NOMBRES COMPLEXES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 1 1 PRODUITS, CONJUGUÉS, MODULES ————————————– 10 Déterminer la forme algébrique et le module de : 1) (2 − i)(5 + 2i) . 3 − 4i zz ′ 6= −1 ————————————– 2 2) z+1 sur C \ 2 . 1) On note f la fonction z 7−→ z− 2 Pour quels nombres z ∈ C \ 2 a-t-on : f (z) = 1 ? a) b) Re f (z) = 0 ? 2z − i sur C \ 2i . 2) On note g la fonction z 7−→ z − 2i Pour quels nombres z ∈ C \ 2i a-t-on : a) g(z) ∈ R ? b) g(z) ∈ U ? ————————————– Montrer que pour tous u, v ∈ C : |u + v|2 + |u − v|2 = 2 |u|2 + |v|2 , 2 Étudier les variations sur R+ de la fonction x . x 7−→ 1+ x En déduire que pour tous u, v ∈ C : 2) 2 Résoudre les systèmes suivants § § d’inconnue (x, y) ∈ C : x+ y =2 x + y = 1+i 1) 2) x y = 2. x y = 13i. § § x + y = 3i x + y = 3i − 3 3) 4) x y = −1 − 3i. x y = −5i. § x + y = 3 + 4i 5) x y = 5 + 15i. 13 ————————————– 1) Déterminer une factorisation de a2 + b2 dans C pour tous a, b ∈ C. 2) Soient m, n ∈ N. Montrer que si m et n sont chacun la somme de deux carrés d’entiers, leur produit mn l’est aussi. ————————————– 3 ————————————– 1 pour tout z ∈ U \ 1 . Simplifier : Re 6 1−z ————————————– 1 + reiθ Simplifier : Re pour tous r ∈ [0, 1[ 7 1 − reiθ et θ ∈ R. 14 p Re(z) + |z| 2 1) Déterminer une forme trigonométrique des nombres p suivants : a) 1 − 2. b) −5i. p 19 1 + 2i e) − c) 2−i. d) −3+i 3 . . 3 + 4i p 1000 . 2) Déterminer la forme algébrique de 1+i 3 d’in15 1) Déterminer tous les n ∈ Nppourlesquels : n (1 + i)n ∈ R. 2) 3 + i ∈ iR. ————————————– Résoudre l’équation : Re z 3 = Im z 3 16 connue z ∈ C. Montrer que pour tout z ∈ C \ R− : z + |z| ARGUMENTS ————————————– ————————————– DU SECOND DEGRÉ ————————————– |u + v| |u| |v| ¶ + . 1 + |u + v| 1 + |u| 1 + |v| 9 ÉQUATIONS Résoudre les équations suivantes d’inconnue z ∈ C : 1) 4z 2 − 16z + 11 − 12i = 0. 2) z 2 − 5z + 4 + 10i = 0. 3) z 2 + (4 − 3i)z = 2 + 8i. 4) 2z 2 + (8 − 5i)z + (4 − 13i) = 0. 5) 6z 2 + (21 − 14i)z + (5 − 37i) = 0. 6) z 2 + 5z + 7 − i = 0. 7) z 2 − 2z cos2 ϕ + 1 = 0 (ϕ ∈ R). 12 1) ————————————– 1 =0 Résoudre l’équation : Im 2 8 z +z+1 connue z ∈ C \ j, j . Montrer que pour tous z1 , . . . , zn ∈ C∗ de même module : Déterminer tous les z ∈ C pour lesquels : z(z − 1) = z 2 z − 1 . 11 ————————————– 5 z + z′ ∈ R. 1 + zz ′ ————————————– puis interpréter géométriquement cette égalité. 4 =⇒ (z1 + z2 ) . . . (zn−1 + zn )(zn + z1 ) ∈ R. z1 . . . zn ————————————– 3 Montrer que pour tous z, z ′ ∈ U : = 2z. ————————————– 1 d’in- NOMBRES COMPLEXES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 17 Soit θ ∈ R. On pose : z = eiθ . une forme trigonométrique de 1 + z + z 2 . Déterminer 24 1) ————————————– Simplifier pour tous x, y ∈ R et n ∈ N : n n X X n cos(k x + y). 2) cos(k x). k k=0 k=0 ————————————– Soient a, b, c ∈ U. Montrer qu’alors : 18 25 |a + b + c| = |a b + bc + ca|. 