MAT-350 Probabilités et statistiques Exercices résolus

Université du Québec (UQ)
École de technologie supérieure
Service des enseignements généraux
MAT-350
Probabilités et statistiques
Exercices résolus
par
El Mostapha Frih, Maître d’enseignement
Révisé en septembre 2005
Probabilités générales
Exercice 1.
Un mot est une chaîne formée de 32 bits. Combien y-a t-il de mots possibles?
Solution:
Chaque mot est une suite ordonnée de 32 bits. Pour chaque bit, il y a deux choix possibles
0 et 1. D’après le principe de multiplication, il y a 2 32 mots possibles.
Exercice 2.
Il y a trois routes différentes qui relient deux villes.
a) De combien de façons peut-on aller d’une ville à l’autre et revenir?
b) Même question mais en avec un chemin différent au retour?
Solution:
a) Il y a 3 routes possibles à l’aller et 3 au retour. Par le principe de multiplication, il y a
9 chemins possibles pour aller d’une ville à l’autre et revenir.
b) Il y a 3 routes possibles à l’aller et 2 au retour. Par le principe de multiplication, il y a
6 chemins possibles pour aller d’une ville à l’autre et revenir.
Exercice 3.
a) Combien de groupes de 3 étudiants peut-on former dans une classe de 30?
b) Combien de comités syndicaux composés d’une présidente, d’une trésorière et d’une
secrétaire peut-on former parmi 30 infirmières?
Solution:
a) Un groupe est un sous-ensemble de 3 éléments d’un ensemble à 30 éléments. Il y a
FG 30IJ = 4060 groupes possibles. (Remarque: l’ordre n’est pas important car le groupe
H3 K
A, B, C est le même que B, C, A etc.. C’est pour ça qu’on a considéré un groupe
comme un sous-ensemble).
2
b) Un comité est une suite ordonnée de 3 infirmières choisis parmi 30. Par le principe de
multiplication, il y a 30 * 29 * 28 = 24360 comités possibles. (Remarque: L’ordre est
important car le comité A, B, C n’est pas le même que B, C, A etc., à cause des rôles
différents des membres du comité. Ça revient aussi à permuter 3 éléments parmi 30).
Exercice 4.
a) Combien de mots de six lettres peut-on former avec toutes les lettres du mot maison?
b) Combien de mots de neuf lettres peut-on former avec toutes les lettres du mot
biochimie?
Solution:
a) Dans le mot maison, il y a six lettres différentes. Le nombre de mots qu’on peut
former avec ces six lettres est le nombre de permutations de 6 parmi 6 qui est
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 . On aurait pu aussi utiliser le principe de multiplication.
b) Dans le mot biochimie, il y a neuf lettres mais la lettre i est répétée trois fois. Le
nombre de permutations 9! comprend tous les mots de neuf lettres mais en
considérant toutes les lettres comme étant distinctes même les trois lettres i. Chaque
mot est donc répété 3! fois et par conséquent le nombre de mots distincts de neuf
lettres est
9!
= 60480 .
3!
Exercice 5.
Un générateur de nombres aléatoires est activé deux fois pour simuler un nombre à deux
chiffres. Tous les chiffres entre 0 et 9 a la même chance d’apparaître.
a) Décrire l’espace d’échantillonnage
b) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 22?
c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre contenant le chiffre 2?
Solution:
a) l’espace d’échantillonnage est l’ensemble de nombres ab où a et b sont des nombres
de 0 à 9. Par le principe de multiplication, il y a 102 = 100 événements élémentaires.
3
b) La probabilité d’obtenir 22 est 1
et est la même pour tous les autres nombres.
100
c) Il y’a 10 nombres qui finissent par 2 et 10 qui commencent par 2. Mais le nombre 22
doit être compté une seule fois. La probabilité d’obtenir un nombre contenant le
chiffre 2 est donc 19
100
.
On peut aussi utiliser p( A ∪ B) = p( A) + p( B) − p( A ∩ B ) où A et B sont respectivement
les événements : “Le nombre finit par 2” et “Le nombre commence par 2”. A ∩ B est
alors formé d’un seul événement élémentaire qui est le nombre 22 et donc
p ( A ∪ B ) = 10
100
+ 10
100
.
−1
= 19
100
100
Exercice 6.
Expliquez pourquoi les énoncés suivants sont faux :
a) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,7 et la
probabilité qu’il réussisse le cours de mathématiques ou d’informatique est 0,65.
b) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,8 et la
probabilité qu’il réussisse le cours de mathématiques et d’informatique est 0,82.
c) Une personne veut assister à la projection de deux films le samedi et le dimanche. La
probabilité qu’elle aimera le film du samedi est 0,4, la probabilité qu’elle aimera celui
du dimanche est 0,2 et la probabilité qu’elle aimera celui du samedi mais pas celui du
dimanche est 0,15.
Solution:
a) Notons par M l’événement : « L’étudiant réussit le cours de mathématiques » et par I
l’événement : « L’étudiant réussit le cours d’informatique ». On ne peut pas avoir
p( M ) = 0.7 et p( M ∪ I ) = 0.65 . La raison est que M ⊂ M ∪ I et par conséquent
p( M ) ne peut pas dépasser p( M ∪ I )
b) Avec les mêmes notations que a), on ne peut pas avoir
p( M ) = 0.8 et
p( M ∩ I ) = 0.82 . La raison est que M ∩ I ⊂ M et par conséquent p( M ∩ I ) ne peut
pas dépasser p( M ) .
4
c) Notons par S l’événement: “La personne aimera le film du samedi” et par D
l’événement :“La personne aimera le film du dimanche”. Si p( S ) = 0, 4 , p( D) = 0, 2
et
p( S ∩ Dc ) = 0,15 , de la formule p ( S ∩ D c ) = p( S ) − p ( S ∩ D) , on déduit
p( S ∩ D) = 0, 25 . Ceci est impossible car S ∩ D ⊂ D et donc p( S ∩ D) ne peut pas
dépasser p( D) .
Exercice 7.
La probabilité qu’une secrétaire fasse au plus trois erreurs par page est 0,5 et la probabilité
de faire de 4 à 8 erreurs est 0,3. Quelle est la probabilité que la secrétaire fasse
a) au moins 4 erreurs par page?
b) au plus 8 erreurs par page?
Solution:
Notons par A l’événement : “La secrétaire fait au plus 3 erreurs par page”, B l’événement:
“La secrétaire fait 4 à 8 erreurs par page” et par C l’événement: “La secrétaire fait plus de
8 erreurs par page”. On a p( A) = 0,5, p( B) = 0,3 et p(C ) = 0,2 . Remarquez que A, B et
C sont incompatibles deux à deux.
a) p( B ∪ C ) = p( A) + p(C ) = 0,5 .
b) p( A ∪ B) = p( A) + p( B ) = 0,8
Exercice 8.
