Correction - TD n˚17 - Diffraction 1 Application directe

Correction - TD no 18 : Diffraction
Physique
Correction - TD n˚17 - Diffraction
1 Application directe
A FAIRE
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1
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2 Diffraction par une fente
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3 Devinette
En utilisant les résultats du cours, on peut déduire directement de la figure de diffraction que
la pupille diffractante correspond à deux ouvertures rectangulaires identiques :
– Chaque ouverture rectangulaire donne lieu à la même figure de diffraction en croix, avec
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une tache centrale de largeur :
2λf 0 2λf 0
L×`=
×
b
h
On en déduit donc que :

2λf 0


b =
= 1.10 × 10−4 m = 0.110mm
L

2λf 0

h =
= 1.12 × 10−4 m = 0.112mm
`
– De plus, la présence de deux ouvertures éclairés par une seule source donne lieu à un phénomène d’interférence en lumière cohérente. La direction des centres des ouvertures est
orthogonale à la direction des franges d’interférence obtenues sur l’écran. De plus, l’interfrange est donné par :
λf 0
i=
a
où a est la distance entre les centres des ouvertures, et on en déduit donc que :
a=
λf 0
= 0.27mm
i
`
en mesurant sur la figure de diffraction i ' .
5
La pupille diffractante est représentée sur la figure ci-dessous.
a
h
b
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4 Diffraction par des fentes d’Young
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5 Diffraction de Fraunhofer par un prisme de petit angle
1. D’après les lois de Descartes de la réfraction :
– les rayons ne subissent pas de déviation sur le premier dioptre (face d’entrée du prisme) ;
– les rayons ont un angle d’incidence de α sur
le deuxième dioptre (face de sortie du prisme),
d’où un angle de réfraction r tel que n sin (α) =
nair sin (r) (loi de la réfraction de Descartes).
Comme α 1, on a aussi r 1 et nα ' nair r.
Les rayons émergents du prisme font ainsi un angle β = r − α =
n
− 1 α avec l’axe
nair
Oz.
2. On se place maintenant dans le cadre de la diffraction (notamment, on n’a pas forcément
n sin (α) = nair sin (r) car on travaille dans un cadre plus général que l’optique géométrique).
a) Le rayon frappant le prisme au point P d’abscisse x traverse une épaisseur de verre :
e (P ) = tan (α) × X ' αX.
L’amplitude de l’onde diffractée dans une direction θ correspondant à M donné
s’écrit :
s
s0 (M ) = C te P ∈Σ e−jk0 (SP M ) dΣP avec (SP M ) = (SP ) + n × e (P ) + (QM ).
Or dans une situation sans prisme (ss.pr.) mais avec seulement une fente, on aurait :
(P M )ss.pr. ' nair e (P ) + (QM ).
PM ;
Justification : (P M )ss.pr. = nair P Q0 + (Q0 M ) où Q0 est le projeté orthogonal de Q sur
de plus, P Q0 =
e(P )
cos(θ)
∼ e (P ) avec θ 1 ; enfin, (Q0 M ) = (QM ).
On en déduit (SP M ) =' (SP ) + (P M )ss.pr. + (n − nair ) e (P )
s
puis s (M ) = C te
e−jk0 (n−nair )e(P ) e−jk0 ((SP )+(P M )ss.pr. ) dΣ
0
P
P ∈Σ
2π
−j λ
(n−nair )αX
0
d’où la fonction de transparence du prisme : t (X) =
ˆe
(on se ramène
ainsi au cas d’une ouverture diffractante plane affectée d’une certaine fonction de
transparence).
b) Dans le cadre de la diffraction de Fraunhofer, l’amplitude de la vibration correspondant à l’interférence des ondelettes émises par les sources secondaires de l’ouverture
diffractante s’écrit, dans la direction θ du plan Oxz :
rb
sog r a
sog r a
s0 (θ) = ab × X=0 t (X) ejk(θ−0)X dX 0 dY = a × X=0 ejk0 (nair θ−(n−nair )α)X dX
ra
sog
1
ejk0 Θa − 1
avec
s0 (θ) = a × X=0 ejk0 ΘX dX = sog jk0 Θ×a
Θ = nair θ − (n − nair ) α
jk Θa/2
jk Θa/2
jk Θa/2
0
−e 0
s0 (θ) = sog ke0 Θ×a/2
×e 0
= sog ejk0 Θa/2 × sinc k0 Θ a2 .