1) Montrer que pour tout x ∈ R : ————————————– | sin x| ¾ 19 Montrer que pour tout θ ∈ ] − π, π[, si θ 1 + ix on pose : x = tan , alors : eiθ = , 2 1 − ix puis exprimer cos θ et sin θ en fonction de x. En déduire pour tout 2) t ∈ R une simplifi- cation de : cos 2 Arctan t et sin 2 Arctan t . Montrer que pour tout z ∈ C \ R− : 3) 1) arg(z) ≡ 2 Arctan En déduire que pour tout n ∈ N∗ : 2) n X k=1 26 Im(z) [2π]. Re(z) + |z| somme : k=0 1) Soient u, v ∈ U. Montrer que si : u + v = −1, alors : u, v = j, j . 2) Soient a, b, c ∈ U. Que peut-on dire du triangle de sommets a, b et c si : a + b + c = 0 ? ————————————– b) 28 cos3 x sin(3x) dx. π 2 COMPLEXE Résoudre les équations suivantes d’inconnue z ∈ C : a) ez = 1 + i. b) ez = −5 − 12i. 1) z −z 2) a) e + e = 1. b) ez + e−z = 2i. c) ez + 2e−z = i. ————————————– 0 29 1) Pour tout x ∈ R, exprimer cos(5x) en fonction de cos x. 2) En déduire une expression explicite de : π π π . b) cos . c) sin . a) cos2 10 5 5 ————————————– 23 EXPONENTIELLE sin4 x cos2 x dx. ————————————– 22 k=0 x sin ω . 1 − 2x cos ω + x 2 d’inconnue (x, y) ∈ R2 . 5 Z x k sin(ωk) = sin(x + y) = sin x + sin y 1) Linéariser les expressions suivantes : a) sin x cos2 (2x). b) sin3 (2x) cos(3x). 2) Calculer les intégrales suivantes : Z 2π 0 n→+∞ n X Résoudre l’équation : 27 APPLICATIONS TRIGONOMÉTRIQUES a) lim ————————————– ————————————– 21 1 n − . 2 2 sin 1 Soient ω ∈ R et x ∈ ] − 1, 1[. Simplifier la n X x k sin(ωk) pour tout n ∈ N, puis mon- trer l’égalité : 4 | sin k| ¾ ————————————– ————————————– 20 1 − cos(2x) . 2 On souhaite montrer que la fonction z 7−→ ez possède des points fixes sur C. i πh x x On note f la fonction x 7−→ e tan x − . sur 0, sin x 2 tan x sin x et lim ? 1) Que valent : lim x→0 x i h x→0 x π / f (b) = 0. Montrer que : ∃ b ∈ 0, 2 b 2) On pose : z = + ib. Montrer qu’alors : tan b z e = z. ————————————– 1) a) Résoudre l’équation : z 4 +z 3 +z 2 +z+1 = 0 d’inconnue z ∈ C. b) Soit z une solution de cette équation. On pose : 1 x = z+ . Montrer que x est solution d’une z équation simple, puis la résoudre. 2π . 2) En déduire une expression explicite de cos 5 6 30 ————————————– RACINES nÈMES z∈C: 2) Résoudre les équations suivantes d’inconnue 1) z 8 − 3z 4 + 2 = 0. 6 z − 2z 3 cos ϕ + 1 = 0 (ϕ ∈ R). ————————————– 2 NOMBRES COMPLEXES Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 31 32 Résoudre les équations suivantes d’inconnue z — où n ∈ N∗ : 1) a) (z + 2)3 = 3i. b) (z − 1)4 = 4 + 4i. c) z n +1 = 0. z+1 n = 1. 2) a) z n = z. b) z−1 ————————————– Pour tout n ∈ N∗ , X simplifier : ω. b) a) 1) ω∈Un X 2) a) (1+ω)n . Y a) 2) ω. ω∈Un b) ω∈Un X ω∈Un 37 ω=e 2iπ n et S= ωk 2 (somme de Gauss). 1) Écrire |S|2 comme une somme double, puis monn−1 n−k−1 X X 2 trer que : |S|2 = ω2pk+p . Z −→ C 2 p 7−→ ω2pk+p est n-périodique pour tout k ∈ ¹0, n − 1º. b) En déduire pour tout k ∈ ¹0, n − 1º une écrin−k−1 X 2 ture simplifiée de : ω2kp+p . 