LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS POSITIFS PGCD : Plus Grand Commun Diviseur Activité n°1 : Rappel de vocabulaire Compléter les phrases suivantes avec les mots diviseur, multiple, divisible. 32 est un ……………………………………. de 4 car 32 4 8 5 est un …………………………………… de 15 car 15 5 3 12 est …………………………………...... par 2 et 4 car 12 2 6 et 12 4 3 7 est un …………………………………. de 21 mais pas de 15 45 est un …………………………………. de 3 et 9, mais pas de 7 18 est ……………………………………. par 1, 2, 3, 6, 9 et 18 Division euclidienne Divisons le nombre 32 par 14 diviseur dividende reste 3 2 - 2 8 4 1 4 2 quotient 32 14 2 4 Activité n°2 : diviseurs d’un nombre entier positif Chercher tous les diviseurs du nombre 12. Nombre Diviseur Explication 12 1 12 1 12 12 ……………………… ……………………… 12 ……………………… ……………………… 12 ……………………… ……………………… 12 ……………………… ……………………… 12 ……………………… ……………………… Le PGCD de deux nombres entiers positifs 1 LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS COURS Un nombre entier positif a est un multiple d’un nombre entier positif b si le reste de la division euclidienne de a par b est zéro. Un nombre entier positif d est un diviseur d’un nombre entier positif c si le reste de la division euclidienne de c par d est zéro. Un nombre entier positif a est divisible par d’un nombre entier positif b si le reste de la division euclidienne de a par b est zéro. Division euclidienne dividende diviseur reste quotient dividende = diviseur quotient + reste Application de l’activité n°2 Chercher tous les diviseurs du nombre 30. Nombre Diviseur Explication 30 1 30 1 30 30 ……………………… ……………………… 30 ……………………… ……………………… 30 ……………………… ……………………… 30 ……………………… ……………………… 30 ……………………… ……………………… 30 ……………………… ……………………… 30 ……………………… ……………………… Le PGCD de deux nombres entiers positifs 2 Activité n°3 : PGCD de deux nombres entiers positifs Les diviseurs de 12 sont (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12) Les diviseurs de 30 sont (1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30) Le PGCD (plus grand commun diviseur) de 12 et 30 est …………… PGCD (12 ; 30) = …………… Méthodes de calcul du PGCD de deux nombres entiers Méthodes des soustractions successives 30 – 12 = ………… donc PGCD (30 ;12) = PGCD (……… ;12) ………… – ………… = ………… donc PGCD (……… ;………) = PGCD (……… ;………) ………… – ………… = ………… donc PGCD (……… ;………) = PGCD (……… ;………) PGCD (……… ;………) = ………… Donc PGCD (12 ; 30) = ………… Méthode des divisions successives 30 12 ......... ......... 3 12 .......... ......... ......... 0 1 …… …… 2 …… . …… …… . …… PGCD (12 ; 30) = ………… Activité n°4 : Rendre une fraction irréductible Soit la fraction 12 , rendre cette fraction irréductible 30 12 ........ ........ 30 ........ ........ Sachant que PGCD (12 ; 30) = …………… 12 ........ ........ ........ 30 ........ ........ ........ Le PGCD de deux nombres entiers positifs 3 LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS COURS Le nombre c est un diviseur commun aux nombres entiers positifs a et b s’il divise à la fois a et b. Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres entiers positifs a et b est appelé PGCD de a et b. Il se note PGCD (a ; b). Recherche du PGCD de deux nombres entiers positifs par soustractions successives : Propriété : a et b étant deux nombres entiers positifs non nuls Si b est un diviseur de a, alors PGCD (a ; b) = b Si a>b, les diviseurs communs de a et de b sont les mêmes que ceux de la différence a – b La méthode de recherche du PGCD de deux nombres par soustractions successives utilise ces deux propriétés. Recherche du PGCD de deux nombres entiers positifs par divisions successives : On effectue les divisions euclidiennes successives jusqu’à trouver un reste nul. Application : Calculer le PGCD des nombres 448 et 280 en indiquant la méthode utilisée : Rendre irréductible la fraction 280 448 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Le PGCD de deux nombres entiers positifs 4