2j
On en déduit "l’éclairement diffracté" dans la direction θ via I = s0 (M ) × s∗0 (M ) :
2
I = Imax sinc
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a
π (nair θ − (n − nair ) α)
λ0
7
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c) Si a λ0 alors I = Imax pour θ ≡ β =
n
− 1 α et I = 0 sinon : on retrouve le
nair
résultat de l’optique géométrique.
6 Figures de diffraction à l’infini
1. Le dispositif est celui du cours dans le cas des conditions de Fraunhofer (source dans le
plan focal objet d’une première lentille, et écran dans le plan focal image de la lentille de
projection).
2. Les trois figures correspondent à différentes expériences des trous d’Young : la tache d’Airy
montre que les ouvertures sont circulaires, et la présence de franges regulières verticales
atteste d’un phénomène d’interférence à 2 ondes.
λf 0
Le diamètre de la tache centrale correspond à : d = 1.22
où R est le rayon des ouverR
tures.
λf 0
De plus, l’interfrange est donné par : i =
où a est la distance entre les trous.
a
Dans les figures a), b) et c) on mesure respectivement d ' 6i, d ' 3i et d ' i. On peut en
déduire les résultats suivants présentés dans la figure ci-dessous.
a = 6R
a = 3R
a=R
1.22
3. La pupille de diffraction est toujours percée de trous circulaires d’après les anneaux de
diffraction. Cependant, deux trous ne peuvent expliquer la formation des franges d’interférences en carré. Afin d’obtenir des franges suivant les deux directions du plan d’observation,
il faut donc une pupille s’apparentant à deux dispositifs de trous d’Young orthogonaux.
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En fait, cette figure de diffraction correspond à quatre trous identiques placés au sommet
d’un carré.
7 Ecrans complémentaires
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Ceci permet de comprendre pourquoi la figure de diffraction d’un cheveu est indentique à celle
obtenue avec une fente fine.
8 Diffraction et symétrie
Il est facile de montrer que la figure de diffraction est elle-même symétrique par rapport à l’axe
(Ox) en utilisant une transparence complexe t(P ) paire dans l’expression du principe d’Huygens
Fresnel.
9 Détermination du pas d’un réseau, mesure d’une longueur d’onde
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10 Minimum de déviation
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11 Caractérisation et capacité d’un Compact Disc (CD)
Un CD peut contenir un grand volume d’information numérique (codé en binaire : 011010001...)
enregistré sur un sillon en forme de spirale creusé sur la surface du disque. Localement, ce sillon
peut être vu comme un réseau (fentes rectilignes parallèles, voir photo). C’est donc la diffraction
de la lumière par la structure en surface du CD qui est à l’origine des irisations de couleur qui
s’expliquent dans le cadre de l’optique ondulatoire. Il ne faut pas les confondre avec les irisations
obtenues avec un prisme ou des gouttes d’eau (arc-en-ciel) qui s’expliquent dans le cadre de l’optique géométrique par les lois de la réfraction et le pouvoir dispersif du milieu : dépendance de
l’indice avec la longueur d’onde (loi de Cauchy : n(λ) = A + B/λ2 ).
d
x/2
θ
laser
CD
-x/2
Figure 1: Dispositif pour mesurer le pas a de la spirale d’un CD.
Le dispositif utilisé pour mesurer le pas a de la spirale du réseau est schématisé ci-dessus.
En incidence, la formule du réseau s’écrit sin θ = pλ/a où p est l’ordre. L’angle θ s’exprime
en fonction de la distance x mesurée entre les ordres −1 et 1 (attention on ne peut pas faire
l’approximation des petits angles), le pas du réseau s’écrit alors :
s
a=λ 1+4
2
d
x
La mesure est d’autant plus précise que les spots diffractés sont petits pour cela le spot laser
doit éclairer sur le CD beaucoup de pas de la spirale (pouvoir de résolution du réseau R = N p),
mais pas trop pour que le rayon de courbure de la spirale (quelques centimètres) soit négligeable.
Ainsi, une tâche du laser sur le CD de l’ordre du millimètre donne une bonne précision de mesure.
On déduit des mesures que le pas de la spirale d’un CD est de 1, 58µm en très bon accord avec
la vue obtenue au microscope à force atomique (microscope à champ proche permettant de
visualiser la topologie d’une surface à l’aide d’une pointe montée sur un microlevier scannant
la surface à interactions constantes). La capacité d’un CD est le nombre de bits enregistrables.
