sur la demonstration des formules du demi-angle en - E

SUR LA DEMONSTRATION DES FORMULES
DU DEMI-ANGLE EN TRIGONOMÉTRIE PLANE
Autor(en):
Redl, Frz.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 2 (1900)
Heft 1:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
24.05.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-3565
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ce
(c
ce
polaires de deux points quelconques par rapport aux ellîp
soïdes du faisceau F se coupent suivant une gerbe de droites
parallèles. »
Pour terminer, nous mentionnons encore les propositions
suivantes :
i° Les sommets de tous les parallélipipèdes circonscrits à un
ellipsoïde et dont les faces sont tangentes a l'ellipsoïde aux
aextrémités de trois diamètres conjugués quelconques sont tous
« situés sur un ellipsoïde concentrique homothétique au premier. »
(( 2° Les sommets de tous les cônes circonscrits à un ellipsoïde
« qui limitent avec les plans de leurs ellipses de contact des
« solides de volume donné, sont tous situés sur un second ellip
(( soïde, concentrique, homothétique au premier. » ißeye.)
Pour démontrer ces Jeux propositions, nous n'avons qu'à
allier les ellipsoïdes à des sphères. Dans le premier cas nous
trouverons comme lieu des sommets des cubes correspondant
aux parallélépipèdes, une sphère concentrique à la première ; et
de même les sommets des cônes circonscrits à la sphère corres
pondant aux cônes circonscrits à Y ellipsoïde sont situés sur une
sphère concentrique à la première.
ce
ce
Dr
Kilbinger (Mulhouse)
SUR LA DEMONSTRATION
DES FORMULES DU DEMI-ANGLE
EN TRIGONOMÉTRIE PLANE
Le théorème de Larnot résout en principe le problème fonda
mental de la Trigonométrie, qui consiste à déterminer les angles
d'un triangle dont on connaît les trois côtés. Toutefois la for
mule obtenue ne se prête guère au calcul logarithmique ; aussi
en déduit-on d'ordinaire les formules dites du demi-angle, en
avant recours à des transformations algébriques.
C'est, je crois, à M. Fred. Mcyer, professeur au Gymnase de
Halle, qu'on doit le premier essai ) d'arriver directement à ces
dernières formules, par des considérations purement géomé
triques.
Un peu plus tard M. Korschel donna (") une démonstration
analogue à celle de M. Me ver.
La méthode que je me propose d'exposer ici et qui conduit
aux formules du demi-angle par une voie purement géométrique,
f1)f
1
nie semble plus importante que celle de Mever, laiit au point de
vue pédagogique, qu'au point de vue scientifique, lin effet, elle
n'exige aucun théorème auxiliaire ; la démonstration est absolu
ment analogue pour les trois iormules et, correspondant ainsi à
leurs constructions, met bien en lumière leur étroite parenté ; la
ligure sur laquelle elle se base a une grande importance géomé
trique, puisque Je triangle AJ3C est précisément le triangle ayanl
()?()., ; enfin,
pour sommets les pieds des hauteurs du triangle
O1O
1
par cette méthode il est toujours facile de retrouver la démons
tration de Tune quelconque des formules. Mais, arrivons au fait.
Menons les bissectrices tant intérieures <pf extérieures du
triai! g le donné ABC (voir la ligure); soit AO 1? 80, et (XX les
1
(') Voir sa note publiée dans la
îiimée 1887, p. '.>,() 5 cl 'à(')6.
(")
ZeiiscJirijl
/'.
math. n. iiulurw. l'iiterriclit.
(lïideiT. Zcilsclirifl fur dus lieahcliulwesen, année
189'î, ])
.
/|Gd,
\(\\.
trois bissectrices intérieures,
triées extérieures, soient encore
triangle ABC.
O2O
2
O3.
030
3
0 et
1
6
cc
?,
-1
-
?