Une boite contient 24 ampoules dont deux sont défectueuses. Si on tire deux ampoules
sans remise, quelle est la probabilité
a) qu’aucune ne soit défectueuse?
b) qu’une seule soit défectueuse?
c) que les deux soient défectueuses?
Solution:
Un événement élémentaire est une suite ordonnée de deux ampoules. Il y a donc
24*23=552 événements élémentaires.
5
a) Soit A l’événement :“Aucune des ampoules tirées n'est défectueuse”. A est formé de
22 * 21 = 462 événements élémentaires et on a p( A) = 462 552 = 77 92 .
b) Soit B l’événement :“Une seule des ampoules tirées est défectueuse”. B est formé de
2 * 22 + 22 * 2 = 88 événements élémentaires et on a p( B) = 88 552 = 11 69 .
c) Soit C l’événement :“Les deux ampoules tirées sont défectueuses”. C est formé de
2 * 1 = 2 événements élémentaires et on a p(C ) = 2 552 = 1 276 .
Remarque: on a 77 92 + 11 69 + 1 276 = 1 . Les événements A, B et C Sont incompatibles et
leur union est égale à l’espace d’échantillonnage. La somme de leurs probabilités est 1.
Exercice 9.
a) Quelle est intuitivement la probabilité qu’un nombre naturel choisi au hasard soit un
multiple de 3?
b) Soit pn la probabilité qu’un naturel choisi au hasard parmi les nombres 1 à n soit un
multiple de 3. Donnez une formule de pn et montrez que pn tend vers 1/3 quand n
tend vers l’infini.
Solution:
a) Comme il y a un nombre naturel sur 3 qui est divisible par 3, intuitivement la
probabilité qu’un nombre naturel choisi au hasard soit un multiple de 3 est 1 .
3
[ 3 ]= la partie entière de
b) Le nombre de multiples de 3 parmi les nombres de 1 à n est n
n
3
et
donc
pn =
[n 3 ] .
n
On
sait
que
[n 3 ] ≤ n 3 < [n 3 ]+ 1et
par
suite
n
n
3 ≤ 1 < 3 + 1 . On a donc p ≤ 1 < p + 1 . En notant par p la probabilité
n
n
3
n
3
n
n
n
qu’un nombre naturel choisi au hasard soit divisible par 3 en passant à la limite dans
1
l’inégalité précédente, on obtient p ≤ 1 ≤ p et par conséquent p = .
3
3
6
Exercice 10.
Une urne contient 10 boules blanches, 6 boules noires et 9 boules rouges. On tire au
hasard et sans remise k boules ( k ≤ 25 ) de l’urne. Quelle est la probabilité que la k ème
boule tirée est blanche si
a) k = 2 ?
b) k = 3 ?
c) k quelconque?
Solution:
a) Le nombre d’événements élémentaires est le nombre de tirages possibles qui est
25* 24 = 600 . L’événement A: “La deuxième boule tirée est blanche" est constitué
des événements élémentaires suivants :
(b,b) au nombre de 10*9=90
(n,b) au nombre de 6*10=60
(r,b) au nombre de 9*10=90
On a donc p( A) =
90 + 60 + 90 2
=
600
5
b) Le nombre d’événements élémentaires est 25 * 24 * 23 = 13800 . Soit B L’événement :
“La troisième boule tirée est blanche”. Nous pouvons compter le nombre
d’événements élémentaires qui forment B comme dans a). Cependant, nous allons
utiliser une méthode plus simple et qui servira à résoudre la question suivante. Il y a
10 choix possibles pour la troisième boule et pour les deux autres, il y a autant de
choix que de permutations de 2 parmi 24. B est donc formé de
événements élémentaires et par suite p( B) =
24 !
* 10 = 5520
22 !
5520 2
= .
13800 5
c) Le nombre d’événements élémentaires est le nombre de permutations de k objets
parmi 25 qui est 25!
(25 − k )!
. Soit
C
L’événement: “La k ème boule tirée est
blanche”. Il y a 10 choix possibles pour la k ème boule et pour les (k-1) autres, il y a
autant de choix que de permutations de
10* 24!
(24 − (k − 1))!
= 10* 24
(25 − k )!
7
k-1 parmi 24. C est donc formé de
. On a alors
10* 24!
(25 − k )! 10* 24! 10 2
=
=
=
p (C ) =
25!
25!
25 5
(25 − k )!
Remarquez que c’est la même probabilité pour toute valeur de k.
Exercice 11.
La probabilité qu’un autobus parte à temps est 0,85, la probabilité qu’il parte à temps et
arrive à temps est 0,75 et la probabilité qu’il arrive à temps est 0,78. Quelle est la
probabilité que
a) l’autobus arrive à temps s’il part à temps?
b) l’autobus ne parte pas à temps et arrive à temps?
Solution:
Soient T l’événement : “L’autobus part à temps” et A: l’événement : “L’autobus arrive à
temps”. On a p(T ) = 0,85 , p(T ∩ A) = 0,75 et p( A) = 0,78 .
p( A ∩ T ) 15
= 17
p( T )
b) p(T c ∩ A) = p( A) − p( A ∩ T ) = 0,03
a) p( A / T ) =
Exercice 12.
Montrez que si A et B sont indépendants alors A et B c sont indépendants et Ac et B c le
sont aussi.
Solution:
Montrons que si A et B sont indépendants, alors A et B c sont indépendants.
On sait que p( A ∩ B c ) = p( A) − p( A ∩ B ) Comme A et B sont indépendants, on a
p( A ∩ B c ) = p( A) − p( A) p( B) = p( A)(1 − p( B)) = p( A) p( B c ) et donc A et B c sont
indépendants.
Montrons que si A et B sont indépendants, alors A c et B c sont indépendants.
p( Ac ∩ B c ) = p(( A ∪ B) c ) = 1 − p( A ∪ B) = 1 − p( A) − p( B) + p( A ∩ B) et comme A et B
sont indépendants, on a
p( Ac ∩ B c ) = 1 − p( A) − p( B ) + p( A) p( B ) = (1 − p( A))(1 − p( B)) = p( Ac ) p( B c ) .
8
Exercice 13.
La probabilité de survivre à une transplantation d’un organe est 60%. Si un patient survit à
l’opération, son corps rejettera cet organe avec une probabilité de 15%. Quelle est la
probabilité que le patient passe les deux étapes avec succès?
Solution:
Soient S l`événement “Le patient survit à la transplantation d’organe” et R: l’événement
“Le corps rejette l’organe”. On
p( S ) = 0,6
et
p( R / S ) = 0,15 . On a alors
p( S ∩ R c ) = p( R c / S ) p( S ) = (1 − p( R / S )) p( S ) = 0,85 * 0,6 = 0,51
Exercice 14.
Dans un labyrinthe en T, une souris reçoit de la nourriture si elle tourne à droite et un choc
électrique si elle tourne à gauche. Si la souris a eu de la nourriture au premier essai, il y’a
75% de chance qu’elle ira à droite au deuxième essai, et si elle a reçu un choc au premier
essai, il y'a 85% de chances qu’elle ira à droite au deuxième essai. On suppose qu’au
premier essai, la souris a autant de chances de tourner à droite qu’à gauche. Quelle est la
probabilité que la souris tourne à droite au deuxième essai?
