Interrogation orale - Logique et raisonnements Logique et raisonnements 1 Logique Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ? (i) ∃x ∈ R, (x + 1 = 0 et x + 2 = 0). (ii) (∃x ∈ R, x + 1 = 0) et (∃x ∈ R, x + 2 = 0). (iii) ∀x ∈ R, (x + 1 6= 0 ou x + 2 6= 0). Quelles sont les armations qui sont vraies ? Exercice 1 : Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ? (i) ∃x ∈ ∀y ∈ R∗ , ∀z ∈ R∗ , z − xy = 0. (ii) ∀y ∈ R∗ , ∃x ∈ R∗ , ∀z ∈ R∗ , z − xy = 0. (iii) ∀y ∈ R∗ , ∀z ∈ R∗ , ∃x ∈ R∗ , z − xy = 0. Quelles sont les armations qui sont vraies ? Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Soit f : R → R une application. Donner le sens des armations suivantes. (i) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y = f (x). (ii) ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y = f (x). Exercice 5 : Exercice 6 : Soit f : R → R une application. Écrire la négation des armations suivantes. (i) ∀x ∈ R, f (x) 6= 0. (ii) ∀M > 0, ∃A > 0, ∀x > A, f (x) > M. (iii) ∀x ∈ R, f (x) > 0 ⇒ x 6 0. Exercice 2 : R∗ , Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ? (i) ∃a ∈ R, ∀ε > 0, |a| < ε. (ii) ∀ε > 0, ∃a ∈ R, |a| < ε. Quelles sont les armations qui sont vraies ? Exercice 3 : Soit f : R → R une fonction. Exprimer avec des quanticateurs les assertions suivantes. (i) f est constante. (ii) f n'est pas constante. (iii) f s'annule sur R. (iv) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y. Exercice 7 : 2 2.1 Exercice 4 : Quelles sont les liens logiques entre les assertions suivantes ? (i) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x = y. (ii) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y. (iii) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x = y. (iv) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x = y. Quelles sont les armations qui sont vraies ? Raisonnements Généralités Exercice 8 : Soit n ∈ N un entier. Montrer que si n2 est impair, alors n est Exercice 9 : Montrer que impair. ∀n ∈ N, 1/2 n(n2 + 1) ∈ N. 2 Interrogation orale - Logique et raisonnements Exercice 10 : Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr Soit x ∈ R. Montrer que 2.3.2 Récurrence double Exercice 18 : ∀ε > 0, |x| < ε ⇒ x = 0. On pose u0 = u1 = 1 et on dénit la suite (un ) par ∀n ∈ N, 2.2 Raisonnement par l'absurde Exercice 11 : Montrer que √ Exercice 13 : 2 est un nombre irrationnel. Montrer que ln(2)/ ln(3) est un nombre irrationnel. ∀n ∈ N, Montrer que √ √ 3 6= p + q 2. Soit x ∈ R∗ tel que x + x−1 ∈ N. 1. Montrer que 1 ∈ N. xn 2. Déterminer un nombre x ∈ R \ Z tel que x + x−1 ∈ N. ∀n ∈ N, Exercice 14 : On xe un entier n ∈ et des nombres réels 0 6 x0 6 . . . 6 xn 6 1. Montrer qu'il existe des indices 0 6 i < j 6 n tels que xj − xi 6 1/n. 2.3.3 Raisonnement par récurrence Exercice 16 : Exercice 17 : Démontrer que tout entier n ∈ N∗ peut s'écrire de façon unique sous la forme n = 2p (2q + 1) où (p, q) ∈ N2 . Exercice 22 : Montrer que Démontrer que tout entier n ∈ N∗ s'écrit comme somme de puissances de 2 toutes distinctes. Exercice 23 : ∀n ∈ N \ {0, 1}, un+1 = u0 + u1 + · · · + un . Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a un = 2n−1 . Montrer que pour tout entier n ∈ N et pour tout nombre réel x > −1, on a (1 + x)n > 1 + nx. On pose u0 = 1 et on dénit la suite (un ) par ∀n ∈ N, Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , on a 2n−1 6 n! 6 nn . xn + Récurrence forte Exercice 21 : Récurrence simple Exercice 15 : un+2 = un+1 + 6un . Exercice 20 : N∗ 2.3.1 On pose u0 = 3, u1 = 4 et on dénit la suite (un ) par Montrer que pour tout n ∈ N, on a un = 2 × 3n + (−2)n . ∀(p, q) ∈ Z2 , 2.3 2 un . n+2 Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a 1 6 un 6 n2 . Exercice 19 : Exercice 12 : un+2 = un+1 + 1 1 3n 1 + 2 + ··· + 2 > . 2 n 2n + 1 2/2