Aide-mémoire en trigonométrie

Aide-mémoire
Définitions et formules utiles
Trigonométrie rectiligne
sin(θ) =
Opp
Hyp
csc(θ) =
Adj
cos(θ) =
Hyp
tan(θ) =
Hyp
Opp
Hyp
sec(θ) =
Adj
Opp
Adj
cot(θ) =
Hypothénuse
Opposé
θ
Adj
Opp
Adjacent
Relations inverses
csc(x) ≡
1
sin(x)
sec(x) ≡
1
cos(x)
cot(x) ≡
1
tan(x)
Relations quotients
tan(x) ≡
sin(x)
cos(x)
cot(x) ≡
cos(x)
sin(x)
Relations cofonctions
sin
³π
´
− t ≡ cos(t)
2
³π
´
tan
− t ≡ cot(t)
2
³π
´
sec
− t ≡ csc(t)
2
cos
³π
´
− t ≡ sin(t)
2
³π
´
cot
− t ≡ tan(t)
2
³π
´
csc
− t ≡ sec(t)
2
Relations pythagoriciennes
sin2 (t) + cos2 (t) ≡ 1
1 + tan2 (t) ≡ sec2 (t)
1 + cot2 (t) ≡ csc2 (t)
Session hiver 2 009
Pierre Lantagne
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Aide-mémoire
Définitions et formules utiles
Triangle obliquangle
(triangle acutangle ou triangle obtusangle)
Loi des sinus
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
=
=
a
b
c
b
γ
α
a
Loi des cosinus
c
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
2
2
β
2
b = a + c − 2ac cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Diverses mesures d’angles
π radians = 180◦
s = rθ
A = 12 r2 θ
s
r
(θ en radians)
θ
r
π
θ ×
= α radians
180◦
◦
α radians ×
Session hiver 2 009
180◦
= θ◦
π
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Définitions et formules utiles
Trigonométrie circulaire
Axe des sinus
1
cos(t) correspond à l’abscisse du
point P (t)
P(cos(t),sin(t))
t
O
678
sin(t) correspond à l’ordonnée du
point P (t)
123
sin(t)
1
Axe des cosinus
cos(t)
1
(t)
sec
8
4
7
4t
6
sec(t) correspond à la mesure algébrique du segment OR(t)
O
123
R(1,tan(t))
tan(t) correspond à l’ordonnée du
point R(t)
tan(t)
1
Axe des tangentes
Axe des cotangentes 1
cot(t) correspond à l’abscisse du
point S(t)
csc(t) correspond à la mesure algébrique du segment OS(t)
O
64cot(t)
748
3
4
2
(t)
csc
t4
1
S(cot(t),1)
1
Remarque : La sec(t) définie par la mesure algébrique du segment OR(t) correspond à la longueur du
segment OR(t) affectée d’un signe positif si le prolongement du segment OP (t) jusqu’à l’axe
des tangentes pour obtenir le point d’intersection R(t) s’effectue sans changement de quadrant.
Sinon, cette longueur sera affectée d’un signe négatif.
Il en est de même pour la csc(t).
Session hiver 2 009
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Définitions et formules utiles
Identités trigonométriques remarquables






Identités d’angles composés
sin(u ± v) ≡ sin(u) cos(v) ± sin(v) cos(u)
cos(u ± v) ≡ cos(u) cos(v) ∓ sin(u) sin(v)



tan(u) ± tan(v)

 tan(u ± v) ≡
1 ∓ tan(u) tan(v)


sin(u + v) + sin(u − v) ≡ 2 sin(u) cos(v)




 sin(u + v) − sin(u − v) ≡ 2 cos(u) sin(v)
Transformation des sommes en produits

cos(u + v) + cos(u − v) ≡ 2 cos(u) cos(v)





cos(u + v) − cos(u − v) ≡ −2 sin(u) sin(v)




