Solution:
Notons par Di l’événement : « La souris tourne à droite au i ème essai ». On a p( D1 ) = 1 ,
2
c
p( D2 / D1 ) = 0,75 et p( D2 / D1 ) = 0,85 . On veut calculer p( D2 ) .
c
c
c
p( D2 ) = p( D2 ∩ D1 ) + p( D2 ∩ D1 ) = p( D2 / D1 ) p( D1 ) + p( D2 / D1 ) p( D1 ) = 0,8 .
Exercice 15.
Deux composantes sont disposées en parallèle. La fiabilité de la composante principale est
95%, celle de la composante de rechange 80% et celle du système 99%. Quelle est la
probabilité que
a) les deux composantes soient opérationnelles?
b) la composante principale ne fonctionne et celle de rechange fonctionne ?
c) la composante de rechange fonctionne sachant que la principale ne fonctionne pas?
d) Les deux composantes fonctionnent-elles de façon indépendante?
9
Solution:
Notons par A l’événement : “La composante principale fonctionne” et B: l’événement :
“La composante de rechange fonctionne”. On a
p( A) = 0,95 , p( B) = 0,80 et
p( A ∪ B) = 0,99
a) De la formule p( A ∪ B) = p ( A) + p( B) − p( A ∩ B) , on déduit p( A ∩ B ) = 0,76 .
b)
p( Ac ∩ B) = p( B) − p( A ∩ B) = 0, 04
c)
p( B / Ac ) =
p( Ac ∩ B) 0,04
=
= 0,8
0,05
p( Ac )
d) A et B sont indépendants car p( A) p ( B) = 0,95*0,80 = 0,76 et donc égal à
p( A ∩ B) . On peut aussi montrer que p ( B / A) = 0,8 et donc égale à p( B) .
Exercice 16.
La probabilité qu’une unité de sang provienne d’un donneur rémunéré est de 0.7. Si le
donneur a été rémunéré, la probabilité de contracter l’hépatite de cette unité est 0.01. Si le
donneur n’a pas été rémunéré, cette probabilité tombe à 0,001. Un patient a reçu une
unité de sang.
a) Quelle est la probabilité que le patient contracte l’hépatite?
b) Si le patient a contracté l’hépatite, quelle est la probabilité que cette unité provienne
d’un donneur rémunéré?
Solution:
Notons par R: l’événement : “L’unité provient d’un donneur rémunéré” et par H
l’événement: “Le patient contracte l’hépatite”. On a p ( R ) = 0, 7 , p( H / R ) = 0,01 et
p( H / R c ) = 0,001.
a)
p( H ) = p ( H ∩ R) + p( H ∩ R c ) = p( H / R) p ( R) + p( H / R c ) p( R c ) = 0.0073
b) p( R / H ) =
p( R ∩ H ) p ( H / R) p ( R)
=
= 0,9589
p( H )
p( H )
10
Exercice 17.
Le quart d’une population est vaccinée contre une maladie. Lors d’une épidémie, il s’est
avéré qu’un malade sur 5 était vacciné.
a) Ce vaccin a-t-il un effet? justifiez
b) Donnez la relation entre la probabilité d’être malade sachant qu’on est vacciné et la
probabilité d’être malade ?
c) De plus, on a constaté un malade sur 10 parmi les vaccinés. Quelle était la probabilité
d’être malade pour une personne qui n’a pas été vaccinée?
Solution:
Notons par M l’événement :“La personne est malade” et par V l’événement : “La
personne est vaccinée”. On a p(V ) = 1 et p(V / M ) = 1 .
4
5
a) Comme p (V / M ) et p (V ) sont différents, les événements V et M ne sont pas
indépendants et par conséquent le vaccin a un effet. Comme il y a 25% de vaccinés
parmi la population mais seulement 20% de vaccinés parmi les malades, on peut
affirmer que le vaccin a un effet positif.
p ( M ∩ V ) p(V / M ) p ( M ) 4
=
= p ( M ) . Le vaccin a une certaine efficacité
p (V )
p (V )
5
car p( M / V ) < p( M ) .
1
c) On veut calculer p( M / V c ) . En utilisant la question b) et p( M / V ) =
, on obtient
10
1
p( M ) = . On sait de plus que
8
1 3
p ( M ) = P ( M ∩ V ) + p( M ∩ V c ) = p ( M / V ) p (V ) + p ( M / V c ) p(V c ) =
+ p( M / V c )
40 4
1 1 3
2
c
c
De l’équation
.
=
+ p ( M / V ) , on obtient p( M / V ) =
8 40 4
15
b) p ( M / V ) =
Exercice 18.
Un émetteur envoie des messages en binaire. Chaque bit (0 ou 1) transmis doit passer par
trois relais. À chaque relais, il y a 10% de chances que le bit transmis soit différent de
celui reçu. On suppose que les relais opèrent de façon indépendante.
11
a) Si un 0 est envoyé par l’émetteur, quelle est la probabilité qu’un 0 soit transmis par
chaque relais?
b) Si un 0 est envoyé par l’émetteur, quelle est la probabilité qu’un 0 soit reçu par le
récepteur?
c) 60% des bits émis par l’émetteur sont des 0. Si un 0 et reçu par le récepteur, quelle est
la probabilité qu’un 0 a été émis par l”émetteur?
Solution:
Soient A l’événement : « un 0 est transmis par l’émetteur », B l’événement : « un 0 est
reçu par le récepteur » et par Ri : « un 0 est transmis par le relais numéro i ».
a) Comme les relais opèrent de façon indépendante, la probabilité cherchée est
p ( R1 ∩ R2 ∩ R3 / A) = 0,93 = 0, 729 .
b) On veut calculer p ( B / A) . Si un 0 est transmis par l’émetteur, il y a 8 possibilités
(faites un arbre) dont 4 transmettent un 0 au récepteur. La probabilité cherchée est
p ( B / A) = 0, 93 + 3* 0,12 *0, 9 = 0, 756 .
c) On veut calculer p ( A / B ) . On utilise les formule p ( A / B) =
P ( A ∩ B ) p( B / A) p( A)
=
p( B)
p( B )
où p ( B) = p ( B ∩ A) + p ( B ∩ Ac ) = p( B / A) p ( A) + p( B / Ac ) p( Ac ) .
On sait que p ( A) = 0, 6 et p ( B / A) = 0, 756 . La probabilité qu’un 1 soit reçu par le
récepteur si un 1 a été transmis par l’émetteur est la même qu’en b) et ceci par symétrie
et donc p ( B c / Ac ) = 0, 756 et par suite p ( B / Ac ) = 1 − 0, 756 = 0, 244 . Avec toutes ces
données on trouve p( B ) = 0.5512 et par suite p ( A / B ) = 0,8229 .
12
Variables aléatoires
Exercice 1.
