = 2 × 9 + 0 par 4 Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 5 736: 36 = 9 × 4 + 0 chiffres et nombres →0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 ,6 , 7 ,8e t9s o n tde sc h i f f r e s . → Oné c r i tde snombr e sà l'aide des chiffres (5 698). les opérations enchaînement d'opérations: opération addition soustraction multiplication division addition signe + ou : commutativité: soustraction résultat action somme ajouter des termes différence soustraire des termes produit multiplier des facteurs quotient avec un reste (= diviser un dividende par un diviseur ou de 0) a+b = b+a a+0=a 3+5=5+3=8 3+0=3 a –b = c b + c = a 5 –2 = 3 2 + 3 = 5 multiplication 0 × a = 0 et a × 0 = a 1 × a = a et a × 1 = a communtativité a × b = b × a associativité (a × b) × c = a × (b × c) 0 × 5 = 0 et 5 × 0 = 0 1 × 3 = 3 et 3 × 1 = 3 3×2=2×3=6 (3 × 2) × 5 = 6 × 5 = 3 × (2 × 5) = 3 × 10 = 30 Pour calculer une expression avec ( ), on effectue d'abord les calculs entre ( ) en commençant par les ( ) les plus intérieures. Les calculs entre ( ) sont prioritaires. A = ( 8 × 3 ) : [ ( 6 –4 ) × 3 ] = 24 : [ 2 × 3 ] = 24 : 6 = 4 Calculer une expression avec quotient revient à calculer une expression avec ( ). 10+5 B = = ( 10 + 5 ) : 5 = 15 : 5 = 3 5 On calcule une expression sans ( ) avec additions et soustractions de la gauche vers la droite. C = 15 –7 –6 + 5 = 8 –6 + 5 = 2 + 5 = 7 On calcule une expression sans ( ) avec multiplications et divisions de la gauche vers la droite. D = 15 : 3 × 8 : 2 = 5 × 8 : 2 = 40 : 2 = 20 Por calculer une expression sans ( ), on effectue d'abord les multiplications et les divisions. E = 6 : 3 + 5 × 2 –1 = 2 + 10 –1 = 12 –1= 11 quotient: Soient a et b deux nombres avec b 0 Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. numérateur a 22 On note a : b ou écriture fractionnaire 22 : 4 = = 5,5 b 4 dénominateur a = a:b b alors Si 24 = 24 : 2 2 = nombre entier, a est un multiple de b a est divisible par b b est un diviseur de a 24 est un multiple de 2 24 est divisible par 2 2 est un diviseur de 24 nombres décimaux: → L' é c r i t u r eà virgule d'un nombre s'appelle son écriture décimale. 56,98 partie entière , partie décimale (nombre fini de chiffres non nul) →u nno mbr ee n t i e re s tu nno mbr edé c i ma ldo ntl apa r t i edé c i ma l ee s tnulle: 175 = 175,0000 Pr ► Onn ec h a ng ep a sunnombr ed é c i ma ls io na j o u t eo us io ne nl ève: » des 0 avant la partie entière: 00,58 = 0,58 050,56 = 50,56 » des 0 après la partie décimale: 67,800 = 67,8 5,00 = 5 → Ler a ngde sc h i f f r e sd ' u nno mbr edé c i mal est la position qu'il occupe par rapport à la virgule comparaison de nombres Partie entière Partie décimale , Classe des millions Classe des mille Classe des unités , dixième centième c d u c d u c d u , 2 0 3 2 7 8 6 0 , 4 0 5 6 , 9 8 millième dixmillième "a est inférieur à b" "a est égal à b" 8 < 12 12 = 8 ♣ < ♣ =♣ a>b "a est supérieur à b" 12 > 8 ♣> ♣ » nombres décimaux: 172,3859 2 → Éc r i t ur ef r a c t i o n n a i r ed' u nno mb r edé c i ma l : Le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000, 10 000, ...) et le numérateur n'a pas de virgule. 