MA20SPAX
Unité 1 : Les facteurs et les produits
(Chapitre 3 du texte – p.134 – 211)
Ce livret appartient à
____________________________
1
MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Révision - Les polynômes
A. Un peu de vocabulaire :
Variable: Une lettre ou un symbole qui représente une ___________________________________.
Ex :
Terme: expression mathématique représentant un _____________________ ou un _____________________.
Ex :
Constant: Terme qui ____________________________________ alors il ne change pas.
Ex :
Coefficient numérique: valeur numérique qui commence un terme. Il est le numéro avant les variables dans un terme.
Ex :
• -4x 
coefficient =
 2 x2 y
3

coefficient =
 –a2b3

coefficient =
Termes semblables: Des termes sont semblables s’ils ont les mêmes variables et chaque variable a le même exposant.
Ex : Quels termes sont semblables?
2x2y, 2xy, 5x2y
Ex : Quels termes sont semblables?
-4ab2c, 4abc2, 3ac2b, -3ba2c
Polynôme : Une expression algébrique ayant un ou plusieurs termes.
Monôme : expression algébrique ayant un terme.
Ex :
Binôme : expression algébrique ayant deux termes (une somme ou une différence de 2 termes qui ne sont pas
semblables).
Ex :
Trinôme : expression algébrique ayant trois termes (une somme ou une différence de 3 termes qui ne sont pas
semblables).
Ex :
2
Monôme, binôme ou trinôme?
3x2 + 6y + sx2y + x2y
17a2 – 17a + a2
4b2 – 6b2 + 2b2 – b
NB : Il faut toujours combiner les termes semblables!
B. La simplification de polynômes :
Ex #1 – Simplifiez :
a) 4n + 15n2 – 3 + 12n2 – 7n – 7
b) (3x – 3y) + (4y – 2x)
c) (4m2 – 2m – 4) – (-3m2 – 2m + 5)
d) 2x(x + 5x3)
3
e)
 
− 
f) 5(3xy – 4xy2) + 3(x2y – 2xy2)
C. La résolution d’équations :
Ex #1 – Résolvez :
a) 2(x – 5) + 3(x + 2) = 20
b) 3(x + 2) – 2(x + 5) = 4(x + 7)
Devoir :
- La feuille de révision
- Quiz : Le vendredi 8 février
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Les facteurs et les multiples de nombres naturels
Rappel : Un facteur qui a exactement ______________________________________________est un facteur premier
(ou prime).
Ex :
Les nombres composés sont les nombres naturels supérieurs à 1 qui ______________________________________
______________________________________________________________________________________________
La décomposition en facteurs premiers (factorisation première) : On décompose un nombre sous la forme du
produit de ses facteurs premiers.
Ex 1 : Décomposez 12 en facteurs premiers.
Ex 2 : Décomposez 3300 en facteurs premiers
Ex 3 : Déterminez le PGFC entre 12 et 16
5
Ex 4 : Déterminez le PGFC de 138 et de 198.
1.
_______________________________________________________________________________________
2.
_______________________________________________________________________________________
3. Le PGFC est _____________________________________________________________________________ !
Ex 5 : PGFC entre 2520 et 44100?
Ex 6 : Déterminez le PPCM de 18, 20 et 30
1. Décomposez chaque numéro en facteurs premiers. Identifiez ______________________________________
de chaque facteur premier dans chaque liste :
2. Le PPCM est _______________________________________________________ de chaque facteur premier :
6
Ex 7 : PPCM de 28, 42 et 63?
Ex : Problème d’application de PGFC et de PPCM : (p.138 – 139)
a) Quelle est la longueur de côté du plus petit carré que vous pouvez couvrir de rectangles mesurant 16 cm sur
40 cm? Vous ne pouvez pas couper les rectangles. Esquissez le carré et les rectangles.
1. Dans le carré, placez tous les rectangles selon la même orientation.
2. Le côté plus court de chaque rectangle mesure ______ cm. La longueur de côté
du carré doit donc être un multiple de ______cm.
3. Le côté plus long de chaque rectangle mesure ______ cm. La longueur de côté
du carré doit donc être un multiple de ______cm.