Lorsqu’on pose aux gens une question sensible (comme par exemple: avez-vous déjà
conduit en état d’ébriété), on n’a pas souvent des réponses franches. Supposons que la
vraie proportion des gens qui ont conduit en état d’ébriété est p. On aimerait avoir une
estimation de p. Une méthode consiste à demander à chaque individu sondé de lancer une
pièce de monnaie et ne pas divulguer le résultat au sondeur. Si le lancer donne face,
l’individu répondra toujours oui à cette question sensible. Si le lancer donne
pile,
l’individu répondra honnêtement à la question. Comme le sondeur ne connaît le résultat
du lancer, il ne peut pas savoir si un individu ayant répondu oui a vraiment conduit en état
d’ébriété.
a)
Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard réponde oui à la question?
b) Soit X la variable aléatoire : Nombre de personnes ayant répondu oui parmi n
personnes. Donnez la loi de probabilité de X, son espérance et sa variance.
c)
Une estimation p̂ de p est obtenue en égalisant l’expression de E ( X ) dans laquelle
p a été remplacé par p̂ avec la valeur de X observée dans un échantillon de taille n.
La valeur de p̂ changera d’un échantillon à un autre. C’est donc une variable
aléatoire qu’on appellera un estimateur. Quelle est l’espérance et la variance de p̂ .
d) Si parmi 180 personnes sondées, 120 ont répondu oui à la question, quelle serait une
estimation p̂ de p.
Solution:
a) Notons par A l’événement: “ La personne répond oui à la question” et par B
l’événement: “Le lancer donne face”. On a
p( A) = p( A ∩ B ) + p( A ∩ B c ) = p( A / B) p( B ) + p( A / B c ) p( B c )
p( A) = 1 * 1 2 + p * 1 2 =
p +1
.
2
13
et
par
suite
b) X suit une loi binomiale de paramètres n et
var( X ) =
n( p + 1)
p + 1 n(1 − p 2 )
.
(1 −
)=
2
2
4
c) L’estimateur p̂ est défini par
E ( pˆ ) =
n( p + 1)
p +1
et par suite E ( X ) =
et
2
2
(2n
d) En utilisant
n( p + 1)
2X
= X . on a donc p =
− 1 et par suite,
2
n
p +1
)
2
2 − 1 = p et var( pˆ ) = 4 var( X ) = 4 1 n(1 − p 2 ) = 1 − p
n
n
n2
n2 4
n( p + 1)
1
= X avec X = 120 et n = 180 , on obtient p = .
2
3
Exercice 2.
Le coût des équipements de maintenance représente une part importante du budget d’une
entreprise. Lors d’une panne, le représentant charge des frais fixes de 50 $ par mois et
120 $ pour ajuster le système. Le système doit être ajusté en moyenne 5 fois par mois
avec un écart type de 2.
a) Donnez l’espérance et l’écart type du coût mensuel de maintenance
b) Dans quel intervalle se situe le budget mensuel de maintenance dans au moins 75% du
temps ?
Solution:
Notons par X la variable aléatoire: Nombre mensuel de pannes du système et Y
la
variable aléatoire: coût mensuel de maintenance.
a) De
la
relation
Y = 120 X + 50 ,
on
a
E (Y ) = 120 E ( X ) + 50 = 650
et
σ (Y ) = 120σ ( X ) = 240 .
b) Comme on ne connaît pas la distribution de la variable Y, on utilise l’inégalité de
Chebyshev P ( E (Y ) − kσ (Y ) ≤ Y ≤ E (Y ) + kσ (Y )) ≥ 1 −
1
1
. Pour avoir1 − 2 = 75% ,
2
k
k
on prend k = 2 . Par suite le budget mensuel se situe entre 650 − 2 * 240 = 170 et.
650 + 2 * 240 = 1130 .
14
Exercice 3.
Un distributeur de produits alimentaires affirme que 90% de ses contenants de 100
grammes de noix contiennent au moins 3 pacanes. Un service de protection du
consommateur décide de tester 8 contenants d’une large production et de rejeter
l’affirmation du distributeur si 2 contenants ou plus contiennent moins de 3 pacanes.
Quelle est la probabilité de
a) rejeter l’affirmation malgré son exactitude ?
b) ne pas rejeter l’affirmation alors qu’en réalité seulement 85% des contenants
contiennent au moins 3 pacanes?
Solution:
Soit X la variable aléatoire: nombre de contenants parmi 8 et qui contiennent moins de 3
pacanes..
a) Si l’affirmation est vraie, X ≈ B (8,10%) . On rejettera l’affirmation du distributeur si
X ≥ 2 . La probabilité de rejet est donc P ( X ≥ 2) = 18, 69% .
b) X ≈ B(8,15%) . La probabilité de ne pas rejeter le lot est p( X ≤ 1) = 65, 72% .
Exercice 4.
Un fermier a besoin de 10 plantes exotiques d’une certaine grosseur pour participer à un
concours. Il sait par expérience que 30 % des plants lui fourniront la grosseur voulue.
Quel est le nombre minimal de plants nécessaires pour participer au concours avec une
probabilité de 90%?
Solution
Notons par X le nombre de plants ayant la grosseur voulue parmi les n qu’il aura planté. X
suit une loi binomiale de paramètres n et p = 30% . On veut chercher n pour que
p( X ≥ 10) = 90% . En utilisant la calculatrice , on obtient n = 45 .
Exercice 5.
Dans un contrôle de qualité, 2 batteries sont choisies parmi un lot de 12 et le lot passe le
contrôle si toutes les deux sont bonnes; sinon le lot est contrôlé en entier.
15
Quelle est la probabilité que le lot
a) passe l’inspection si le lot contient une seule batterie défectueuse?
b) ne passe pas le contrôle si le lot contient trois batteries défectueuses?
Solution:
Notons par X la variable aléatoire: nombre de batteries défectueuses dans le lot.
a) Si une seule batterie est défectueuse dans le lot, la probabilité que le lot passe le
1 11
0 2
5
contrôle est p( X = 0) =
=
12
6
2
b) Si trois batteries sont défectueuses dans le lot, la probabilité que le lot ne passe pas le
 3  9 
  
 0  2  5
contrôle est p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0) = 1 −
=
11
12 
 
2 
FG IJ FG IJ
H KH K
FG IJ
H K
Exercice 6.
Il a été observé que 90% des copies d’un logiciel fonctionnent correctement au moment
de l’installation.
a) Quelle est la probabilité qu’au moins 9 des 10 copies vendues dans un mois
fonctionnent correctement a l’installation?
b) Si 10 copies sont vendues chaque mois de l’année, quelle est la probabilité qu’au
moins 9 fonctionnent correctement à l’installation chaque mois de l’année ?
Solution:
a) Notons par X la variable aléatoire: nombre de copies qui fonctionnent correctement à
l’installation parmi 10 vendues. X ≈ B (10,90%) . On a p( X ≥ 9) = 73,61% .
b) Notons par Y la variable aléatoire: nombre de mois parmi 12 où sur les 10 copies
vendus, au moins 9 fonctionnent correctement à l’installation. Y ≈ B (n, p) où n = 12
et p = 73,61% . On a p(Y = 12) = 2,53% .