56,98 = ♣ a<b a=b 172,3837 > partie identique 5 698 100 5 > 3 rangement de nombres Pr ► Unn ombr edé c i ma la dme tpl us i e ur sé c r i t ures fractionnaires: 56,98 = ordre croissant = du plus petit au plus grand: 3 < 6 < 78 < 189 ordre décroissant = du plus grand au plus petit: 45,6 > 6,89 > 5 5 698 56 980 569 800 = = ... 100 1 000 10 000 encadrement de nombres → Dé c ompo s i t i o n: Encadrer un nombre: écrire ce nombre entre deux valeurs, l'une inférieurs, l'autre supérieure. 23 < 28,56 < 54 Intercaler un nombre entre deux nombres a et b, c'est trouver un nombre entre a et b.entre 2,8 et 2,9 [on peut avoir 2,8 < 2,87 < 2,9] 56,98 = (5 × 10) + (6 × 1) + (9 × 0,1) + (8 × 0,01) = 50 + 6 + 9 8 + 10 100 valeur approchée Valeur approchée: 26 < 26,343 < 27 demi-droite graduée 26 < 26,343 < 27 origine: A B C 26,3 < 26,343 < 26,4 c'est 26 c'est 27 c'est 26,3 c'est 26,4 par défaut par excès par défaut par excès à l'unité près. à l'unité près. au dixième près. au dixième près. troncature 0 1 3 sens → On supprime tout ce qui se trouve après la virgule : 3,63 → 3 , 63 → 3 unité de longueur Pr ► Un point est repéré par un nombre appelé son abscisse. (C a pour abscisse 3) A chaque nombre (abscisse) correspond un point. arrondi : L’ a r r o nd ia udi x i è me , c ’ e s tl eno mbr eàu ns e ulc h i f f r ea pr è sl av i r g ul el epl uspr o c he . arrondi au dixième de 3,63 → 3 , 6 3 → 3 , 6 multiplier par: × 10 × 100 × 1000 × 0,1 × 0,01 × 0,001 → → → → → → 1 rangs vers la droite 2 rangs vers la droite 3 rangs vers la droite 1 rang vers la gauche 2 rangs vers la gauche 3 rangs vers la gauche a division euclidienne = q × 0,54 × 10 0,54 × 100 0,54 × 1000 0,54 × 0,1 0,54 × 0,01 0,54 × 0,001 b + r = = = = = = 5,4 54 540 0,54 0,054 0,0054 avec r < b dividende = quotient entier × diviseur + reste avec reste < diviseur 420 = 17 × 24 + 12 avec 12 < 24 division Soit a un nombre décimal et b un nombre entier non nul. On appelle quotient de a par b le nombre qui, multiplié par b, donne a. Le quotient de a par b se note a : b et correspond au résultat de la division de a par b. On a ( a : b) × b = a 22,41 × 2 = 44,82 donc 44,82 : 2 = 22,41 et ( 44,82 : 2 ) × 2 = 22,41 × 2 = 44,82 On peut toujours déterminer une fraction égale au quotient de deux nombres décimaux: 3,5 3,5 x 2 7 = = 6 6x2 12 Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par une fraction: 3 3 J'ai colorié les des 100 cartes de Noël: × 100 (= 75) 4 4 Pour multiplier la fraction a × c b a par c, on peut: b 15 × 7 = 3 × 7 = 21 5 105 a x c 15 x 7 = = 21 b 5 5 Pour diviser un nombre par 10, on le multiplie par 0,1 Pour diviser un nombre par 100, on le multiplie par 0,01 15 7 c × a × 7 = × 15 = 1,4 × 15 = 21 b 5 5 630 : 10 = 630 × 0,1 = 63 630 : 100 = 630 × 0,01 = 6,3 ordre de grandeur Pour prévoir un résultat ou vérifier le résultat d'une opération sans calculatrice 234,7 + 78,7 + 987,654 ≈2 3 0+ 80 + 1000 ≈1 3 1 0 21,68 × 60,98 ≈ 2 0× 6 0≈ 12 0 0 simplification a axk = b bxk 2 2 x 5 10 = = 3 3 x 5 15 a a÷k = b b÷k fraction fraction irréductible: on ne peut plus simplifier Soit a et b deux nombres, avec b 0, le quotient a : b peut s'écrire a b 20 20 ÷ 5 4 = = 35 35 ÷ 5 7 si a et b sont entiers, on a une fraction. a écriture fractionnaire b 22 3,5 est une fraction. n'est pas une fraction. 