4. Ainsi, la longueur de côté du carré doit être un multiple commun de ________ et de _________. Puisque
nous cherchons le plus petit carré, la longueur de côté du plus petit carré correspondra au
_______________________.
5. Écrivez la factorisation première de chaque nombre. Surlignez la puissance la plus élevée de chaque
facteur premier dans les deux listes.
Le PPCM est
La longueur de côté du plus petit carré est de _________cm.
7
b) Quelle est la longueur de côté des plus grands carrés dont vous pouvez couvrir un rectangle mesurant 16 cm
sur 40 cm? Vous ne pouvez pas couper les carrés. Esquissez le rectangle et les carrés.
1. Le côté plus court du rectangle mesure ______ cm. La longueur de côté des carrés doit donc être un
facteur de ______cm.
2. Le côté plus long du rectangle mesure ______ cm. La longueur de côté des carrés doit donc être un
facteur de ______cm.
3. Ainsi, la longueur de côté du carré doit être un facteur commun de _________ et de __________. La
longueur de côté des plus grands carrés correspondra au ___________________________________.
4. Décomposez chaque nombre en facteurs premiers. Surlignez les facteurs premiers qui apparaissent dans
les deux listes.
5. Le PGFC est :
6. La longueur de côté des plus grands carrés est de __________cm.
Devoir : p.140 # 3 – 5, 8, 10, 17, 19
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Les facteurs et les multiples de nombres naturels
Un nombre naturel qu’on peut représenter par _____________________________________ dont la longueur de
côté est un nombre naturel est un carré parfait.
_________________________________________ est la racine carrée de l’aire du carré.
Ex 1 : Déterminez la racine carrée de 1296
1. Faites la _________________________________ :
2. Réécrivez les facteurs en _________________________________ :
Ex 2 : Déterminez la racine carrée de 1764 :
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Un nombre naturel qu’on peut représenter par __________________________________ dont la longueur du côté
est un nombre naturel est un cube parfait.
La _______________________________ est la racine cubique du volume du cube.
Ex 3 : Déterminez la racine cubique de 1728.
1. Faites la factorisation première :
2. Réécrivez les facteurs en ________________ groupes égaux :
Ex 4 : Déterminez la racine cubique de 2744
10
Du vocabulaire…
3
√2744
Dans l’exemple 1, √1296 est un radical dont le radicande est _____________.
Il est possible d’écrire cette racine carrée comme ___________________ avec l’indice de 2 mais c’est rarement écrit
comme ceci. L’indice du radical d’une racine carrée est implicite.
Ex 5 : Un cube a un volume de 4913 cm3. Quelle est l’aire totale de ce cube?
Ex 6 : Un cube a un volume de 12 167 m3. Quelle est l’aire totale de ce cube?
Devoir : p.146 #4 – 8, 10, 17
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
La révision: la multiplication des polynômes
Pour multiplier les polynômes :
-
multiplie les _____________________ numériques
-
multiplie les ____________________
(NB : selon la loi des exposants, quand on _________________des puissances ayant la _________________,
on _________________________________________)
Ex : Multiplie :
a)
(-3x2y3)(4xy2z)
b)
(4a3b2)(-2bc5)(2abc)
c)
1 2 3 3 
 a b  ab
 2
 5


d)
4x2(5xy3 - 4y)
12
La multiplication des polynômes :
(2x + y)(3x2 + 4y)
Ex : Multipliez et simplifiez :
a)
(x+3)(x-2)
b)
(x+2)(x-2)
13
c)
(2x2 – 4x)(3x – 7)
d)
(a + 3)2
e)
(b + 3)(2b2 + 3b + 5)
Devoir : p.186 # 8 – 17 (15  chaque 2e lettre)
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
La factorisation
Un rappel :
Un facteur est un nombre qu’on ______________________________________
_________________________________________________________________
Ex : _____________ est un facteur de 18
Si 2 chiffres ont le même nombre comme facteur, ce nombre est un facteur commun.
Ex : C’est quoi le plus grand facteur commun (PGFC) de 6 et 24?