,
0^ ies trois bissee
il
ies demi-angles du
il suffit de comparer les
?,
deux triangles semblables OCO, et OB(X le premier nous donne
°OB
„
„ 7. en
sm ? = ??? on en déduit,
et le deuxième
sm ? =
00.,
00,
i. Pour trouver
la valeur de sin
2
;
.
OC
a
..
12
a
.
,
7T- ,
;
?
'
2
multipliant membre
à
membre
:
Si, d'autre part, on projette les points 0 et
cotés CB ou CA, on voit que
O3O
3
sur Yan des
cm désignant par 5 le demi-périmètre du triangle ; de même si
l'on projette les points 0 et 0,, sur l'un des côtés BA ou BC, on
voit que
Substituant
en (in
ces
valeurs dans l'expression de
siir
-^?
?
on
a
:
2. En employant les triangles OCO
d'une façon analogue à la forma le de cos
On a^ en effet, dans le triangle OCO.,
2
et dans le
triangle C^BO.,
d'où, par multiplication
:
:
et C^BO,, on arrivera
2
?
2
:
.
et
Projetant les points
sur BC ou BA, on trouve :
O1O
1
ce
sur CB ou CA, les points 0 et
O2O
2
0,
qui donne la formule cherchée
?
(11
de considérer les trian
Enfin, pour trouver tg
, il sa
donnent
:
gles OCO., et OjCCp qui nous
3.
?
1
mais
ainsi qu'on le reconnaît aisément par projection
;
cToù
il
suit
On obtiendrait plus rapidement cette dernière formule en
formant le quotient
?
COS~
?
,
mais je tenais tout dabord
a
montrer
la généralité de la méthode, en rappliquant aussi à ce cas, et à
indiquer ensuite un nouveau moyen de déterminer p ; il suffit,
en elFet, pour l'obtenir de remplacer dans la dernière formule
tg
a
o
? par ? ?
?
..
-
?
Reste maintenant
à
exposer brièvement que celte méthode
fournit un moyen mémnotechnique pour retrouver ces formules
il repose sur la définition même des fonctions trigonométriques.
Par exemple : pour trouver le second triangle qui, avec 0C0.,,
;
nous donnera la démonstration de la formule du sin
?
?,on
longe dans le triangle 0C0.,, le côté opposé
et l'on obtient le triangle OBO 3 . Pour cos
coté adjacent
l'angle droit.
à?et
l'hypoténuse et pour tg
à
?
?,
? son pro
'A
et l'hypoténuse,
prolongerait le
les deux cotés de
Bien que ce qui suit n'appartienne plus, à vrai dire, à mon
sujet, le lecteur me permettra d'indiquer, en terminant, une
méthode nouvelle, à ce que je crois, pour déterminer le rayon du
cercle ex-inscrit au triangle donné ABC. Calculons, par exemple,
du cercle de centre 9
le rayon
Menons 0.,X parallèle a AO, ; on voit alors que
p9p
09.0
.
9
On obtiendra F.,X en remarquant que les triangles sembla
bles OFA et 0.,F,X sont homothétiques, et ont pour centre d ho
mothétie P et pour rapport d'homothétie
? =--
;
le coté F.,X
est donc riioniologue de FA, et comme ce dernier égale lui-même
(s
a) on a
?
«
rl'nn hnnlmiimrï
Frz. Redl (Viehofen, Basse-Autriche )
NOTION
DE
L' INFINI
EN GÉOMÉTRIE ÉLÉM EN TAIRE
A
PROPOS D'UN ARTICLE DE M. RIPERT
La Géométrie élémentaire a heureusement échappé jusqu'ici
aux innovations qui, sous couleur de progrès scientifique, on!
entraîné les mathématiques spéciales dans une voie dangereuse.
Aussi suis-je bien loin de partager l'opinion de M. Ripert sui
l'introduction, dans la Géométrie élémentaire, de l'infini, au sem
crue M. Ripert donne à ce mot.
1
(1)(
)
Voir
n» '2, 9J
année, de Y Enseignement mathématique (i5 mars 1900)