4 7 Une fraction est un quotient de deux nombres entiers: 3 8 Si k 0, alors même dénominateur, on compare les numérateurs: 13 34 < 51 51 ou 34 13 > 51 51 même numérateur, ordre inverse des dénominateurs: 71 71 < 23 70 ou 71 71 < 70 23 addition: a numérateur a b b dénominateur Pr ► Si k 0, alors comparaison: a b a+b + = c c c soustraction 2 4 2+4 6 + = = 5 5 5 5 a b a-b = c c c 7 3 7-3 4 - = = 5 5 5 5 a axk = b bxk 3 3x5 15 = = 2 2x5 10 (Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire qui n'ont pas le même dénominateur, on doit d'abord les réduire au même dénominateur). a a÷k = b b÷k 12 12 ÷ 4 3 = = 8 8÷4 2 fraction d'un nombre: a × Pr ► Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. 48 6x8 6 = = 56 7x8 7 b axb = c c Les deux tiers des 24 élèves: multiplication: a c axc × = b d bxd 3 2 3x2 6 × = = 4 3 4x3 12 2 2 x 24 48 × 24 = = = 16 3 3 3 Puissance d'un nombre relatif: Réduire au même dénominateur: an = a × a × a × ....... × a se lit "a puissance n" ou "a exposant n" a c et On cherche un nombre multiple de b et d b d 3 5 et 4 6 Notations: Somme de nombres en écriture fractionnaire: même dénominateur: a b a+b + = c c c a5 = a × a × a × a × a n fois 3 3x3 9 5 5x2 10 = = et = = 4 4x3 12 6 6x2 12 12 = 4×3 et 6×2 3 5 3+5 8 + = = 4 4 4 4 a × a = a² " a au carré " 3 × 3 = 3² = 9 a × a × a = a3 " a au cube " 5 × 5 × 5 = 53 = 125 dénominateurs différents: on réduit d'abord au même dénominateur: L'inverse de a c'est a-1 3 5 9 10 9 + 10 19 + = + = = 4 6 12 12 12 12 L'inverse de an c'est a-n = Inverse d'un nombre relatif 0: L'inverse de a, c'est l'inverse de -7 est a × a-1 = a × 1 an an × a-n 1 = 1 a = an × 3² × 3-2 = 3² × 1 1 car a × = 1 a a 1 1 -7x1 -7 car -7 × = = = 1 -7 -7 -7 7 a1 = a 31 = 3 a0 = 1 30 = 1 3 et 3-1 3 × 1 = 1 3 1 = 1 an 1 1 = 9 × = 1 3² 9 a b a b L'inverse de , c'est car × = 1 b a b a 2 3 2 3 2x3 6 l'inverse de , c'est car × = = =1 3 2 3 2 3x2 6 Quotient de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire an × am = an+m 3² 3×3 3×3 9 an = an-m am 35 = 35-2 = 33 = 3×3×3 = 27 32 a c a d : = × b d b c 4 3 4 4 4 x 4 16 : = × = = 7 4 7 3 7 x 3 21 Calculer un quotient en simplifiant: 5 4 5x4 5x2x2 × = = = 6 7 6x7 2x3x7 32+3 35 3×3×3×3×3 243 243 Puissances de 10: a est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. b 3 est irréductible car PGCD ( 3 ; 4 ) = 1 4 Simplifier: = = = = = 35 3x3x3x3x3 = = 3×3×3 = 33 = 35 -2 = 27 32 3x3 5 x 2 x 2 10 = 2 x 3 x 7 21 Fractions irréductibles: Une fraction × 33 × 3×3×3 × 3×3×3 × 27 243 60 5 x 3 x 4 4 4 = = PGCD ( 4 ; 3 ) = 1 donc est irréductible. 45 5 x 3 x 3 3 3 10n = 10×10×10× ..... ×10 n fois = 1000....0 105 = 100 000 n chiffres 0 L' i n v e r s e d e 1 0 n c ' e s t 1 0 - n e t 1 0 - n = 1 = 0,0000...1 10n 1 = 0,00001 105 n décimales Nombres relatifs: 101 = 10 100 = 1 Un nombre relatif est un nombre positif ( + 6 ) ou négatif ( - 6 ). 10m × 10n = 10m+n 103 × 104 = 103+4 = 107 10-6 × 104 = 10-6+4 = 10-2 10m = 10m-n 10n 105 103 A = 105-3 = 10² -5 -4 -3 B O -2 -1 0 1 2 3 4 10-5 = 10-5-8 = 10-13 108 abscisses négatives (105)2 = 105×2 = 1010 (10m )n = 10m×n Distance à zéro: (103)-4 = 103×(-4) = 10-12 abscisses positives du nombre + 2 est la longueur du segment [OB], c'est-à-dire 2 du nombre - 3 est la longueur du segment [OA], c'est-à-dire 3 Nombres relatifs opposés: même distance à 0 et signes contraires + 4 et - 4 Racine carrée d'un nombre positif: a nombre positif, la racine carrée de a