11 Cours - Nombres entiers . Arithmétique

11 Cours - Nombres entiers . Arithmétique. Dénombrements.nb
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. Arithmétique. Dénombrements
I) L’ensemble des entiers naturels
= {0,1,2,...} est l’ensemble des entiers naturels.
1) Récurrence simple
a) Théorème
Soit P(n) une affirmation dépendant d’un entier naturel n. Alors:
:
P H0L
fl " n œ , P(n)
" n œ , P HnL fl P Hn + 1L
b) Rédaction ( Les mots clés encadrés doivent apparaître )
On démontre par récurrence la propriété P HnL .
Initialisation : P(0) est vraie car ...
Transmission : Soit n œ . On suppose que P(n) est vraie . Montrons que P(n+1) est vraie. ...
(Ou encore: “ On suppose que P(n) est vraie pour un entier n et on montre que P(n+1) est vraie ”)
(Mais surtout pas “ On suppose que P(n) est vraie pour tout entier n et on montre P(n+1) ”)
Conclusion : " n œ , P(n) est vraie .
2) Récurrence double
a) Théorème
Soit P(n) une affirmation dépendant d’un entier naturel n. Alors:
:
P H0L et P H1L
fl " n œ , P(n)
" n œ , HP HnL et P Hn + 1LL fl P Hn + 2L
b) Rédaction ( Les mots clés encadrés doivent apparaître )
On démontre par récurrence double la propriété P HnL .
Initialisation : P(0) est vraie car ... et P(1) est vraie car...
Transmission : Soit n œ . On suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies . Montrons que P(n+2) est vraie. ...
(Ou encore: “ On suppose que P(n) et P(n+1) sont vraies pour un entier n et on montre que P(n+2) est vraie ”)
Conclusion : " n œ , P(n) est vraie .
3) Récurrence forte
a) Théorème
Soit P(n) une affirmation dépendant d’un entier naturel n.
P H0L
Alors: :
fl " n œ , P(n)
" n œ , HP H0L et P H1L et ... et P HnLL fl P Hn + 1L
b) Rédaction ( Les mots clés encadrés doivent apparaître )
On démontre par récurrence forte la propriété P HnL .
Initialisation : P(0) est vraie car ...
Transmission : Soit n œ . On suppose que P(0 et P(1) et... et P(n) sont vraies . Montrons que P(n+1) est vraie. ...
Conclusion : " n œ , P(n) est vraie .
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4) Exemples
n
a) Montrer que " n œ * , S(n) = S k ä k ! = (k+1)! - 1
k=1
b) Soit Hun L la suite définie par u0 = 2 , u1 = 1 et " n œ , un+2 = un+1 + 6 un . Prouver que " n œ , un = 3n + H-2Ln .
c) Prouver que " n œ , $ (p,q) œ 2 / n = 2p H2 q + 1L
5) Propriétés liées à l’ordre
Toute partie non vide de admet un minimum.
Toute partie non vide et majorée de admet un maximum.
Admis Ces propriétés sont fausses dans . Par exemple avec A = ]0,1[ , min A et max A n’existent pas .
6) Division euclidienne
a) Théorème et définition
a=bq+r
Etant donné a œ et b œ * , il existe un unique couple (q,r) d’entiers naturels tel que ;
.
0br<b
L’égalité a = bq + r avec 0 b r < b est l’égalité de la division euclidienne de a par b.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Preuve
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b) Proposition
Dans l’égalité de la division euclidienne de a par b: a = bq + r avec 0 b r < b alors q = E K O et r = a - b E K O .
b
b
a
a
Car
c) Exercice
Ecrire un algorithme qui uniquement avec des additions ou des soustractions calcule le quotient et le reste de la division de a
par b.
II) Arithmétique
1) Diviseur, multiple
a) Définition
Soient a et b deux entiers. Alors: a divise b ñ a est un diviseur de b ñ b est multiple de a ñ $ k œ / b = k a .
b) Exemples
7 divise 35 , 3 est un diviseur de 0 , 1 est un diviseur de tous les entiers, 0 est un multiple de tous les entiers.
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2) Congruences
a) Définition et notation
Soient a,b œ et n œ * . Alors: a est congru à b modulo n ñ n divise b-a . On note alors a ª b [n] .
b) Exemples
• 17 ª 9 [4] et également 17 ª 1 [4] .
• a divise n ñ n ª 0 [a] .