2) a) Montrer que la fonction 3) Simplifier : ω2pk k=0 4) En déduire l’égalité : pour tout p ∈ Z. |S| = p n. ————————————– 7 34 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE On note A, B et C les trois points d’affixes respectifs : a = 1 + i, b = −i et c = −1 + 2i. Que peut-on dire du triangle ABC ? ————————————– ————————————– 35 39 À quelle condition nécessaire et suffisante sur z : z et z 2 sont-ils les affixes de deux vecteurs : 1) a) colinéaires ? b) orthogonaux ? 2) 1, z et z 2 sont-ils les affixes de trois points alignés ? z et z sont-ils les affixes de deux vecteurs 3) orthogonaux ? 1 4) et z − 1 sont-ils les affixes de points z, z situés sur un même cercle de centre O ? 5) z et ses deux racines carrées formentils un triangle rectangle en z ? Soient A, B et C trois points d’affixes respectifs a, b et c. Par définition, le triangle ABC est équilatéral si les distances AB, BC et CA sont égales, mais on admettra qu’il l’est si et seulement si, par exemple, C est l’image de B par une certaine rotation de centre A et d’angle de mesure à préciser. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) ABC est un triangle équilatéral. (ii) j ou j2 est racine du polynôme aX 2 + bX +c. (iii) a2 + b2 + c 2 = a b + bc + ca. ————————————– 40 inπ e 4 . Pour tout n ∈ N, on note An le point d’affixe On définit alors une suite de points (Mn )n∈N de la façon suivante : M0 = A0 et pour tout n ∈ N, Mn+1 est le projeté orthogonal de Mn sur la droite (OAn+1 ). Déterminer l’affixe zn du point Mn pour tout n ∈ N. ————————————– 36 1) Caractériser géométriquement la similitude : ————————————– i πh fixé. Pour tout α ∈ ]0, π[, on Soit θ ∈ 0, 38 2 eiα − cos(2θ ) et on note h la fonction pose : zα = sin(2θ ) z cos θ − sin θ z 7−→ . z sin θ + cos θ 1) Décrire l’ensemble des zα , α décrivant ]0, π[. 2) Montrer que pour tout α ∈ ]0, π[ : α tan 2 h(zα ) = i . tan θ En déduire une description de l’ensemble des h(zα ), α décrivant ]0, π[. p=−k n−1 X a) Montrer, pour tout λ ∈ R∗+ \ 1 , que le lieu des points M pour lesquels : M B = λM A est un cercle dont on précisera l’affixe du centre et le rayon. b) Étudier l’allure des cercles trouvées en a) pour λ très grand (resp. proche de 0, resp. proche de 1 par valeurs inférieures, resp. proche de 1 par valeurs supérieures). 2) Déterminer l’expression complexe de la rotation π de centre 1 + i et d’angle de mesure . 4 3) On note r la rotation de centre 1 et d’angle de π mesure et s la symétrie centrale de centre 3+i. 2 Caractériser géométriquement la fonction s ◦ r. 4) On note r la rotation de centre 2 + i et d’angle π et r ′ la rotation de centre 3 − 2i de mesure 3 π et d’angle de mesure − . Caractériser géomé3 triquement la fonction r ′ ◦ r. k=0 k=0 p=−k p M B = M A 2. z 7−→ 2(1 + i)z − 7 − 4i. Soit n ∈ N IMPAIR. On pose : n−1 X b) ————————————– |ω−1|. ————————————– 33 M A = M B. On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 5. 1) Déterminer le lieu des points M pour lesquels : ————————————– 3