est le nombre ≥0do n tl ec a r r ée s ta .Onno t ea a ≥0 ( a )² = a 2 de deux nombres positifs: 9 3 3 9 3 = car 2 = 4 et 2 ≥ 0 4 2 16 = 4 car 4² = 16 et 4 ≥0 Comparaison: de deux nombres de signes opposés: de deux nombres négatifs: Équations de la forme x² = a a ≥0 Si a > 0 Si a = 0 x² = a l'équation a deux solutions: a et – a x² = 5 l'équation a deux solutions: 5 et – 5 x² = 0 l'équation a une seule solution: 0 Attention: le carré d'un nombre est toujours positif: x² = –16 est impossible. Opérations Multiplication: a ≥0e tb≥0a l or s a× b = ab 9× 4= 9x4 = Division: a ≥0e tb>0a l o r s a = b a b 9 = 4 9 3 = 4 2 36 car 3 × 2 = 6 le plus petit a la plus petite distance à 0 2<3 le plus petit est toujours le nombre négatif -2<3 le plus petit a la plus grande distance à 0 - 3<-2 Pour suppri mer des parent hèses: Opérations sur les nombres relatifs. Addition: a, b, c et d distances à 0 + + c + 6 - d - 3 + a + 5 + (a+c) + (5+6) = +11 a + ( + b ) = a + b 3 +(+5)=3+5=8 a –( + b ) = a –b 3 - ( +5 ) = 3 –5 = - 2 a + ( - b ) = a –b 3 +(-5)= 3-5=-2 a - ( - b ) = a + b 3 - ( -5 ) = 3 + 5 = -+8 - b - 7 + ( c –b ) s i c>b - (b-c) si b>c - (7-6) = -1 + (a-d) si a>d - (b+d) + (5-3) = +2 -(7+3) = - 10 - (d-a) si d>a - - - + P r o d u i t d e n o mb r e s r e l a t i f s : Multiplication Soustraction: a, b, c et d distances à 0 + + + ou divi sion Règle des signes (astuce mnémotechnique) - + c + 6 - d - 3 × + a + 5 - b - 7 - (c-a) si c>a + (a+d) - ( 6 –5 ) = - 1 + ( 5 + 3 ) = + 8 + (a-c) si a>c - (b+c) - (7 + 6) = 13 - (b-d) si b>d - (7-3) = -4 + (d-b) si b>d + ami +4 – ennemi –3 Pour calculer une expression: on regroupe les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux on ajoute les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux on calcule la somme des deux termes restants -12,5 + 3 –14 –0,5 + 15 3 + 15 –12,5 –14 –0,5 18 –27 –9 + – ami +4 ennemi –3 + Le s a m i s d e m e s ami s sont mes amis. (+4)×(+4) = +16 – Le s a m i s d e m e s ennemi s sont mes ennemi s. ( + 4 ) × ( –3 ) = –1 2 – Les ennemi s de mes am is sont mes ennemis. ( –3 ) × ( + 4 ) = –1 2 + Les ennemi s de mes ennemi s sont mes amis. ( –3 ) × ( –3 ) = + 9 Produits de p lusi eurs nombres relatifs: App liquer la règle des signes par deux nombres à la fois: a + x = b 8 + x = –6 a l o r s a –a + x = b –a a l o r s 8 –8 + x = –6 –8 kx = a alors kx a = k k 3x -12 alors = 3 3 (-4) × (+5) × (-2) × (-3) = (-20) × (+6) 3 x = –1 2 = a l o r s x = b –a a l o r s x = –1 4 alors x = a k a l o r s x = –4 - 120 (Astuce: - compter le nombre de bâtons des signes: - + - - soit 5 bâtons. redessiner les signes sans dépasser le nombre de bâtons: + + l e s i g n e d e l ' o p é r a t i o n e s t l e d e r n i e r s i g n e d e s s i n é , s o i t –) . Quo tient de no mbres relatifs: +24 = –3 -8 +24 = + 3 +8 Produits en croix Si a c = alors ad = bc b d a c = b d 2 4 = alors 2×6 = 3×4 = 12 3 6 mêmes règles que le produit -24 = –3 +8 -24 = + -8 Exemple: 4 6 20 10 = alors 6x = 4×5 = 20 alors x = = x 5 6 3 É c r i t u r e s c i e n t i f i q u e d ' u n n o m b r e r e la t i f : Sous la forme a × 10n avec a nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule et n un entier relatif x 5 20 = alors 9x = 4×5 = 20 alors x = 4 9 9 Repérage dans le plan: Si A = 4 655,76 × 10-7 alors A = 4,65576 × 103 × 10-7 = 4,65576 × 103+(- 7) = 4,65576 × 10-4 Le p oint A a pour abscisse +3 et pour ordonnée +2 . A a pour coordonnées (+3;+2). Encadrement par des puissances de 10: +3 x = a × 10n avec a en éc rit ure scientifique 10n < x < 10n+1 x = 56,34 × 104 x = 5,634 × 105 105 < 5,634 × 105 < 106 Ord re de grandeu r: Le p oint B a pour abscisse -3 et pour ordonnée -1 . B a pour coordonnées (-3;-1). x = a × 10n ord re d e grandeur c'est b × 10n, avec b arrondi à l'unité de a x = 56,34 × 104 x = 5,634 × 105 ordre de grandeur: 6 × 105 +1 -3 É gali tés et opérations : S i a = x a l o r s a –x = 0 S i a –x = 0 a l o r s a = x S i 3 = x a l o r s 3 –x = 3 –3 = 0 S i 4 –x = 0 a l o r s x = 4 Si a = x, alors a + c = x + c S i a = x , a l o r s a –c = x –c Si 3 = x alors 3 + 5 = x + 5 S i 4 = x a l o r s 4 –7 = x –7 Si a = x, alors a×k = x×k Si 3 = x alors 3×5 = x×5 ou 15 = 5x 4 x Si 4 = x alors 4:9 = x:9 ou = 9 9 Si a = x, alors a:k = x:k Résoudre une équation: A +2 B -2 -1 o +1 +2 +3 - 1axe des abscisses -2 axe des ordonnées - 3- C Le point C a pour absci sse +3 et pour ordonnée -3 . C a pour coordonnées (+3;-3). 3×x = 3x 3×(x+2) = 3(x+2) –1 × 4 = –4 –1 × ( x + 3 ) = –( x + 3 ) Expressions littérales (des nombres sont désignés par des lettres): - Développer (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd k×(a+b)=k×a+k×b (4+5)(2+3) = 4×2 + 4×3 + 5×2 + 5×3 9 5 × ( x + 2 ) = 5 × x + 5 × 2 = 5x + 10 × 5 = 45 autres exemples: (2 x+3)(x+4 ) k × ( a –b ) = k × a –k × b 8 = + 12 + 10 + 15 45 = 2x×x + 2x×4 + 3×x + 3×4 = 2x² + 8x + 3x + 12 = 2x² + 11x + 12 6 × ( y –3 ) = 6 × y –6 × 3 = 6y - 18 (3 x-4)(-x+2) - Factoriser = 3 x × ( - x ) + 3 x × 2 - 4 ( - x ) –4 × 2 = - 3 x ² + 6 x + 4 x –8 = - 3 x ² + 1 0 x –8 Développement: k×a+k×b=k×(a+b) 5x + 10 = 5 × x + 5 × 2 = 5 × ( x + 2 ) Développer un produit, c'est l'écrire sous forme d'une somme (ou d'une différence): k (a + b) = k a + k b 5 (x + 2) = 5x + 10 k×a-k×b=k×(a-b) 6y –18 = 6 × y –6 × 3 = 6 × ( y –3 ) k (a –b) = k a –k b 5 (x –2) = 5x –10 (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (x + 3) (x +5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15 (a –b)² = a² –2ab + b² (x –3)² = x² - 6x + 9 (a + b) (a –b) = a² - b² (x + 3) (x –3) = x² - 9 Identités remarquables: (a + b)² = a² + 2ab + b² (x + 3)² = x² + 6x + 9 Factorisation: Notations: Factoriser une somme (ou une différence), c'est l'écrire sous forme d'un produit. a×x =ax 2×x = 2x k a + k b = k (a + b) (x + 2) (3x –1) + 3 (x + 2) = (x + 2) (3x –1 + 3) = (x + 2) (3x + 2) b×(x+c)= b(x+c) 4 × ( x + 2 ) = 4 ( x + 2) k a –k b = k (a –b) (x + 2) (3x –1) –3 (x + 2) = (x + 2) (3x –1 –3) = (x + 2) (3x –4) Identités remarquables: Égalité: a² + 2ab + b² = (a + b)² x² + 6x + 9 = x² + 2 × 3 × x + 3² = (x + 3)² a² –2ab + b² = (a –b)² x² - 6x + 9 = x² - 2 × 3 × x + (-3)² = (x –3)² a² - b² = (a + b) (a –b) x² - 9 = x² - 3² = (x - 3) (x + 3) Une égalité est constituée de deux nombres séparées par le signe = 3x+2x =5x Équation du premier degré à une inconnue: Écriture littérale: a×x = ax a×(x+b) = a(x+b) –1 × x = –x –1 × ( x + b ) = –( x + b ) Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c'est résoudre l'équation sous la forme ax=b 3x + 2 = x –1 3x –x + 2 –2 = x –x –1 –2 3 x= – 2 2x = - 3 diviseurs de 8: 1, 2, 4 et 8 diviseurs de 