• r est le reste de la division euclidienne de a par b ñ a ª r [b] et 0 b r < b .
c) Propriétés
" a,b,c,d œ , " k,n œ * :
1) a ª b [n] et c ª d [n] fl ;
2) a ª b [n] fl ;
a + c ª b + d @nD
. (On peut additionner ou multiplier les congruences)
a ä c ª b ä d @nD
ak ª bk @nD
.
k ä a ª k ä b @k nD
Preuve partielle:
d) Exemples
a) Calculer le reste de la division de 312013 par 7
b) Soit n r 5 non vivisible par 2 ou par 3. Prouver que n2 - 1 est divisible par 24 .
e) Exercice
Soit N œ , que l’on écrit N = an an-1 ... a0 en base 10 . On note S(N) = a0 + a1 + ... + an la somme des chiffres de N.
a) Prouver que N est divisible par 9 ñ S(N) est divisible par 9 .
b) Trouver un critère analogue de divisibilité par 11.
3) pgcd, ppcm
a) Définitions
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Alors:
• Le plus grand diviseur commun de a et b est noté pgcd(a,b). (Pour le pgcd, l’un des deux entiers peut être nul)
• Le plus petit multiple commun strictement positif de a et b est noté ppcm(a,b).
Par exemple, pgcd(35,14) = 7 , pgcd(100,0) = 100 et ppcm(35,14) = 70
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b) Calcul de d = pgcd(a,b)
On peut calculer d = pgcd(a,b) en:
a) Ecrivant la liste des diviseurs de a et de b, d est le plus grand diviseur commun.
b) A partir de la décomposition en facteurs premiers (voir plus loin)
g) Utilisant l’algorithme d’Euclide.
c) Algorithme d’Euclide (Euclide , mathématicien de la Grèce antique, environ - 300 )
a) Principe
Il repose sur la remarque suivante: si a = bq + r est l’égalité de la divison euclidienne de a par b, alors pgcd(a,b) = pgcd(b,r) .
En effet:
Si l’on fait les divisions euclidiennes successives: a = bq1 + r1 ; b = r1 q2 + r2 ; r1 = r2 q3 + r3 , etc, alors:
pgcd(a,b) = pgcd(b, r1 ) = pgcd Hr1 , r2 L= pgcd Hr2 , r3 L=...
Mais b > r1 > r2 > r3 > ... r 0. La suite des restes successifs Hrn L est une suite strictement décroissante d’entiers. Donc il existe
un plus petit entier n tel que rn = 0. Alors pgcd(a,b) = pgcd Hrn-1 , 0L = rn-1 .
Le pgcd de a et b est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes.
Exemple: calculer pgcd(637,490) et pgcd (12345,54321)
b) Algorithmes itératif ou récursif
def pgcdI(a,b):
“““Pgcd des deux nombres a et b de manière itérative”””
while b > 0:
a, b = b, a % b
return a
def pgcdR(a, b):
“““Pgcd de deux nombres a et b de manière récursive”””
if b == 0:
return a
else:
return pgcdR(b, a % b)
d) pgcd de plusieurs entiers: définition et calcul
On définit de même pgcd Ha1 , a2 , ... an L pour des entiers a1 , ..., an . On peut calculer pgcd Ha1 , a2 , ... an L en utilisant la
propriété:
pgcd Ha1 , a2 , ... an L = pgcd Hpgcd Ha1 , a2 , ... an-1 L , an L qui ramène le calcul de pgcd Ha1 , a2 , ... an L à des pgcd de deux entiers.
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e) Calcul de ppcm(a,b)
On peut calculer m = ppcm(a,b) en:
a) A partir de la décomposition en facteurs premiers (voir plus loin)
b) utilisant la propriété: ppcm(a,b)äpgcd(a,b) = aäb. Le calcul de ppcm(a,b) est donc ramené à celui de pgcd(a,b)
4) Nombres premiers
a) Définition
Un entier naturel n >1 est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs sont 1 et n. On note P l’ensemble des nombres
premiers.
P = {2,3,5,7,11,13,17,19,...}
ATTENTION: 1 n’est pas un nombre premier .
b) Théorème
Tout entier n r 2 admet un diviseur premier.
Preuve
c) Théorème
Un entier n r 2 n’est pas premier si et seulement si il admet un diviseur d tel que 2 b d b
n.
Preuve
d) Théorème (Décomposition en facteurs premiers)
Tout entier naturel n r 2 s’écrit de façon unique sous la forme n = p1 n1 p2 n2 .. pk nk avec les pi nombres premiers deux à
deux distincts et les ni œ * .
L’écriture n = p1 n1 p2 n2 .. pk nk est la décomposition de n en facteurs premiers.
Admis
e) Exemples
Calculer les décomposition en facteurs premiers de a = 10! et b = 999 999 .
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f) Calcul de pgcd(a,b) et ppcm(a,b) à partir des décompositions en facteurs premiers
On prend les plus petits ou plus grands exposants dans les décompositions de a et b
Calculer pgcd(a,b) et ppcm(a,b) pour:
a = 490 et b = 693
a = 10! et b = 999 999
g) Exercice: (Nombre de diviseurs d’un entier)
Soit n = p1 n1 p2 n2 .. pk nk la décomposition de n en facteurs premiers. Calculer le nombre de diviseurs de n.
