Activité 1 Utilisation des nombres premiers 2nde 1 Exercice 1 Crible

Activité 1 Utilisation des nombres premiers
2nde 1
Crible d'Eratosthène
Le but de cet exercice est de trouver les nombres premiers plus petit que 100. La méthode
repose sur la connaissance du vocabulaire "diviseur", "multiple", mais surtout sur les tables
de multiplication.
1. Expliquer pourquoi un nombre premier n'apparait que dans sa propre table ?
2. Barrer dans le tableau suivant les nombres qui sont dans la table d'un autre. Ceux qui
ne seront pas barrés (on peut les entourer), seront alors des nombres premiers (sauf 1).
Exercice 1
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
3. Reformuler la consigne de la question précédente avec les termes "diviseur" ou "multiple".
Décomposition en facteurs premiers
1. Sans calculatrice. (en utilisant les critères de divisibilité...)
Exercice 2
a = 108
d = 105
b = 224
e = 357
c = 594
f = 4608
2. A l'aide de la calculatrice. (car les nombres sont trop grands...)
g = 12936
h = 36036
i = 2809
Calcul de ppcm et application
1. A l'aide de décomposition en facteurs premiers des nombres donnés, calculer les ppcm
suivants.
Exercice 3
ppcm(63, 6)
ppcm(56, 98)
ppcm(65, 50)
2. Ecrire les nombres suivants sous forme d'une fraction irréductible en faisant le moins
d'eorts possibles.
A=
7
5
+
63 6
B=
11
3
−
98 56
1
C=
4
−7
−
65
50
Simplication de fractions.
Voici trois fractions :
Exercice 4
423
282
248
1395
1024
914
1. Simplier ces fractions en décomposant en facteurs premiers leur numérateur et leur
dénominateur.
2. Simplier les ensuite, en utilisant l'algorithme d'Euclide.
3. Quelle méthode est-elle la plus ecace ?
Simplication de racines carrées.
A l'aide de décompositions en facteurs premiers, écrire de manière plus simple les nombres
suivants.
Exercice 5
√
8
√
√
d = 2 − 3 50
a=
b=
√
18
√
√
√
e = −6 45+ 605+3 20
c=
√
252
3√
4√
f=
7−
28
2
5
Vrai-Faux
Dire, en justiant, si les propositions énoncée sont vraies ou fausses.
Exercice 6
1. Si n est un nombre premier, alors n + 1 n'est pas un nombre premier.
2. Si n n'est pas premier, alors n + 1 est premier.
1
3. Si n est un nombre premier alors ((n + 1)2 − (n − 1)2 ) est un nombre entier, mais n'est
2
pas un nombre premier.
a
4. Si a et b sont des nombres entiers, b un nombre premier, alors la fraction est irréductible.
5.
6.
7.
8.
Un produit de nombre premier est un nombre premier.
Une somme de nombres premiers est un nombre premier.
La diérence entre deux nombres premiers est un nombre premier.
Le quotient entre deux nombres premiers est un nombre premier.
b
La connaissance et l'utilisation des nombres premiers est aujourd'hui essentielle.
La plupart des systèmes de cryptographie de données (comme dans la protection des codes
de cartes bleues par exemple) sont basés sur la connaissance des nombres premiers et sur le
fait qu'il est très dicile de décomposer un nombre très grand en facteurs premiers. L'un des
cryptosystèmes les plus sûr, actuellement utilisé est le codage RSA.
Au XIXème siècle, l'étude des nombres premiers était considérée comme des "mathématiques pour s'amuser". Aujourd'hui c'est une partie des mathématiques essentielle dans la
sécurité bancaire et internet, l'espionnage, le contre espionnage d'état, et bien d'autres choses
encore. N'oublions donc pas que certains eorts intellectuels parfois considérés comme inutiles
peuvent plus tard s'avérer fondamentaux.
Remarque.
2