12: 1, 2, 3, 4, 6 et 12 diviseurs communs à 8 et 12: 1, 2 et 4 Equation de la forme (ax + b) (cx + d) = 0 L'un au moins des facteurs du produit est nul. les solutions sont tels que ax + b = 0 et cx + d = 0 5 3x + 5 = 0 donc x = – 3 (3x + 5) (x –8) = 0 x –8 = 0 et donc x = 8 PGCD (8 ; 12) = 4 Si PGCD (a ; b) = 1, alors a et b sont premiers entre eux. 2 et 3 sont premiers entre eux car PGCD (2 ; 3) = 1 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (8 ; 12) = 4 1 Algorithme d'Euclide et recherche du PGCD: r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a), alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) Inéquation du premier degré à une inconnue: a ; b C'est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu. Résoudre l'inéquation, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'inégalité soit vraie. .0 2x ≤ 6 a l o r sx≤3 . . 3. . a ← b b ← r –x + 1 < 4 alors –x < 3 alors x > – 3 . .-3 . . 0. . Trou ver le reste r de la division de a par b . non Système de deux équations à deux inconnues: Il est de la forme: 3x 2x +y=2 −3 y=5 r = 0 ? oui où x et y sont les deux inconnues PGC D = b Résoudre un système: on se ramène à la résolution d'équations à une inconnue. exemple: PGCD ( 1078 ; 322 ) ? Exemple: 3x 2x +y=2 −3 y=5 y = 2 –3x 2x –3 (2 –3x) = 5 2x –6 + 9x = 5 11x = 11 x = 1 y = 2 –3×1 = 2 –3 = –1 x = 1 et y = –1 a b restes 1078 322 112 1078 = 3 × 322 + 112 étapes 322 112 98 322 = 2 × 112 + 98 112 98 14 112 = 1 × 98 + 14 98 14 0 98 = 7 × 14 + 0 Diviseurs communs à deux entiers: Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b. 2 est un diviseur commun à 8 et 12 car 8 : 2 = 4 et 12 : 2 = 6 Remarque: 1 est toujours diviseur commun à a et b. PGCD Plus Grand Commun Diviseur. On peut le noter PGCD (a ; b) PGCD ( 1078 ; 322 ) = PGCD ( 322 ; 112 ) = PGCD ( 112 ; 98 ) = PGCD ( 98 ; 14 ) = 14 6 Inégalités: a < b c ' e s t a –b < 0 a > b c ' e s t a –b > 0 c ' e s t 5 –6 , 7 < 0 c ' e s t 8 –3 > 0 5 < 6,7 8 > 3 - 1,7 < 0 5 > 0 5 4 Comparer deux fractions: On réduit au même dénominateur et on compare les numérateurs. 7 6 49 48 7 6 et on compare et > 8 7 56 56 8 7 3 2 1 Encadrement: soit x un nombre: a ≤ x< bestunencadr ement 5 ≤ 6, 5< 7 0 0 Ordre: s i a < b a lo r s a + c < b + c s i a < b a lo r s a –c < b –c 3 < 5 alors 3+4 < 5+4 3 < 5 alors 3-4 < 5-4 si a < b et k>0 alors ka < kb 3 < 5 alors 4×3 < 4×5 -10 < -6 alors 4×(-10) < 4×(-6) si a < b et k<0 alors ka > kb 3 < 5 alors -4×3 > -4×5 -10 < -6 alors -4×(-10) > -4×(-6) 1 2 (7<9) (-1<1) (12<20) (-40 > -24) 3 4 5 6 0 OUI 0 NON NON Pourc entage: Proportion d'une quantité par rapport à une autre quantité, évalu é sur 100. (-12 > -20) (40 > 24) L' é l è v e a 6 5 % d e r é u s s i t e s e n f r a n ç a i s . S u r 1 0 0 e x e r c i c e s , i l e n a r é u s s i 6 5 . In d i c e : Nombre exprimant un rapport entre deux grandeurs (ex indice des prix). P rop ortionnalité et tab leaux: Di re que l'indice en 2008, de base 100 en 1998, du prix d'un scooter est de 1 2 3 v e u t d i r e q u e s i u n s c o o t e r c o û t a i t 1 0 0 €en1998,al or si lcoû t e 1 2 3 € en 2008. Proportionnalité et tableaux: Dans un tableau, il y a situation de proportionnalité quand on passe de la 1 è r e l i g n e à la 2 è m e l i g n e e n m u l t i p l i a n t t o u j o u r s p a r l