6
24 
La factorisation est le processus de casser un nombre/expression en facteurs qui peuvent être multipliés ensemble
pour avoir le nombre ou expression original.
Sorte 1 : facteur commun
Ex : Factorisez 6x2 – 36x3y
Quoi faire :
1. Regardez les __________________________ et trouvez le _______________
2. Regardez les variables – s’il y a le même variable dans chaque terme, utilisez _____________________________.
3. _________________ chaque terme ___________________________________.
4. Vérifiez votre réponse!
15
Ex : Factorisez
a)
2x + 4x3
b)
4x2y2 – 8xy
c)
12a3b4 + 3ab
d)
16a2b – 4ab
e)
5x2 – 6y
16
f)
-6x + 6
f)
-6x + 6 (à l’aide des tuiles algébriques)
g)
6a2b + 3a – 12b
h)
a2bc3 – abc2 + ac2d
i)
2xa + 4xb – 6xc
Devoir : p.155 #12, 14 – 16
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Sorte 2 : Factorisation de trinôme de la forme ax2 + bx + c où a = 1 (« produit – somme »)
Ex : Factorisez :
x2 + 7x + 10
1) _______________________________
2) _______________________________
3) _______________________________
4) Trouvez les deux___________________________________________________.
5) Créez les _____________________.
6) Vérifiez!
Ex : Factorisez
a) x2 + 5x + 4
Vérifiez :
À l’aide des tuiles algébriques :
b) x2 + 7x + 12
18
c) a2 – 8a + 12
d) d2 – 5d + 6
e) y2 – 4y - 12
f) x2 – 5x + 36
g) w2 – 5w + 6
19
h) x2 + 4x – 21
i) b2 – 7b - 18
j) p2 + 9p + 5
k) m2 – 8 – 7m
l) – 2a + a2 – 8
m) 3c2 – 6c – 24
Devoir: p. 166 #10, 11, 13 – 15, 17, 19
Ou feuilles #36/37
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Sorte 3: La factorisation de trinômes de la forme ax2 + bx + c où a ≠ 1
(« produit – somme difficile »)
Méthode 1 : « ________________________________________ »
Ex : Factorisez :
a) 6p2 + 11p + 4
b) 4q2 – 5q – 6
21
c)
2 – 7t + 6t2
d)
4x2 – 14x + 10
Devoir : p.177 #10, 13, 15 – 19
(Q 13, 15, 18, 19 a,c,e,g seulement avec méthode 1)
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Sorte 3: La factorisation de trinômes de la forme ax2 + bx + c où a ≠ 1
(« produit – somme difficile »)
Méthode 2 : « _______________________________ »
Ex: Factorisez
6p2 + 11p + 4
a)
Étapes :
-
Déterminez le produit et la somme qu’on cherche et trouvez les deux facteurs qui marchent
-
Les deux __________________ deviennent les ___________________________ de vos fractions
-
Les ________________________ seront les ______________________________________________ (on ne peut
pas avoir les décimales quand on évalue les fractions)
-
Les ______________________ deviennent les ______________________ de “x” pour chaque binôme
-
Évaluez chaque fraction et la réponse sera l’autre partie du binôme (* Faites le “_____________________”!)
b) 2x2 + x – 1
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c) 10x2 + 11x – 6
d) 12s2 – 6 + s
Devoir: p.177 #13, 15, 18, 19 b, d, f, h (méthode 2)
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MA20SPAX – Les facteurs et les produits
Date: ______________________
Sorte #4: La factorisation d’une différence de 2 carrés parfaits
On peut factoriser un binôme à un produit de deux binômes s’il est une différence de deux carrés parfaits.
NB : Commencez en cherchant __________________________.
Ex : Factorisez
a)
x2 – 9
b)
x2 – 16
c)
x2 + 4
d)
16x2 – 9y2
25
e)
4p6 – 81y8
f)
4p4 – 1
g)
9a4 + 25b2
h)
4r3 – 4r
i)
8x2 – 2y2
NB : Si l’on factorise un binôme qui est une différence de deux carrés parfaits, on reçoit des ____________________.
Devoirs : p.194 #7,8, 10 – 13, 18
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Révision - Les polynômes