16
Exercice 7.
On veut tester un échantillon de taille n d’un grand lot de pneus. On estime que 5% des
pneus présentent un défaut. Trouvez la taille n pour que la probabilité de n’observer aucun
pneu défectueux dans l’échantillon soit d’environ 10%?:
Solution:
Notons par X la variable aléatoire: nombre de pièces défectueuses parmi n..
X ≈ B(n,5%) . On veut que p( X = 0) = 10% . En utilisant la calculatrice, on obtient
n = 45 .
Exercice 8.
Les lignes téléphoniques d’une compagnie aérienne sont occupées 70% du temps.
a) Si vous appelez cette compagnie, quelle est la probabilité d’avoir la ligne au premier
coup? au deuxième?
b) combien de fois en moyenne devez vous appeler pour avoir la ligne?
Solution:
a) Notons par X la variable aléatoire: nombre de fois que vous devez appelez pour avoir
la ligne. X suit une loi géométrique de paramètre p = 30%.
p( X = 1) = 30%
p( X = 2) = 70% * 30% = 21%
b) On a E ( X ) =
1
= 3,33
30%
Exercice 9.
Le nombre de résistances produites par une usine dans une journée suit une loi de poisson
de moyenne 200. Par expérience 5% des résistances ne sont pas conformes. Quelle est la
probabilité que
a) 10 des résistances produites en une journée ne soient pas conformes ?
b) plus de 10 résistances produites en une journée ne soient pas conformes ?
Solution:
Notons par X la variable aléatoire: nombre de résistances produites dans une journée et par
Y la variable aléatoire: nombre de résistances non conformes produites en une journée. la
17
variable X suit une loi de poisson de moyenne 200 et Y suit une loi de poisson de moyenne
200 * 5% = 10 .
a) p(Y = 10) = 0,125
b) p(Y ≥ 10) = 0,542
Exercice 10.
Le nombre de voitures qui entrent dans un tunnel dans une période de 5 minutes suit une
loi de Poisson de moyenne est 3.
a) quelle est la probabilité que le nombre de voitures entrant le tunnel dans une période
de 5 minutes excède 4 ?
b) Si le tunnel est observé pendant 10 périodes de 5 minutes, quelle serait la probabilité
que plus de 4 voitures entrent dans le tunnel au moins une fois dans les 10 périodes de
5 minutes ?
Solution:
Notons par X la variable aléatoire: nombre voitures entrant le tunnel dans une période de
5 minutes. La variable X suit une loi de Poisson de moyenne 3.
a) p( X ≥ 5) = 18,47%
b) Soit Y la variable aléatoire: nombre de périodes de 5 minutes parmi 10 dans lesquelles
plus de 4 voitures entrent dans le tunnel. Y ≈ B(10;18,47%) et p(Y ≥ 1) = 87%
Exercice 11.
La proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie est p. Cette maladie peut être
détectée par un test sanguin. On veut tester un nombre N de personnes dans une ville. Le
test peut être fait de deux façons:
1- Chaque personne est testée et le nombre de tests est alors N.
2- On suppose que N est un multiple de n ( n ≥ 2 ). On forme alors des groupes de n
personnes. On mélange le sang de chaque groupe de n personnes et on teste ce
mélange. Si le test est négatif, aucune personne du groupe n’est atteinte. Si le test est
positif, on teste chaque personne individuellement. Pour chaque groupe, on fait donc
soit un test, soit n+1 tests.
a) Quel est le nombre moyen de tests dans la méthode 2?
18
b) Si p=5%, Quelle est la valeur de n qui minimise le nombre moyen de tests dans la
méthode 2?
c) Si p=5% et en prenant pour n la valeur obtenue à la question b), combien de tests en
moyenne la méthode 2 permet-elle d’économiser?
Solution:
a) Comme N est un multiple de n, N = kn . Il y a donc k groupes de n personnes. Pour
i=1 à k, soit Xi la variable aléatoire: nombre de tests à effectuer dans le groupe i. Soit
Y la variable aléatoire: nombre de personnes atteintes parmi n. La variable Y suit une
loi binomiale de paramètres n et p. Chaque variable Xi prend soit la valeur 1, soit la
valeur n +1. Comme ( X i = 1) veut dire qu’aucune personne parmi n n’est atteinte,
p( X i = 1) = p(Y = 0) = (1 − p) n et par suite p( X i = n + 1) = 1 − (1 − p) n . On déduit de
ce qui précède que E ( X i ) = (1 − p) n + (n + 1)(1 − (1 − p) n ) = n(1 − (1 − p) n ) + 1.
k
Comme le nombre de tests à effectuer pour tous les groupes est X = ∑ X i , on a
i =1
E ( X ) = k (n(1 − (1 − p) n ) + 1)
E( X ) =
et
comme
N = kn ,
on
obtient
N
1
(n(1 − (1 − p )n ) + 1) = N ((1 − (1 − p )n ) + ) .
n
n
b) Si p = 5%, la valeur de n qui minimise le nombre moyen de tests est 5.
c) Si p = 5% et n = 5 le nombre moyen de tests économisés est 0,5738N.
Exercice 12.
Le nombre de camions arrivant à un poste de pesée est modelé suivant une loi de Poisson
de moyenne 20 camions à l’heure. D’après les statistiques, on estime à 50% la proportion
de camions dont le poids dépasse la charge permise.
a) Quelle est la probabilité que la prochaine heure, 20 camions arriveront au poste de
pesée et 10 dépasseront la charge?
b) Soit x un entier x ≥ 20 . Donnez une formule pour la probabilité que x camions
arrivent dans une heure et 20 dépassent pas la charge?
c) En utilisant la question précédente, donnez la probabilité que dans la prochaine heure
20 camions dépassent la charge?
19
d) Y’a t-il un moyen plus rapide de répondre à la question précédente?
Solution :
Notons par X la variable aléatoire : Nombre de camions qui arrivent au poste de pesée par
heure et par Y la variable aléatoire : Nombre de camions dépassant la charge qui arrivent
au poste de pesée par heure.
a)
On veut calculer. p (( X = 20) ∩ (Y = 10))
p(( X = 20) ∩ (Y = 10)) = p(Y = 10 / X = 20) p( X = 20) .
On sait que X ≈ Poison(20) et donc p ( X = 20) = 0, 0888 . p (Y = 10 / X = 20) se
calcule avec une binomiale car on veut avoir 10 succès parmi 20. Comme la
probabilité de succès est 50%, on a p (Y = 10 / X = 20) = 0,176 et par suite
p (( X = 20) ∩ (Y = 10)) = 0, 0156 .
b) Soit x ≥ 20 , on veut p (( X = x) ∩ (Y = 20)) .
p (( X = x ) ∩ (Y = 20)) = p(Y = 20 / X = x ) * p ( X = x ) . En suivant une démarche
similaire qu’en a) on obtient :
 x  20 x−20 e−20 20 x
1
10 x e−20 .
p (( X = x) ∩ (Y = 20)) =   0,5 0,5
=
x!