e m ê m e n o m b r e (coefficient de proportionnalité). × 4 3 7 8 12 28 32 P r i x e n 1 9 9 8 ( e n e u r o s €) 1 0 0 P r i x e n 2 0 0 8 ( e n e u r o s €) 1 2 3 123 p = 100 1260 donc p = 1260 1549,80 123 x 1260 = 1549,80 100 V i t e s s e mo y e n n e : Proportionnalité et graphiques: Dans un repère de plan: il y a proportionnalité si les points sont alignés avec l'origine du repère et inversement. v = d t vites s e moyenne = dist ance parcourue d durée t nécessai re pour parcouri r la distance v = 90 km 1 h se note v = 90 km/h ou 90 km.h-1 v = 8 m 1 s se note v = 8 m/s ou 8 m.s-1 Si les valeurs de y sont proportionnelles aux valeurs de x, alors il existe un nombre "fixe" a tel que y = ax S'il existe un nombre "fixe" a tel que y = ax, alors les valeurs de y sont proportionnelles aux valeurs de x. y = 4x 4 est un nombre "fixe" Propriété: d = v × t la distance parcouru e est égale au produit de la vitess e moyenne par la durée nécessai re pou r parcourir cett e di stance. x 0,4 3 10,5 20 × 4 y 1,6 12 42 Agrandi sse ment: 80 Un objet est un agrandiss ement d'un autre objet quand leurs longueurs s ont proportionnelles. Le coefficient d e p roportionna lité est un c oeffi cient d'agrandiss em ent. Il est strictem ent supérieu r à 1. Coef > 1 Fonctions linéaires 4 cm ex: un carré Fonction linéaire de coefficient a: 2 cm 4 cm = 2 × 2 cm a nombre "fixe", la fonction linéaire de coefficient a, c'est associer à chaque nombre x son produit ax. On dit que a x est l'image de x. coeff = 2 et 2 > 1 agrandissement Fonction linéaire de coefficient a ×a Réduction: nombre Un objet est une réduction d'un autre obj et quand leurs longueurs sont proportionnelles. Le coefficient de prop ortionnalité est un coeffi cient de r é d u c t i o n . Il e s t s t r i c t e m e n t i n f é r i e u r à 1 . C o e f < 1 image x ax on note f (x) = ax 4 cm 2 cm = 2 cm 1 × 4 cm 2 = 0,5 × 4 1 coeff = 2 Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire de coefficient a est la droite qui passe par l'origine O du repère, et par le point A de coordonnées (1 ; a ). coeff < 1 On dit que y = ax est une équation de la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient a. a est appelé le coefficient directeur de cette droite. réduction Fonctions linéaires: Proportionnalité et relation y = a x Représentation graphique d'une fonction linéaire: a < 0 y = -2x la direction "descend" 4 y de la droite vers la gauche 3 a > 0 5 y = 4x B la direction "monte" de y 1 la gauche vers la droite A 4 2 -4 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x -1 2 -2 A 1 -3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x -4 -1 -2 Fonctions affines -3 -4 a et b nombres "fixes". Une fonction affine associe à chaque nombre x le nombre ax + b On dit que ax + b est l'image de x. B -5 On dit que x → a xe s tl af o nc t i o nl i né a i r ea s sociée à la fonction affine x → a x+b Fonction affine ax + b y = 4x ×a x a = 0 y = 0 x la droite est l'axe des abscisses 3 +b ax nombre x ax + b image ax + b y on note f(x) = ax + b 2 Représentation graphique d'une fonction affine ax + b: 1 La droite d passe par B (0 ; b) et elle est parallèle à d' de la fonction affine ax -3 - 2 B- 1 0 -1 -2 -3 1 2A 3x On dit que y = ax + b est une équation de la droite d. a est le coefficient directeur