2.1 Logique - Olivier Lader

TSI 1
Logique et raisonnements
2016/2017
TD2 : Logique et raisonnements
jeudi 15 septembre 2016
2.1
Logique
Exercice 2.1. Basile a écrit un chiffre sur une feuille de papier. Sami, qui ne voit pas ce chiffre,
demande Basile (qui ne ment jamais) : Est-il vrai que le chiffre écrit est strictement inférieur à
8 ou divisible par 3 ?” Basile répond négativement. Quel chiffre a-t-il écrit ?
Exercice 2.2. Donner la négation des phrases suivantes :
1. Dans toutes les prisons tous les détenus détestent tous les gardiens
2. S’il pleut, je prend mon parapluie.
3. Chaque été, il pleut au moins un jour en Bretagne.
4. L’été dernier, il a plu tous les jours en Bretagne.
Exercice 2.3. Soit a, b et c trois réels. Écrire la négation des propositions suivantes :
1. a ≤ −2 ou a ≥ 3 ;
2. a ≤ 5 ou a > −1 ;
3. a ≤ 5 et 3 > c.
Exercice 2.4. Énoncer la négation des assertions suivantes :
1. Tout triangle rectangle possède un angle droit
2. Pour tout entier x il existe un entier y tel que pour tout entier z la relation z < y implique
la relation z < x + 1.
3. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, f (x) = f (y) ⇒ x = y
Exercice 2.5. Quatre fiches sont placées sur une table. Sur chaque fiche sont écrits une lettre
(sur une face) et un chiffre (sur l’autre face). On peut lire sur deux de ces fiches les lettres A et
B et sur deux autres les nombres 4 et 5. Combien de fiches faut-il retourner au minimum pour
vérifier si l’énoncé suivant : ”S’il y a un nombre pair sur un côté d’une de ces quatre fiches, alors
il y a une voyelle sur l’autre côté de cette fiche” est vrai ou faux ?
Exercice 2.6. Ecrire formellement les phrases suivantes puis leur négation :
1. Le mercredi, je vais au théâtre ou au cinéma.
2. Je lis au moins un livre par semaine.
3. Certaines années, je vais à la bibliothèque tous les lundi.
4. L’application f est l’application nulle.
5. Certains nombres réels sont strictement supérieurs à leur carré.
6. Aucun entier n’est supérieur à tous les autres.
7. Entre deux nombres réels, on peut toujours trouver un rationnel.
8. Tous les nombres réels ne sont pas des quotients d’entiers.
9. Toutes les boules de l’urne sont rouges.
10. Certains nombres entiers sont pairs.
11. Chaque nombre réel est inférieur à au moins un entier.
12. Tout nombre réel peut être dépassé par un multiple entier d’un nombre réel non nul donné.
13. Il y a un mouton écossais dont au moins un côté est noir.
1
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Lycée Heinrich-Nessel
2016/2017
Exercice 2.7. Soit E l’ensemble de tous les élèves de CPGE de France. Soit G le sous-ensemble
des garçons. Soit F le sous-ensemble des filles. A tout élément x de E, on associe m(x) sa taille,
p(x) son poids, a(x) son âge, b(x) sa mention au baccalauréat. Formaliser les phrases suivantes
puis écrire leurs négations :
1. Toutes les filles de CPGE ont eu le bac avec mention TB
2. Tous les garçons de CPGE ont eu le bac avec mention B ou TB
3. Tous les garçons de CPGE qui pèsent plus de 80kg mesurent plus d’1m80
4. Certaines filles de CPGE ne sont pas majeures
5. Aucun garçon de CPGE ne pèse plus de 100kg
6. Les élèves de CPGE ayant eu mention TB au baccalauréat et qui sont majeures mesurent
plus d’1m75 ou pèsent moins de 75kg
7. Si un élève de CPGE pèse plus de 90kg alors c’est un garçon ayant le baccalauréat avec
mention B
8. Tous les garçons de CPGE sont plus grands que certaines filles de CPGE.
9. Certaines filles de CPGE sont plus grandes que certains garçons de CPGE.
10. L’élève de CPGE le plus petit est un garçon de 19 ans ayant son baccalauréat avec mention
TB
Exercice 2.8. A l’aide de tables de vérités, justifier si les affirmations suivantes sont exactes :
1. P et (P ou Q) est la même chose que P.
2. P ou (P et Q) est la même chose que P.
3. (P ⇒ Q et Q ⇒ R) est la même chose que P ⇒ R.
4. (P ⇒ Q) ⇒ R n’est pas la même chose que P ⇒ (Q ⇒ R)
5. P ou NON P est toujours vraie.
6. NON(P et NON P) est toujours vraie.
7. P ⇒ (Q ⇒ P) est toujours vraie.
8. NON P ⇒ (P ⇒ Q) est toujours vraie.
9. (NON P ⇒ P) ⇒ P est toujours vraie.
10. ((NON P ⇒ Q) et (NON P ⇒ Q)) ⇒ P est toujours vraie.
Exercice 2.9. Les raisonnements suivants sont-ils corrects :
1. Tous les élèves s’appellent Bob. Or certains Bob ne sont pas doués. Donc certains élèves
sont doués.