20!( x − 20)!
 20 
c)
On veut calculez p(Y = 20) .
p (Y = 20) = p ((Y = 20) ∩ ( X = 20)) + p ((Y = 20) ∩ ( X = 21)) + ................
∞
=
∑
p((Y = 20) ∩ ( X = k )) =
k = 20
=
e−20
20!
∞
1
∑ 20!(k − 20)!10k e−20 =
k = 20
1 n+ 20 e−201020
∑ 10 = 20!
n=0 n !
∞
e−20 ∞
1
10k
∑
20! k =20 (k − 20)!
1 n e−101020
∑ 10 = 20! .
n =0 n !
∞
d) La variable Y suit une loi de poisson de moyenne 20 * 50% = 10 camions à l’heure et
par conséquent p(Y = 20) =
e −10 1020
.
20!
20
Exercice 13.
Dans une ville, la consommation journalière d’eau (en millions de litres) est une variable
aléatoire dont la densité de probabilité est donnée par
1 −x
2

f ( x) =  4 xe ....si...x > 0
0......si....x < 0

a) Quelle est la probabilité que la consommation journalière de cette ville ne dépasse pas
5 millions de litres?
b) Si la ville ne peut fournir plus de 8 millions de litres par jour, quelle est la probabilité
qu’une journée, la ville ne puisse répondre à la demande?
c) Quelle devrait être la capacité journalière de la ville pour que la probabilité de
répondre à la demande soit de 95%?
Solution:
a) p( X < 5) =
b) p( X > 8) =
z
z
5
0
1 − 2x
xe dx = 71,27%
4
∞
8
1 − 2x
xe dx = 9,16%
4
c) On résout l’équation
z
a
0
1 − 2x
xe dx = 95% et on trouve a = 9488729 litres.
4
Exercice 14.
Des résistances sont spécifiées varier entre 0.1 et 0.15 ohms. On suppose que ces
résistances suivent une loi normale de moyenne 0.12 et d’écart type 0.015.
a) Quelle est la probabilité qu’une résistance sélectionnée au hasard rencontre les
spécifications?
b) Si 5 résistances sont sélectionnées au hasard, quelle est la probabilité qu’au moins 4
rencontrent toutes les spécifications?
Solution:
a) Si X désigne la résistance, on a p(0,1 < X < 0,15) = 88,6%
b) Soit Y
le nombre de résistances qui rencontrent les spécifications parmi 5.
X ≈ B(5;88,6%) et on a p(Y ≥ 4) = 89,72% .
21
Exercice 15.
La durée de vie d’une certaine composante électronique est distribuée normalement avec
une moyenne 2000 heures et un écart type 250 heures. Le fabriquant offre une période de
garantie de 75 jours. Chaque pièce retournée engendre une perte de 20$ et chaque pièce
non retournée engendre un gain de 20$.
a) Quelle est la proportion de composantes retournées?
b) Quel est le gain espéré par pièce?
b) Quelle doit être la période de garantie du fabriquant s’il veut au maximum 5% de
retour et quel est la gain espéré dans ce cas?
Solution:
a) Soit X
la durée de vie des composantes. Comme X ≈ N (2000,2502 ) , on a
.
p( X < 75 * 24) = 2118%
,
b) Soit Y le gain par pièce. Y prend deux valeurs : soit -20, soit 20. On a
et
p(Y = −20) = 2118%
,
.
p(Y = 20) = 1 − 2118%
,
Par
suite,
on
a
E (Y ) = −20 * 2118%
,
+ 20 *(1 − 2118%)
,
= 11,53 $.
c) On cherche a pour que p( X < a ) = 5% . Si on utilise la table de la loi normale centrée
réduite, on transforme l’équation précédente en p( Z <
a − 2000
) = 5% . Avec la
250
calculatrice, on utilise la fonction inverse de la fonction de répartition de la loi
normale
et
on
obtient
66
jours
environ.
Dans
cette
situation
E (Y ) = −20 * 5% + 20 *(1 − 5%) = 18 $.
Exercice 16.
La distribution d’un type de résistances est normale. 10% des résistances excèdent 9,25
ohms et 5% ont une résistance inférieure à 8,5 ohms. Quelles sont la moyenne et l’écart
type?
Solution:
Notons la moyenne par
µ et l’écart type par σ . On a p( X > 9,25) = 10% et
p( X < 8,5) = 5% . En transformant ces équations dans la loi normale centrée réduite, on
22
a p( Z >
9,25 − µ
σ
) = 10% et p( Z <
8,5 − µ
σ
) = 5% . En utilisant l’inverse de la fonction
de répartition de la loi normale centrée réduite , on obtient:
8,5 − µ
σ
9,25 − µ
σ
= 1,2815
et
= −1,6448 la résolution de ce système d’équations donne µ = 8,9215 et
σ = 0,2563 .
Exercice 17.
Un système est constitué de 5 composantes identiques placées en série. Si à un moment,
une composante arrête de fonctionner, le système s’arrête. On suppose que la durée de vie
de chaque composante suit une loi exponentielle de moyenne 10. On suppose que les
composantes fonctionnent de façon indépendante. Soit X le temps où le système arrête de
fonctionner.
a) donnez la densité de probabilité de la variable X. Quel type de distribution possède X?
b) Refaites la question a) avec n composantes.
Solution:
a) Notons par X i la durée de vie de la composante i pour i=1 à 5. Premièrement
trouvons la fonction de répartition. Pour cela remarquons que pour t ≥ 0 on a
( X > t ) = ( X1 > t ) ∩ ( X 2 > t ) ∩ ( X 3 > t ) ∩ ( X 4 > t ) ∩ ( X5 > t )
En
utilisant
l’indépendance,
on
p( X > t ) = ( e
obtient
−t 5
10 )
=e
−t
2
et
t
−
2
F (t ) = 1 − e pour t ≥ 0 . Il est clair que pour t < 0 , F (t ) = p( X ≤ t ) = 0 .En dérivant
R| 1 e ... si.. t ≥ 0
la fonction de répartition, on obtient f (t ) = S 2
. On remarque alors que
|T0....... si..t < 0
X suit une loi exponentielle de moyenne 2.
−
t
2
c) En suivant le même raisonnement qu’en b), X suit une loi exponentielle de moyenne
10
.
n
Exercice 18.
Une personne souffre d”hypertension si sa pression diastolique est de 90 ou plus.
Cependant il y a des variations lors des tests. Des études ont montré que lors d’un test
23
mesurant la pression diastolique, l’écart type est de 10. La pression diastolique du
professeur Tournesol est distribuée normalement avec une moyenne de 95.
a) Si le professeur Tournesol fait un test pour mesurer sa pression diastolique, quelle est
la probabilité qu’il soit diagnostiqué ayant une pression normale?
b) Le professeur Tournesol fait 4 tests durant 4 journées différentes. Si la moyenne des 4
tests est utilisée, quelle est la probabilité qu’il soit diagnostiqué ayant une pression
normale?
