Chapitre II Fonctions circulaires Première STI Fonctions trigonométriques Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé O,~i, ~j . Le plan est orienté dans le sens direct (sens anti horaire). Toutes les mesures d'angles seront en radian. 1 Cercle trigonométrique Dénition 1 : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, dit aussi sen trigonométrique. ~ . Une mesure en radian de l'angle A tout point M du cercle, on associe l'angle ~i, OM _ ~ ~i, OM est égale à la distance algébrique curviligne OM. 2π 3 3π 4 5π 6 √1 3 2 √ 2 2 π 3 π 4 π 6 0.5 √ 3 − 2 −1 √ 2 − 2 √ −0.5 0 √ 2 2 0.5 3 1 2 −0.5 5π − 6 − 3π 4 2π − 3 sebjaumaths.free.fr √ 2 − 2 √ 3 − 2 − − − π 6 π 4 π 3 −1 page 1 Lycée Jean Rostand Chapitre II Fonctions circulaires Première STI Propriété 1 : ~ ~ Pour M un point sur le cercle, on note x une mesure de l'angle i, OM . Pour k ∈ Z , ~ le nombre x + 2kπ est aussi une mesure de l'angle ~i, OM . Il y a donc une innité de mesure pour un même angle, toutes égales à 2π près. Dénition 2 : ~ ~ Pour M un point sur le cercle, on appelle mesure principale de l'angle i, OM la mesure x de cet angle telle que x ∈ ]−π, π] . Cette mesure est unique. Propriété 2 : ~ Pour M et M 0 deux points sur le cercle, avec x une mesure de l'angle ~i, OM et x0 une ~ 0 . Une mesure de l'angle OM ~ , OM ~ 0 est x0 − x + 2kπ où mesure de l'angle ~i, OM k ∈ Z. 2 Coordonnées polaires Dénition 3 : Pour M un point du plan,on note [R, θ] les coordonnées polaires de M , où R = OM et θ ~ . est une mesure de l'angle ~i, OM Propriété 3 : Pour M (x, y), diérent de O, on note [R, θ] les coordonnées polaires de M , on a : R= p x2 + y 2 et x cos (θ) = R sin (θ) = y R Propriété 4 : Pour M [R, θ], on note (x, x) les coordonnées cartésiennes de M , on a : : x = R cos (θ) y = R sin (θ) sebjaumaths.free.fr page 2 Lycée Jean Rostand Chapitre II 3 Fonctions circulaires Première STI Fonction trigonométrique Dénition 4 : ~ . Pour M un point sur le cercle, avec x une mesure de l'angle ~i, OM L'abscisse du point M est notée cos(x) ( se lit cosinus de x ). L'ordonnée du point M est notée sin(x) ( se lit sinus de x ). Dénition 5 : On appelle cosinus la fonction dénie sur R qui à x associe cos(x). On appelle sinus la fonction dénie sur R qui à x associe sin(x) . Tableau des valeurs usuelles : x 0 cos(x) 0 sin(x) 1 π √6 3 2 1 2 π √4 2 √2 2 2 π 3 1 √2 3 2 π 2 π 0 −1 1 0 Propriété 5 : Les propriétés suivantes sont vraies pour tout x ∈ R et pour tout k ∈ Z : • −1 6 cos(x) 6 1. • cos(π + x) = − cos(x). • −1 6 sin(x) 6 1. • sin(π + x) = − sin(x). • cos2 (x) + sin2 (x) = 1. • cos(π − x) = − cos(x). • cos(x + 2kπ) = cos(x). • sin(π − x) = sin(x). π − x = sin(x). • cos 2 π • sin − x = cos(x). 2 π • cos + x = − sin(x). 2 π • sin + x = cos(x). 2 • sin(x + 2kπ) = sin(x). • cos(−x) = cos(x). • sin(−x) = − sin(x). • cos(π − x) = − cos(x). • sin(π − x) = sin(x). sebjaumaths.free.fr page 3 Lycée Jean Rostand Chapitre II 4 Fonctions circulaires Première STI Équations trigonométriques Propriété 6 : ∀α ∈ R x = α + 2kπ k∈Z x = −α + 2kπ x = α + 2kπ k∈Z x = π − α + 2kπ • cos(x) = cos(α) ⇔ • sin(x) = sin(α) ⇔ sebjaumaths.free.fr page 4 Lycée Jean Rostand