2. Tous les élèves doués s’appellent Bob. Or, Bob n’est pas doué. Donc, Bob n’est pas un
élève.
3. La plupart des Bob ne sont pas doués. Or, tous les élèves sont doués. Donc aucun élève ne
s’appelle Bob.
4. La plupart des élèves s’appellent Bob. Or tous les Bob sont doués. Donc certains élèves
sont doués.
5. Bob est doué. Or tous les élèves sont doués. Donc Bob est un élève.
Exercice 2.10. Ecrire la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore : si ABC est
un triangle rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2
Exercice 2.11. Ecrire la réciproque et la contraposée du théorème de Thalès : Soient D et D0
deux droites concourantes en A. Soient B et C deux points de D distincts et différents de A.
Soient B 0 et C 0 deux points de D0 distincts et différents de A. Si les droites (BB 0 ) et (CC 0 ) sont
AB 0
BB 0
parallèles, alors AB
AC = AC 0 = CC 0
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2.2
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Raisonnements
Exercice 2.12 (Énigmes mathématiques diaboliques de Sylvain Lhullier).
1. Posons a = 1 et b = 1.
a=b
(1) Évident !
a2 = a b
(2) On multiplie par a les deux membres.
a2 − b2 = a b − b2
(3) On retranche b2 aux deux membres.
a2 + a b − a b − b2 = b(a − b)
(4) On ajoute 0 = a b − a b à gauche et
on met b en facteur à droite.
a(a + b) − b(a + b) = b(a − b)
(5) On effectue deux mises en facteur.
(a + b) (a − b) = b(a − b)
(6) On met en facteur a + b à gauche.
a+b=b
(7) On simplifie.
2=1
(8) Et on crie à l’arnaque...
Oui, mais où ?
2. * Démontrer que quels que soient a et b deux nombres, on a l’égalité (a+b) (a−b) = b (a−b)
si et seulement si a = b ou a = 0.
3. Voici un autre raisonnement faux :
Pour tout x dans R : x2 ≥ 0
√
√
Pour tout x dans R : x2 ≥ 0
Pour tout x dans R : x ≥ 0
(1) Résultat bien connu.
(2) On applique la racine carrée des deux côtés.
(3) On simplifie l’expression.
Où est l’erreur ?
4. Démontrer que pour tout x dans R, x2 + 4x + 4 est positif.
Exercice 2.13. Démontrer que l’affirmation suivante est fausse.
Pour tout nombres réels a et b, on a (a + b)2 = a2 + b2 .
Exercice 2.14. Sur l’île de menteurs et des honnêtes les habitants A1 , A2 , . . . , An se
rencontrent. L’habitant A1 dit : ”A2 est un menteur”, l’habitant A2 dit : ”A3 est un menteur”,
. . ., l’habitant An dit : ”A1 est un menteur”. Montrer que n est pair.
Exercice 2.15. Démontrer les assertions suivantes à l’aide du raisonnement de votre choix :
1. Si a, b, c, d, e, f , g, h, i sont 9 entiers naturels tels que a + b + c + d + e + f + g + h + i = 90
alors il en existe trois dont la somme est supérieure ou égale à 30.
2. Soient p1 ,. . . ,pk des entiers naturels premiers. On pose N = p1 × · · · × pk + 1. Alors N
n’est divisible par aucun des entiers pj .
3. Soit n un entier naturel. Alors
21n−3
4
et
15n−2
4
ne sont pas simultanément entiers.
4. La somme d’un nombre réel irrationnel et d’un nombre rationnel est nombre réel irrationnel.
3
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5. Soit a ∈ R. Alors (∀ > 0, a ≤ ) ⇒ a ≤ 0
6. Soient A, B et M trois points du plan tels que AB = 7, AM = 5 et BM = 4, 9. Le point
M appartient-il au cercle de diamètre [AB] ?
7. Soient a, b, c, d quatre réels tels que 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 1. Alors il existe deux de ces
réels dont la différence est inférieure ou égale à 13 .
8. La racine carrée d’un nombre réel irrationnel est un nombre réel irrationnel.
9. ∀ x ∈ [0; +∞[, ∀ y ∈ [0; +∞[,
x
1+y
=
y
1+x
⇒x=y
10. A-t-on ∀ n ∈ N, ∃ a ∈ N, ∃ b ∈ N, ∃ c ∈ N, n = a2 + b2 + c2 ?
11. On a
ln(2)
ln(3)
6∈ Q
Exercice 2.16. Trouver l’erreur dans le raisonnement ci-dessous :
« Si x2 + x + 1 = 0 alors x(x2 + x + 1) = 0.
En développant, on obtient x3 + x2 + x = 0 et donc x3 = −x2 − x.
Or, puisque x2 + x + 1 = 0, c’est que x2 = −x − 1.
On en déduit que x3 = −(−x − 1) − x = 1 et donc que x = 1.
En remplaçant dans l’équation x2 + x + 1 = 0, on en déduit que 3 = 0. »
Exercice 2.17. Trouver l’erreur dans le raisonnement ci-dessous :
« On a x2 = x + x + · · · + x (x termes).