Solution:
a) Soit X la pression diastolique du professeur Tournesol. On sait que X ≈ N (95,102 ) et
par suite p( X < 90) = 30,85% .
b) Pour i=1 à 4, Soit X i pression diastolique du professeur Tournesol au ième test. La
X + X2 + X3 + X4
variable X = 1
suit une loi normale de moyenne 95 et de variance 5
4
et par suite p( X < 90) = 15,86% .
Exercice 19:
Les temps que les clients passent à un comptoir de service sont des variables aléatoires
indépendantes de moyenne 1,5 minutes et d’écart type 1 minute.
a) Quelle est la probabilité que le temps total que passent 100 clients à ce comptoir soit
inférieure à 2 heures??
b) Quel est le nombre maximal n de personnes tel que la probabilité qu’ils passent moins
de 2 heures au comptoir soit d’au moins 90%?
Solution:
100
a) Pour i=1 à 100, soient Xi les temps passés au comptoir et X = ∑ X i . D’après le
i =1
théorème limite centrale, X suit une loi normale de moyenne 155 et de variance 100
et on obtient p( X < 160) = 84,13% .
n
b) Pour i=1 à n, soient Xi les temps passés au comptoir et X = ∑ X i . On suppose que
i =1
Le théorème limite centrale s’applique. X suit alors une loi normale de moyenne 1,5n
24
et de variance
n . Comme p( X < 160) = 90% , on a p( Z <
160 − 1,5n
) = 90% . En
n
utilisant les tables ou la fonction inverse de la loi normale centrée réduite on obtient
n = 98.
25
Estimation des paramètres et tests d’hypothèse
Exercice 1.
Dans une manufacture, on a voulu estimer le temps moyen nécessaire à une machine pour
compléter une tache. On a alors mesuré les temps nécessaires pour compléter cette tâche
150 fois et on a obtenu un temps moyen de 85 minutes et un écart type de 10 minutes.
a) Donnez un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% pour le temps
moyen nécessaire à la machine pour accomplir cette tache?
b) Si le temps moyen a été estimé entre 83 et 87 minutes, quel est le niveau de confiance
associé à cet intervalle?
c) Combien de fois doit on mesurer les temps pour que l’intervalle de confiance spécifies
le temps moyen à 1 minute prés et ceci 19 fois sur 20?
Solution:
a) On a 85 − t 0.05
10
10
= 83.386 et 85 + t 0.05 ,149
= 86.613 . L’intervalle de
2
150
150
2 ,149
confiance pour µ ayant un niveau de confiance de 95% est 83.386,86.613 .
b) La marge d’erreur est 2 minutes. On résout 2 = tα
Par suite α
2 ,149
10
et on obtient tα ,149 = 6 .
2
150
où t suit une loi de Student avec 149 degrés de libertés.
2 = P(t > 6 )
et 1 − α = 98.45%
α = 155%
.
c) On cherche n pour que la marge d’erreur soit de 1 minute avec un niveau de confiance
de 95%. Pour cela on résout 1 = t0.05
remplaçant t0.05
on résout 1 = tα
2
2
,n −1
, n −1
2
,n −1
10
. On résout d’abord cette équation en
n
par Z 0.05 , on et on trouve n = 385 . À L’aide de la calculatrice,
2
10
en initialisant n avec la valeur 385 et on obtient n = 387 .
n
Exercice 2.
Dans un échantillon aléatoire de 200 composantes électroniques fabriquées avec un
certain procédé, 15 composantes se sont avérées défectueuses.
26
a) Si p représente la proportion de composantes fabriquées avec ce procédé qui sont
défectueuses, construire un intervalle de confiance pour p ayant un niveau de confiance
de 95%.
b) Combien de composantes
doit on échantillonner pour estimer la proportion de
composantes défectueuses à 3% près et ceci 19 fois sur 20?
Solution:
a) On
p + zα
a
2
p =
15
= 0.075
200
et
α = 0.05
,
p − zα
2
p (1 − p )
= 0.0385
n
et
p (1 − p )
.
L’intervalle recherché est 385%,1115%
= 01115.
.
.
.
n
b) On résout 3% = z0.05
2
p (1 − p)
. On prendra pˆ = 11.15% qui est l’estimation de p
n
dont nous disposons et qui donnera la plus grande valeur de n (le cas le plus
défavorable est la valeur la plus proche de 0.5). La solution obtenue est n = 423 .
Exercice 3.
Dans chacune des situations suivantes, précisez les hypothèses H0 et H1 ;
a) Un nouveau type de batterie doit être installé dans dispositif médical s’il est démontré
que sa durée de vie est supérieure à 1 an.
b) Un inspecteur de contrôle de la qualité doit réajuster une machine qui sert à remplir des
bouteilles si la contenance des bouteilles n’est pas de 10 ml.
c) Un inspecteur de contrôle de la qualité doit revoir le procédé de fabrication si la
résistance à la pression est inférieure à 150 psi.
d) On veut que la proportion de composantes défectueuses ne dépasse pas 4%.
Solution :
a) Paramètre à tester: la durée de vie moyenne de ce type de batterie
Hypothèses : H 0 : µ = 1 , H1 : µ > 1
b) Paramètre à tester: la contenance moyenne des bouteilles
Hypothèses: H 0 : µ = 10 H1 : µ ≠ 10
c) Paramètre: la résistance à la pression moyenne
27
H 0 : µ = 150 H1 : µ < 150
d) Paramètre à tester: la proportion de composantes défectueuses
Hypothèses: H0 : p = 4% H1: p > 4%
Exercice 4.
Lors du test sur la moyenne d’une population normale de variance 9, la règle de décision
est de ne pas rejeter H0 si 13.77 ≤ X ≤ 16.23 en se basant sur les résultats d’échantillons
de taille 25.
a) Posez les hypothèses H0 et H1 .
b) calculez la probabilité de commettre une erreur de première espèce.
c) Calculez la probabilité de commettre une erreur de deuxième espèce si la vraie
moyenne est 16.5.
d) Si un échantillon de taille 25 a donné une moyenne de 16, quel est le seuil descriptif ou
p-value du test?
Solution:
a) H 0 : µ = 15 H1 : µ ≠ 15
b) On veut calculez α .
De la formule 16.23 = 15 + Zα
2
3
α
, on a Zα = 2.05 et par suite = P( Z > 2.05) . On
5
2
2
obtient α = 4.036% .
On peut le faire aussi comme suit : 1 − α = P (13.77 ≤ X ≤ 16.23) où X suit une loi
normale de moyenne 15 et d’écart type
3
. On obtient 1 − α = 95.96% et α = 4.036% .
5
Remarque: Ce dernier calcul peut se faire avec la variable Z en calculant
1 − α = P(
13.77 − 15
16.23 − 15
≤Z≤
).
