Laboratoire 4 MTH2210B, automne 2006

Département de mathématiques et de génie industriel
École Polytechnique de Montréal
CALCUL SCIENTIFIQUE POUR INGÉNIEURS
LABORATOIRE VIII
Directives: Cette séance de laboratoire vous permettra de faire l’étude d’un problème appliqué
menant à un système d’équations non linéaires. Cette séance vous permettra aussi de résoudre
des équations différentielles à l’aide de méthodes numériques. Vous devrez utiliser les fonctions
Matlab sysnl.m,rk4.m, bissect.m , newton.m , secante.m et ptfixe.m disponibles sur le
site Internet du cours. Rédigez et présentez votre rapport en utilisant la fonction publish de
Matlab. Voir le fichier DocdeTravailLab8.m.
1. Nous voulons un modèle de viscosité pour une solution de 2% de polyisobutylène dans du
primol 355, en utilisant les données expérimentales du tableau suivant1 :
γ̇i (s −1 )
0,0137
0,0274
0,0434
0,0866
0,137
0,274
0,434
0,866
1,37
2,74
4,34
5,46
6,88
µi (P a s)
3220,0
2190,0
1640,0
1050,0
766,0
490,0
348,0
223,0
163,0
104,0
76,7
68,1
58,2
Nous sommes intéressés par le modèle de Carreau qui est de la forme
µ(γ̇) = µ0 (1 + λ2 γ̇ 2 )
β−1
2
.
Les paramètres µ0 , λ et β sont à déterminer en fonction des mesures expérimentales. Un
moyen d’y parvenir consiste à utiliser une méthode de moindres carrés qui permet de
minimiser la distance entre les points de mesure et la courbe représentée par le modèle de
Carreau. Nous sommes donc amenés à rechercher les valeurs minimales de la fonction de
moindres carrés
!2
13
β−1
1X
2
2 2
F (µ0 , λ, β) =
µ0 1 + λ γ̇i
− µi .
2 i=1
La résolution du problème de moindres carrés montre que les trois équations algébriques
1
Référence: P. Carreau, D. De Kee, R. Chhabra, Rheology of Polymeric Systems: Principles and Applications
qui nous permettront de trouver les paramètres du modèle de Carreau sont données par:
13 X
β−1 β−1
2
2 2 2
− µi = 0;
1 + λ γ̇i
µ0 (1 + λ γ̇i )
2
2
i=1
13
X
β−3 β−1
2
γ̇i 2 1 + λ2 γ̇i 2
µ0 (1 + λ2 γ̇i 2 ) 2 − µi = 0;
i=1
13
X
β−1 β−1
2
ln (1 + λ2 γ̇i 2 ) 1 + λ2 γ̇i 2
µ0 (1 + λ2 γ̇i 2 ) 2 − µi = 0.
i=1
(a) On désire utiliser la méthode de Newton (cf. fonction sysnl de Matlab) pour trouver
les paramètres µ0 , λ et β. Comme d’habitude, il est difficile de choisir une bonne
approximation initiale. Dans notre cas, nous allons utiliser le modèle d’Ostwald-De
Waele,
µ(γ̇) = µ0 γ̇ β−1 ,
où la consistance µ0 = 2,283 398 537×102 et l’indice de pseudoplasticité β = 0,379 737 615.
Utiliser la fonction sysnl de Matlab pour trouver les paramètres µ0 , λ et β en partant
des approximations initiales [228,34 100 0,38], [228,34 20 0,38]et [228,34 1 0,38].
Commenter les résultats obtenus.
(b) Comparer, à l’aide d’un graphique en échelle logarithmique la courbe du modèle de
Carreau, avec les données expérimentales. Commenter les résultats obtenus.
Le rapport doit contenir: le programme Matlab, les fichiers de résultats (resultat.dat) de
la fonction de la bibliothèque numérique utilisée, les approximations des paramètres et la
discussion à la question (a); le programme Matlab, le graphe produit par ce programme et
la discussion à la question (b).
2. Un archer lance une flèche à la verticale à partir d’une hauteur de 6 pi à une vitesse de
2
200 pi/s. On note y(t) la hauteur de la flèche au temps t et k(y 0 (t)) est la résistance de
l’air. La deuxième loi de Newton nous donne l’équation différentielle
my 00 (t) = −k y 0 (t) y 0 (t) − mg,
où k = 0,83 × 10−6 lb s2/pi2 , m = 0,001781163 lb s2/pi et g = 32,17 pi/s2 . Dans cet exercice,
on cherche à déterminer le temps tf où le projectile touchera le sol (y = 0). On sait par
expérience que le projectile prend autour de 11 secondes pour atteindre le sol.
(a) Transformer l’équation différentielle d’ordre 2 en un système de 2 équations différentielles d’ordre 1 et donner les conditions initiales applicables au système. Écrire une
fonction Matlab contenant la fonction associée au membre de droite de ce système
équations différentielles d’ordre 1 dont l’appel sera:
f = eqdprojectile(t, y)
Voir par exemple le fichier eqdiff.m de la bibliothèque numérique du cours.
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(b) Télécharger la fonction hauteurfinale.m. Pour une valeur du temps final tf , cette
fonction permet de résoudre à l’aide la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4, le système
obtenu en (a) sur l’intervalle [0 , tf ] et retourne une approximation de la valeur de la
hauteur du projectile y(t) au temps final tf .
En vous servant de la fonction hauteurfinale.m, écrire un programme Matlab qui
permet de déterminer une approximation du temps tf où le projectile touche le sol.
Identifier l’équation non linéaire et proposer une méthode de résolution appropriée
pour cette équation non linéaire.
(c) Pour la valeur de tf obtenue en (b), résoudre le système obtenu (a) pour t ∈ [0, tf ] par
la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 en utilisant un pas de temps h = 0,01. Sur un
même graphique (en identifiant clairement les différentes courbes) tracer les fonctions
y(t) et y 0 (t).
i. À partir de ce graphique, estimer la vitesse de la flèche au moment où elle touche
le sol.
ii. En vous servant des résultats obtenus, écrire un programme qui permet de déterminer la hauteur maximale atteinte par la flèche et le temps correspondant. Quelle
est l’accélération de la flèche à ce moment? Commenter les résultats obtenus.
Le rapport doit contenir: la fonction Matlab eqdprojectile.m, le programme Matlab,
le fichier de résultats (resultat.dat) de la fonction de la bibliothèque numérique utilisée et
l’approximation de tf obtenue à la question (b); le programme Matlab et le graphe produit
par ce programme à la question (c); la vitesse de la flèche au sol à la sous-question (i) et
finalement, le programme Matlab, la valeur de la hauteur maximale, les valeurs du temps
et de l’accélération correspondante et les commentaires à la sous-question (ii).
Donatien N’Dri & Steven Dufour