Il est égal à longueur de la spirale du sillon divisée par le pas b entre 2 bits. Or, d’après la vue
au microscope à force atomique b est de l’ordre du micromètre et la longueur de la spirale est
donnée par la surface enregistrable π(r22 − r12 ) divisée par le pas a (penser au bonbon réglisse),
soit :
Nbit = 8 ∗ Noctet =
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π(r22 − r12 )
ab
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En prenant les dimensions d’un CD, on obtient un capacité de l’ordre de 1Go correspondant
bien à celle indiquée sur un CD (800M o). Enfin, Le nombre d’ordres observables est donné par
le fait que le sinus est borné entre −1 et 1 soit 5 ordres : −2, −1, 0, 1, 2 dans le cas proposé.
D’après la deuxième mesure, le pas d’un DVD est deux fois plus petit a = 0.72µm, c’est
pourquoi il a une capacité 5 − 6 fois plus grande que le CD en supposant que le pas b est aussi
2 à 3 fois plus petit. Pour réussir à graver et à lire un disque, il faut que la taille du spot
laser qui balaie le sillon du CD soit inférieure aux pas a et b. Ces tailles étant de l’ordre de la
longueur d’onde, on atteint les limites technologiques de l’optique dues à la diffraction qu’on
peut considérer comme proportionnelle à λ. Ainsi, pour augmenter la capacité des disques, il faut
des pas plus petits et donc utiliser des diodes-lasers de longueur d’onde plus faible. L’évolution
historique de la capacité des disques a suivi celle des diodes lasers, au début on ne savait fabriquer
que des diodes de grandes longueurs d’onde ce qui a donné la technologie CD d’une capacité de
800M o (longueur d’onde : 780nm), puis le DVD de 5Go (635nm) et récemment le Blu-ray Disc
de 25Go (405nm utilisant un doubleur de fréquence).
12 Apodisation
1.
a) Le principe de Huygens-Fresnel stipule qu’une ouverture ("ouverture diffractante" ou
"pupille diffractante" ou "diaphragme") éclairée par une source primaire ponctuelle et
monochromatique peut se décomposer en surfaces élémentaires se comportant comme
des sources secondaires cohérentes émettant des ondes sphériques dont l’amplitude
est proportionnelle à l’amplitude de l’onde incidente et à chaque surface élémentaire.
b) La diffraction de Fraunhofer peut être considérée comme le cas particulier où la source
S et le point d’étude M sont situés à l’infini par rapport à l’ouverture diffractante
("diffraction à l’infini").
Pour observer la figure de diffraction à l’infini d’une fente fine de largeur a, on peut
utiliser un montage avec 2 lentilles (la source étant dans le plan focal objet de la
première et l’écran dans le plan focal image de la deuxième).
La figure obtenue sur l’écran se trouve selon une direction perpendiculaire à la fente
et est constituée d’une tache centrale de largeur angulaire 2 λa (largeur sur l’écran :
0
2 λa f2 ), ainsi que de taches secondaires ("pieds").
Dans le cadre de la diffraction de Fraunhofer, l’amplitude de la vibration correspondant à l’interférence des ondelettes émises
par les sources secondaires de l’ouverture
s
sog
diffractante s’écrit : s0 (M ) = Σ × P ∈Σ ejk((αd −αi )X+(βd −βi )Y ) dΣP
La source se trouvant sur l’axe optique, on a αi = 0 et βi = 0. De plus, b a implique
que I 6= 0 seulement pour βd = 0.
r a/2
r b/2
sog
Avec α ≡ αd , on a s0 (α) = ab × X=−a/2 ejkαX dX × Y =−b/2 dY
jkαa/2
soit s0 (α) = sog ejkαd a
ejkαa/2 − e−jkαa/2
= sog ejkαa/2 sinc kα a2
πa
α avec Imax = sog × s∗og .
λ
Notamment, on retrouve le fait que la figure obtenue est constituée d’une tache centrale de largeur angulaire 2 λa (annulation de I (α) pour πa
λ α = ±π), ainsi que de
taches secondaires.
d’où I (M ) = s0 × s∗0 : I (α) = Imax sinc2
c) Un déplacement xS de la source revient à changer α en α − αS (notamment, I (αs ) =
Imax ) :
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πa
(α − αs )
λ
La figure de diffraction est donc seulement translatée, son centre correspondant à
l’image géométrique de la nouvelle source.
Remarque : la démonstration plus complète consiste à considérer :
I = Imax sinc2
−
→ →
− −
−
→
kd − ki .OP
s
0 s
j
s0 (M ) = K P ∈Σ e−jk0 (SP ) e−jk0 (P M ) dΣP = C te × P ∈Σ e
s
ejk(α−αi )X dΣP .