de la droite d b est l'ordonnée à l'origine de la droite d. 4 a > 0 avec a = 2 y = 2x + 1 y 4 y a < 0 avec a = -2 y = -2x + 1 3 A 3 2 2 1 B 1 B -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 4x 1 2 3 4x -1 A -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 Proportionnalité des accroissements: Soit une fonction affine ax + b. Quand x varie (augmente ou diminue) d'un certain nombre h, alor s son image ax + b vari e de ah. y = 2x + 3 Si x = 1, y = 5 h = 6 alors x = 7 (= 1 + 6), y = 17 ( = 5 + 12 ) 10 = 2×6 4 y a=0 y=2 3 proportionnalité 2 B y=2 Utilisation de tableaux: 1 Méthode additive: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 + 4x -1 -2 -3 Nombre de crayons Prix de vente (en €) 10 20 25 50 -4 + 35 70 Méthode multiplicative: pourcentage × 2 Nombre de crayons Prix de vente (en €) 10 20 20 40 Nombre d'élèves du collège 60 120 100 350 24 100 × × 2 Nombre d'élèves en 6ème 24 84 ► Coe f f i c i e n tdepr o po r t i o n na l i t é : Nombre de crayons Prix de vente (en €) 10 20 1 5 2 10 50 ×2 Soit p un nombre donné. Pour calculer le p % d'un nombre, on multiplie ce nombre par Pour calculer 24 % de 350, on a 350 × 100 p 100 24 = 350 × 0,24 = 84 100 Statistiques: On peut passer d'un nombre de la première ligne au nombre correspondant de la seconde ligne en multipliant toujours par le même nombre × 2. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. échelle Longueur sur le plan (en cm) 1 × 1 200 Longueur réelle (en cm) 2 3 0,5 ×2 0 0 200 400 600 100 Lorsque les longueurs sur un plan sont proportionnelles aux longueurs réelles, on dit que le plan est à l'échelle. 1 1 cm sur le plan = 200 cm (ou 2 m), le plan est à l'échelle 200 Définitions: - L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où la valeur apparaît. - La fréquence se calcule en divisant l'effectif de cette valeur par l'effectif total. - Dans un tableau dont les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant: →l ' e f f e c t i fc umul éc r o i s s a n td' unev a l e ure s tl as o mmede l'effectif de cette valeur et des effectifs des valeurs précédentes. →l af r é que nc ec umul é ec r o i s s a n t ed' u ne valeur est la somme de la fréquence de cette valeur et des fréquences de toutes les valeurs précédentes. D ans une c lasse de 5è me de 25 élèves, les notes su r 20 sont réparties: 15-11-7-14-9-10-9-13-15-6-7-7-11-13-14-10-9-16-15-11-10-14-11-13-9 Note Effectif E ffectif cumulé croi ssant Fréqu ence Fréqu ence cumulée croissante Fréqu ence cumulée croissante en % 3 élèves ont eu la note 10 6 1 1 0,04 7 3 4 0,12 9 4 8 0,16 10 3 11 0,12 11 4 15 0,16 13 3 18 0,12 14 3 21 0,12 15 3 24 0,12 16 1 25 0,04 0,04 0,16 0,32 0,44 0,60 0,72 0,84 0,96 1 4% 16% 32% 44% 60% 72% 84% 96% 100% la f réquence des élèves ayant eu 10 est 0,12 ou 12% effectif total: 25 Moyenne: On aj oute toutes les va leurs et on divis e par l'effecti f total. J'ai obtenu 6 notes: 12 - 14,5 - 8 - 12,5 - 20 et 6,5 en interro coef 1. ma moyenne est de: 12+14,5+8+12,5+20+6,5 = 12,25 6 Moyenne pondérée: On aj oute tous les produits des va leu rs par leurs effectifs et on divi se par l'effectif total. Résultats d'une interro dans une classe de 24 élèves: Note Effectif La m o y e n n e M = 5 3 7 5 10 6 12 6 15 2 16 2 5x3+7x5+10x6+12x6+15x2+16x2 242 = = 10,08 3+5+6+6+2+2 24