D12M - Le parc

BCPST 951/952/953
Pour le 24 février 2015
D12M Problème
Le but de ce problème est d'utiliser des intervalles de conance pour obtenir des approximations
numériques de certaines intégrales.
Partie 1 : approximations de
1.
π
On s'intéresse dansZ cette question à une fonction f continue et non constante sur l'intervalle
1
[0, 1]. on note I =
f (t) dt.
0
1.a
1.b
1.c
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1]. On pose Y = f (X).
Justier que Y admet une espérance et que E(Y ) = I . Justier également que Y admet une
variance non nulle σ 2 .
La fonction f étant supposée dénie comme une fonction Python, écrire une fonction Python
qui simule la variable aléatoire Y .
Soit (Yk ) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi que Y .
On introduit :
n
Mn =
et :
2.
1X
Yk
n k=1
v
u n
u1 X
Sn = t
(Yk − Mn )2
n k=1
Donner, en fonction de Mn , Sn et n, un intervalle de conance de niveau de conance 95%
pour I .
On va ici utiliser le résultat précédent pour chercher des approximations de π .
2.a
2.b
√
4 1 − x2 dx = π (on pourra utiliser un changement de variable).
0
√
On prend alors f (x) = 4 1 − x2 . Ecrire une fonction Python qui prend en paramètre
d'entrée un entier n et qui retourne les bornes d'un intervalle de conance pour π de niveau
de conance 95%
Montrer que
Z
1
Utiliser cette fonction pour les valeurs n = 10k avec k ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7} et donner à chaque
fois l'encadrement de π obtenu. Commenter ces résultats.
On va à présent tenter d'améliorer la précision de nos encadrements en utilisant une autre variable
aléatoire. On reprend la fonction
f de la question 2.b et les notations de la question 1 et on pose
Z = 21 f (X) + f (1 − X) .
3.a Quelle est la loi de 1 − X ?
3.b En déduire que E(Z) = π .
1
3.c Reprendre la méthode de la question 2 et l'appliquer à la fonction g(x) =
f
(x)
+
f
(1
−
x)
2
pour obtenir de nouveaux intervalles de conance avec les mêmes valeurs de n. Commenter.
3.d Tracer les graphes des fonctions f et g et expliquer pourquoi la méthode est plus ecace
avec g qu'avec f (s'intéresser qualitativement aux variances respectives de Y et Z )
2.c
3.
page 1 sur 2
TSVP
Partie 2 : approximation d'une intégrale généralisée
On souhaite dans cette partie obtenir des valeurs approchées de J =
Z
+∞
e−x dx.
3
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Justier que l'intégrale J est convergente.
Soit λ > 0 et soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Quelle
fonction hλ faut-il choisir pour que E(hλ (X)) = J ? Justier qu'alors hλ (X) admet une variance.
Ecrire une fonction Python qui prend en entrée un réel strictement positif lam et qui simule une
variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre lam.
En prenant λ = 1 et en simulant n = 10 000 000 variables aléatoires indépendantes de même loi
que hλ (X), donner un intervalle de conance pour J à un niveau de conance 0.95%.
On se demande à présent quel paramètre λ va donner l'intervalle de conance le plus ecace.
5.a Avec n = 10 000, représenter graphiquement l'amplitude de l'intervalle de conance en
fonction de la valeur de λ, pour des valeurs de λ entre 0.5 et 5.
5.b En fonction des résultats obtenus, aner l'intervalle de recherche pour trouver une valeur
de λ qui semble optimale à 0.1 près.
5.c Utiliser cette valeur de λ pour déterminer un intervalle de conance pour J avec n =
10 000 000. Commenter.
La bibliothèque scipy.integrate de Python propose la fonction quad qui fournit une valeur approchée de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle donné, ainsi qu'une majoration de l'erreur
commise lors de cette approximation. Exécuter le code suivant :
>>>
>>>
>>>
>>>
7.
from scipy . integrate import quad
from numpy import inf
from math import exp
quad ( lambda x : exp ( - x **3) ,0 , inf )
Confronter le résultat avec votre intervalle de conance.
On souhaite ici estimer la probabilité que l'intervalle de conance ne contienne pas la valeur
exacte de J (on prendra la valeur numérique obtenue à la question précédente comme valeur
exacte de J , l'erreur de l'approximation fournie par Python étant très inférieure aux amplitudes
de nos intervalles de conance). Ecrire une fonction Python qui produit 10 000 intervalles de
conance pour n = 1000 et avec la valeur de λ trouvée au 5.b, et qui évalue la probabilité que
l'intervalle de conance ne contienne pas J . Quelle valeur s'attend-on à trouver ? Le résultat
est-il conforme à cette prévision ?
page 2 sur 2
FIN