P ∈Σ
2.
dΣP =
sOG
Σ
×
a) La limite de résolution d’un instrument est la distance angulaire limite entre deux
objets pour que les deux images soient discernables. Selon le critère de Rayleigh, le
"bord" de la tâche de diffraction (premier minimum) d’une image correspond alors
au centre (maximum) de l’autre. La distance angulaire des images géométriques est
λ
alors α =
a
(×1, 22 s’il s’agit d’ouvertures circulaires de diamètre a).
b) Dans le cas de l’oeil, l’ouverture diffractante est la pupille, avec a = 2, 0 mm de
diamètre. Avec λ ∼ 0, 6 µm (le domaine visible correspond à [0, 4; 0, 8] µm), on obtient
une limite de résolution de l’oeil d’environ 3 × 10−4 rad = 20 (par exemple, on peut
distinguer au mieux un intervalle de 1 mm à une distance de 2 m).
Remarque : la rétine étant à 1, 5 mm de la pupille, la distance entre 2 images rétiniennes à la limite de séparation angulaire est de 7, 5 µm ; or la taille d’un cône est
d’environ 3 µm : on peut donc tout juste placer trois cônes (rouge, vert, bleu) dans cet
intervalle. Ainsi, l’évolution naturelle s’est adaptée au mieux à la limite de résolution
imposée par la diffraction de la pupille.
3.
a) Pour une lame absorbante de coefficient de transmission t(x), l’amplitude diffractée
est :
s
0 r
s0 (α) = K P ∈Σ t (X) ejkαX dΣP = K e−2|X|/a ejkαX dX
2π
2
2π
2
0 R
0 R
s (α) = K 0 e( a +j λ α)X dx + K ∞ e(− a +j λ α)X dX
0
s0 (α) = K
s0 (α) = K
s0 (α) = K
−∞
0
0
0
1
2
+j 2π
α
a
λ
1
1 − lim e
2X
a
X→−∞
(1 − 0) + K
2
+j 2π
α
a
λ
2
2π
α− − a2 −j 2π
α
0 −j
a
λ
λ
2
2 2
2π
+
α
a
λ
(
( ) (
)
)
0
×e
j 2π
αX
λ
+K
0
1
− a2 +j 2π
α
λ
1
− a2 +j 2π
α
λ
=K
0
(0 − 1) = K
0
−2 X
a
lim e
X→+∞
1
2
+j 2π
α
a
λ
−
1+
1
− a2 +j 2π
α
λ
2 2
πa
λ α
× 4d2 (obtenu pour α = 0, correspondant d’ailleurs à l’image de
l’optique géométrique) et I =
Imax
4
pour α1/4 tel que
1+
πa
λ α1/4
2 2
= 4 soit
λ
α1/4 = πa
.
La figure de diffraction a donc une largeur angulaire au quart de la hauteur de
λ
2α1/4 = 2
.
πa
b) On compare ci-dessous les figures de diffraction obtenues pour une fente dont le
coefficient
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14
−1
a2
0
02
×e
a
2
a
1+( 2π
α
λ 2 )
On en déduit l’intensité diffractée : I(α) = s0 × s∗0 = K 2 Ainsi, Imax = K
j 2π
αX
λ
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L’intérêt de l’apodisation est par
exemple la mise en évidence d’un
astre situé proche d’une étoile brillante
(deuxième étoile, planète...), donnant
une intensité beaucoup plus faible pouvant être confondue avec des maxima
secondaires de l’étoile brillante. Ainsi,
la figure du bas correspond à une
deuxième étoile écartée de αS = 1, 3 × λa
et de luminosité égale à 5% de celle
de l’étoile principale ; la présence de la
deuxième étoile est douteuse avec une
fente classique de transmission discontinue (courbe en pointillés), indubitable
avec la fente de transmission continue
utilisée ici (courbe en traits pleins).
1.0
étoile seule
0.8
t(x)
0.6
0.8
0.4
0.2
Intensité
Lorsque t(X) est continu, les maxima secondaires ("pieds") sont atténués (voire
supprimés ici) : on parle d’apodisation
(figure du haut : cas d’une source à l’infini, une étoile simple par exemple).
1.0
b=a/2
0.0
0.6
-2
-1
0
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
2
3
αa/λ
1.0
étoile double
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-3
-2
-1
0
αa/λ
A FAIRE
15
2
0.2
13 Holographie
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1
x/a
0.4
Intensité
de transmission t(X) est discontinu
(fente classique, courbe en pointillés) ou
continu (t(X) = e−2|X|/a , courbe en
traits pleins).
Remarque : on a une même hauteur de
pic principal.
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