( 35 )
( 35 )
Dans le cas ou la loi de student s’applique, les calculs de probabilités doivent se faire de
cette dernière façon avec Z remplacé par t.
28
c) On veut calculer β lorsque µ = 16.5 . On a β = P (13.77 ≤ X ≤ 16.23) où X suit une loi
3
normale de moyenne 16.5 et d’écart type
et on a β = 32.64% . Ce calcul peut se
5
13.77 − 16.5
16.23 − 16.5
≤Z≤
).
faire aussi avec β = P (
( 35 )
( 35 )
3
d) On a α p = 2 P( X > 16) où X suit une loi normale de moyenne 15 et d’écart type et
5
donc α p = 9.56% .
On a aussi α p = 2 P( Z >
16 − 15
) = 2 P ( Z > 5 3 ) = 9.56% .
( 35 )
Exercice 5.
Si H0 : µ = 25 H1 : µ > 25 , n = 35 , x = 258
. , s = 3 et α = 10% .
a) Quelle est la décision ?
b) Calculez la probabilité de commettre une erreur de deuxième espèce si la moyenne
réelle est 26.
c) Quel est le seuil descriptif ou p-value du test?
Solution:
a) La règle de décision est de rejeter H0 si X > 25 + t 0.1,34
3
= 25.66 et la décision est
35
donc de rejeter H0 du fait que l’échantillon avait donné 25.8.
b) On veut calculer β lorsque µ = 26. On a β = P ( X ≤ 25.66) avec µ = 26 .. Ce calcul se
fait avec t =
X − 26
25.66 − 26
et β = P (t ≤
) = 25.35% .
(S
)
(3
)
35
35
. ) avec µ = 25 et α p = P(t >
c) On a α p = P( X > 258
258
. − 25
) = 6.2%
(3
)
35
Exercice 6.
Le temps nécessaire pour réparer un instrument électronique est normalement distribué.
Le temps de réparation de 16 de ces instruments a donné un temps moyen de 241.5 heures
et un écart type de 98.7 heures. On aimerait savoir si le temps de réparation moyen
dépasse 225 heures.
a) Faites un test en utilisant un seuil de 5%
29
b) Quel est le seuil descriptif ou p-value du test?
Solution :
a) Les hypothèses sont: H0 : µ = 225 H1: µ > 225
La règle de décision est: Rejeter H0 si X > 225 + t 0.05,15
98.7
= 268.26
4
Décision: Comme la moyenne de l’échantillon ne dépasse pas la valeur critique, on ne
rejette pas H0 . Il n’y a donc pas assez d’évidence pour dire que le temps de réparation
moyen dépasse 225 heures.
X − µ0
suit une loi de Student à
S
n
2415
. − 225
15 degrés de liberté et la valeur observée de t est
= 0.6687 , on a
(98.7 )
4
α p = P(t > 0.6687) = 25.7% .
b) On a α p = P( X > 2415
. ) avec µ = 225 . Comme t =
Exercice 7.
Un plan pour un club de voyageurs vip a été développé par une compagnie aérienne sous
l’hypothèse que 5% de ses clients seront qualifiés pour un membership. Dans un
échantillon aléatoire de 500 clients, 40 se sont qualifiés pour le membership.
a) En utilisant un seuil de signification de 1%, tester l’hypothèse de la compagnie.
b) Quelle est la p-value du test?
c) Quelle est la puissance du test à détecter un écart positif de 3 % par rapport à
l’hypothèse de la compagnie?
Solution:
a) Les hypothèses sont: H0 : p = 5% H1: p ≠ 5%
α = 1%
Statistique: P qui suit une loi normale de moyenne 5% et d’écart type
30
0.05(1 − 0.05)
500
Règle de décision: On rejette H0 si Pˆ < 0.05 − Z 0.01
P > 0.05 + Z0.01
2
2
0.05(1 − 0.05)
== 0.0249 ou
500
0.05(1 − 0.05)
= 0.0751 .
500
40
Décision: la valeur observée de P est
= 8% et par conséquent l’hypothèse de la
500
compagnie est rejetée.
b) On a α p = 2. P ( P > 40
où P qui suit une loi normale de moyenne 5% et d’écart
500)
type
0.05(1 − 0.05)
. On obtient α p = 0.21% .
500
c) On veut calculer 1− β si la proportion réelle est 8%. On a
1 − β = 1 − P(0.0249 ≤ Pˆ ≤ 0.0751) où P qui suit une loi normale de moyenne 8% et
d’écart type
0.08(1 − 0.08)
. Le calcul donne 1 − β = 65.68% .
500
Exercice 8.
Une compagnie qui importe des fibres synthétiques exige de ses fournisseurs que la
résistance à la rupture soit d’au moins 30 livres. La résistance à la rupture d’un échantillon
aléatoire de 80 fibres d’un lot a donné une résistance à la rupture moyenne de 29.6 livres
et un écart type de 2 livres.
a) Posez les hypothèses.
b) Quelle est le seuil descriptif ou p-value du test?
c) En utilisant la question a), quelle décision doit prendre la compagnie au seuil de 5%?
Solution:
a) On a H0 : µ = 30 H1: µ < 30
b) On a α p = P ( X < 29.6) avec µ = 30 et α p = P (t <
c) Comme 5% > α p , on rejette H0 .
31
29.6 − 30
) = 3.87%
(2
)
80
Exercice 9.
Une étude sur l’économie de carburant a été menée sur deux modèles de voitures. Une
voiture de chaque modèle a été choisie et on a observé leurs performances en milles par
gallon pour 10 gallons d’essence dans chaque voiture. On suppose que la performance de
chaque modèle est distribuée normalement. les statistiques suivantes ont été obtenues:
Modèle 1
Modèle 2
a) Peut-on conclure à l’égalité des variances. Utiliser α = 5% .
b) Peut-on conclure que la performance moyenne du modèle 1 est supérieure à celle du
modèle 2 ? Utiliser α = 5% .
Solution.
a) Les hypothèses sont: H 0 : σ 12 = σ 2 2
test est F =
S12
S22
H1 : σ 12 ≠ σ 2 2 . On a α = 5% et la statistique du
. On rejettera H 0 si F > F0.05
La valeur observée de F est F =
2
,9,9
= 4.026 ou F < F1−0.05
2
,9,9
= 0.248 .
1.1522
= 0.81 et elle n’est pas située dans la zone de
1.282
rejet de H 0 .
b) Les hypothèses sont: H 0 : µ1 = µ 2
est t =
est t =
H1 : µ1 > µ 2 . On a α = 5% et la statistique du test
X1 − X 2
. On rejettera H 0 si t > t0.05,18 = 1.7341 . La valeur observée de t
1
1
Sc
+
n1
n2
27.04 − 25.95
= 2 . L’hypothèse H 0 est rejetée. On peut conclure que la
1.218 1 + 1
10 10
performance moyenne du modèle 1 est supérieure à celle du modèle 2.
32