Identités d’angles multiples
Session hiver 2 009



































sin(2t) ≡ 2 sin(t) cos(t)
cos(2t) ≡ cos2 (t) − sin2 (t)
tan(2t) ≡
2 tan(t)
1 − tan2 (t)
1 − cos(2t)
2
1 + cos(2t)
cos2 (t) ≡
2
r
µ ¶
t
1 − cos(t)
sin
≡±
2
2
r
µ ¶
t
1 + cos(t)
cos
≡±
2
2
µ ¶
t
sin(t)
tan
≡
2
1 + cos(t)
µ ¶
t
1 − cos(t)
tan
≡
2
sin(t)
sin2 (t) ≡
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Définitions et formules utiles
Axe des sinus
Trigonométrie circulaire et triangles remarquables
π
4
1
π
3
1
2
2
1
2
π
6
π
4
3
2
2
2
(0,1)
P (cos( 23π ), sin( 23π ))
3
2
π
2
P (cos( π3 ), sin( π3 ))
2π
π
π
4
45
180°
0°
150
°
(-1,0) π
3
2
−
22
5
240 °
°
330
P (cos( 74π ), sin( 74π ))
3
4π
3
11π
6
270°
2
2
3
−
2
°
5π
−
Axe des cosinus
4
4
−1
2
(1,0)
3
2
7π
5π
6
2
2
5°
31 °
300
P (cos( 76π ), sin( 76π ))
0
1
2
°
210
7π
6
30°
−1
2
2
2
P (cos( 6π ), sin( 6π ))
π
5°
°
13
120
60°
4
1
2
°
3π
90°
5π
6
−
P (cos( 4π ), sin( 4π ))
3
3
2
2
3π
2
(0,-1)
α
0°
30°
sin(α)
0
cos(α)
1
sin(α ) = tan(α)
cos(α )
0
cos(α )
= 1 = cot(α)
sin(α ) tan(α )
1 = sec(α)
cos(α )
1 = csc(α)
sin(α )
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π
6
0
1
1
2
45°
π
4
60°
π 90°
3
π
2
180°
π
270° 3π
2
3
2
1
0
−1
3
2
1
3
1
2
1
2
1
2
0
1
0
1
3
3
1
1
3
2
2
2
2
3
2
3
2
Pierre Lantagne
0
0
0
1
−1
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Aide-mémoire
Définitions et formules utiles
Graphiques des fonctions trigonométriques
$
'
$
'
y = cos( x)
y = sin( x)
x
x
&
Dom sin = R
Ima sin = [−1, 1]
%
&
Dom cos = R
Ima cos = [−1, 1]
%
$
'
'
y = tan( x)
$
y = cot( x)
x
&
Dom tan = R\{ π2 + kπ, k ∈ Z}
Ima tan = R
x
%
&
'
Dom cot = R\{kπ, k ∈ Z}
Ima cot = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[
$
'
y = sec( x)
$
y = csc( x)
x
&
%
Dom sec = R\{ π2 + kπ, k ∈ Z}
Ima sec = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[
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x
%
&
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Dom csc = R\{kπ, k ∈ Z}
Ima csc = ] − ∞, −1] ∪ [1, ∞[
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%
Aide-mémoire
Définitions et formules utiles
Graphiques des fonctions trigonométriques réciproques
'
$
'
y = arcsin( x)
$
y = arccos( x)
x
x
&
Dom arcsin = [−1,
1] ¤
£
Ima arcsin = − π2 , π2
&
%
'
Dom arccos = [−1, 1]
Ima arccos = [0, π]
%
$
'
y = arctan( x)
$
y = arc cot( x)
x
x
&
Dom arctan = R
¤
£
Ima arctan = − π2 , π2
&
%
Dom arccot = R
Ima arccot = ]0, π[
%
'
$
'
$
y = arc csc( x)
y = arcsec( x)
x
x
&
Dom arcsec = ] − ∞,©−1]ª ∪ [1, ∞[
Ima arcsec = [0, π]\ π2
Session hiver 2 009
%
&
Pierre Lantagne
Dom arccsc = £] − ∞, −1]
¤ ∪ [1, ∞[
Ima arccsc = − π2 , π2 \{0}
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%
Aide-mémoire
Définitions et formules utiles
Domaines des fonctions trigonométriques réciproques
y
arcsin( x)
arccos( x)
arcsec( x)
arccsc( x)
arcsec( x)
arccsc( x)
arctan( x)
arccot( x)
x
Images des fonctions trigonométriques réciproques
y = arcsin(x)
h π πi
y∈ − ,
2 2
y = arccos(x)
y = arctan(x)
i π πh
y∈ − ,
2 2
y = arccot(x)
y = arcsec(x)
nπ o
y ∈ [0, π]\
2
y = arccsc(x)
h π πi
y∈ − ,
\{0}
2 2
Session hiver 2 009
y ∈ [0, π]
y ∈]0, π[
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Définitions et formules utiles
Identités des fonctions trigonométriques réciproques
sin(sin−1 (x)) ≡ x
π
π
≤x≤
2
2
pour − 1 ≤ x ≤ 1
cos−1 (cos(x)) ≡ x
cos(cos−1 (x)) ≡ x
pour 0 ≤ x ≤ π
pour − 1 ≤ x ≤ 1
sin−1 (sin(x)) ≡ x
pour −
π
π
<x<
2
2
tan(tan−1 (x)) ≡ x
pour − ∞ < x < ∞

µ ¶
1

−1

,
x > 0;
 tan
x µ ¶
cot−1 (x) ≡
1


, x < 0.
 π + tan−1
x
µ ¶
1
pour x ≤ −1 ou x ≥ 1
sec−1 (x) ≡ cos−1
x
µ ¶
−1 1
−1
csc (x) ≡ sin
pour x ≤ −1 ou x ≥ 1
x
tan−1 (tan(x)) ≡ x
Session hiver 2 009
pour −
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