Combien a = 60, b = 10! et c = 999 999 ont-ils de diviseurs ?
h) Algorithmes
a) Ecrire un algorithme testant si un entier n r 2 donné est premier
b) Ecrire un algorithme calculant la décomposition en facteurs premiers d’un entier n r 2
i) Crible d’Erathostène (Ératosthène (-276 -194) , astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec)
a) Principe
On veut calculer tous les nombres premiers plus petits qu’un entier n donné. On procède ainsi, par exemple avec n = 30:
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b) Algorithme
Ecrire un algorithme calculant tous les nombres premiers plus petits qu’un entier n donné par la méthode du crible
d’Erathostène.
III) Dénombrement
1) Définitions
Un ensemble fini est un ensemble qui a un nombre fini d’élements.
Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments.
Dénombrer un ensemble fini c’est calculer le nombre de ses éléments.
Par exemple, card({1,3,5,7}) = 4
On note card (A) ou |A| ou #A le cardinal d’un ensemble fini A .
2) Réunion de deux ensembles
a) Théorème
Soient A et B deux ensembles finis. Alors card (A‹B) = card A + card B - card (A›B) .
Lorsque A et B sont disjoints, alors card (A‹B) = card A + card B .
En effet:
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b) Exercice
Soient A,B,C trois ensembles finis. Prouver que card (A‹B‹C) = card A + card B + card C - card (A›B) - card (A›C) - card
(B›C) + card (A›B›C) .
3) Complémentaire d’une partie d’un ensemble
Soient A une partie d’un ensemble fini E . Alors card A = card E - card A où A est le complémentaire de A dans E.
4) Produit cartésien de deux ensembles
Soient A et B deux ensembles finis. Alors
card (A×B) = card A ä card B .
En effet:
Ecrire {1,2}ä{a,b,c} .
5) Fonctions d’un ensemble dans un autre
Soient A et B deux ensembles finis. Alors card F(A,B) = (card BLcard A où F(A,B) est l’ensemble des fonctions de A dans B.
En effet:
Ecrire F({1,2},{a,b,c}).
6) Parties d’un ensemble
Soient A un ensemble fini. Alors card P(A) = 2card A où P(A) est l’ensemble des parties de A .
En effet:
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Ecrire P({a,b,c}) .
7) p-listes
a) Définition
Une p-liste d’un ensemble E est un p-uplet Ia1 , a2 , ..., ap M d’éléments de E .
Il y a un ordre dans une p-liste. Ne pas confondre la p-liste Ia1 , a2 , ..., ap M et l’ensemble 9a1 , a2 , ..., ap = .
b) Théorème
Soit E un ensemble fini comprenant n = card E éléments. Alors, pour p b n:
• il y a np p-listes d’éléments de E. (Dans une p-liste, les éléments ne sont pas forcémént distincts)
• il y a nä(n-1)ä...ä(n-p+1) =
n!
Hn-pL!
p-listes d’éléments distincts de E
Remarque: Si p > n = card E, il y a 0 p-listes d’éléments distincts de E.
Preuve
Ecrire toutes les 2-listes d’éléments distincts de {1,2,3,4}.
c) Arrangements (terme plus utilisé)
p
On notait avant An =
n!
le nombre de p-listes d’éléments distincts (on disait arrangements de p objets parmi n) d’un
Hn-pL!
p
ensemble E de cardinal n. Ce nombre An est le nombre de façons de choisir (de ranger) avec ordre p éléments parmi n.
8) Permutation
a) Définition
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Une permutation d’un ensemble fini E de cardinal n est une n-liste d’éléments distincts de E.
Une permutation de E est donc un rangement avec ordre de tous les éléments de E.
b) Théorème
Il y a n! permutations dans un ensemble fini E de cardinal n.
Car
Ecrire toutes les permutations de {1,2,3} .
9) Combinaisons
a) Théorème
Soient p b n deux entiers. Il y a
p
n!
=
parties à p éléments dans un ensemble de n éléments.
n
p! Hn-pL!
Dans une partie, il n’y a pas d’ordre .
Ce nombre est appelé nombre de combinaisons de p éléments parmi n, on le lit “p parmi n” .
Car
Ecrire toutes les parties à 3 éléments de E = {1,2,3,4,5}.
b) Exercices: démontrer en utilisant le théorème a) les propriétés vues dans le chapitre “Calculs algébriques”:
0)
1)
2)
3)
4)
n
est un nombre entier
p
n
n
" p œ {0,1,...,n} ,
=
.
p
n-p
n
n
n+1
" p œ {0,1,...,n-1} ,
+
=
p
p+1
p+1
n
n
n
" n œ ,
+
+ ... +
= 2n .
0
1
n
n n
Ha + bLn = S
an-k bk . (Avec la convention a0 = 1N
k
k=0
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