On dérive : cela donne 2x = 1 + 1 + · · · + 1
Donc, 2x = x.
D’où 2 = 1. »
(x termes).
Exercice 2.18. Trouver l’erreur dans le raisonnement ci-dessous :
.
« On sait que pour tout n non nul on a 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2
(n−1)n
Donc, 1 + 2 + · · · + n − 1 = 2 .
On ajoute 1 à cette équation : cela donne 1 + 2 + · · · + n − 1 + 1 = (n−1)n
et donc 1 + 2 + · · · + n =
2
(n−1)n+2
.
2
En comparant avec la relation de départ, on obtient n(n+1)
= (n−1)n+2
ce qui se simplifie en
2
2
2n = 2, c’est-à-dire pour tout n non nul, on a n = 1. »
Exercice 2.19. Trouver l’erreur dans le raisonnement ci-dessous :
« Montrons que A = 1−1+1−1+1−1+· · · vaut 12 . En effet A = 1−(1−1+1−1+· · · ) = 1−A.
Donc 2A = 1 c’est-à-dire A = 21 .
Posons alors B = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · et montrons que B = 14 .
En effet, on a
B = 1 − (2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + · · · )
= 1 − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · )
= 1 − (B + A)
Donc, 2B = 1 − A, c’est-à-dire B = 14 .
Calculons alors C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · .
On remarque que C − B = 4 + 8 + 12 + · · · = 4(1 + 2 + 3 + · · · ) = 4C.
1
Donc, 3C = −B. Ainsi, C = − 12
»
Exercice 2.20. Trouver l’erreur dans le raisonnement ci-dessous :
« On sait que 2 = 1 + 1. Multiplions les deux membres par (2 − 1).
On a (2 − 1) × 2 = (2 − 1) × (1 + 1). Développons :
2×2−1×2=2×1+2×1−1×1−1×1
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On retranche aux deux membres 1 × 2. On obtient
2×2−1×2−1×2=2×1−1×1−1×1
On factorise :
2 (2 − 1 − 1) = 1 (2 − 1 − 1)
puis on simplifie, ce qui donne 2 = 1 »
Exercice 2.21. Formaliser : « Certains entiers naturels ne sont pas pairs », « Chaque nombre
réel est inférieur à au moins un nombre entier »
√
√
Exercice 2.22. Sachant que 2 6∈ Q, montrer que : ∀ x ∈ Q : x + 2 6∈ Q.
Exercice 2.23. Montrer que : ∀ n ∈ N :
2.3
n(n2 +1)
2
∈ N.
Raisonnement par récurrence
– on ne peut pas déplacer plus d’un disque à
la fois ;
Exercice 2.24 (Tours de Hanoï). Le jeu des
tours de Hanoï est composé de trois tours et
quelques disques de taille différente posés les
uns sur les autres sur une des tours (comme
sur le dessin). Le but du jeu est de déplacer
les disques d’une tour sur l’autre en respectant les règles suivantes :
– on ne peut placer sur un disque un autre qui
est plus grand (on suppose que cette condition est vérifiée sur la tour de départ).
Montrer que le but du jeu peut être atteint
quel que soit le nombre de disques
Exercice 2.25. Montrer que pour tout entier naturel n, on a
1. 10n − 1 est divisible par 9 ;
2. si n ≥ 5, alors 2n > n2 ;
3. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 est divisible par 9 ;
4. 32n+2 + 8n − 9 est divisible par 16 ;
5. abn + cn + d est divisible par un entier naturel m si a + d, c(b − 1) et bd − c − d sont
divisibles par m.
Exercice 2.26. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
a) 1 + 2 + . . . + n =
n(n+1)
2
;
b) 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1 = n2 ;
c) 1 + 4 + . . . + n2 =
d) 1 + q + . . . + q n =
n(n+1)(2n+1)
6
1−q n+1
1−q .
;
Exercice 2.27 (Olympiades, 2003). Les pages d’un livre sont numérotées de 1 à n (on rappelle
que la page numérotée 1 est toujours une page de droite). On additionne les numéros de toutes
les pages et on trouve un total égal à 2003. Mais deux pages numérotées sont restées collées et
leurs numéros n’ont pas été comptés.
Quels sont le nombre de pages du livre et les numéros des pages collées ?
Exercice 2.28. Soit (un ) la suite définie par u0 = 1, u1 = −5 et pour tout n ∈ N, un+2 =
5un+1 − 6un . Montrer que pour tout n ∈ N , on a un = 4 × 2n+1 − 7 × 3n
Exercice 2.29. Trouver l’erreur dans le raisonnement ci-dessous :
« Soit a ∈]0; +∞[. Montrons que ∀ n ∈ N, an = 1 par récurrence forte.
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Initialisation : On a bien a0 = 1.
Hérédité : Supposons que ak = 1 pour tout k ≤ n et montrons que an+1 = 1. En effet,
an+1 = an × a1 = 1 × 1 = 1. »
Exercice 2.30. *
1. Expliquer comment partager un carré en quatre carrés. En 6. En 7. En 8. En 9. En 10.
2. Est-il possible de partager un carré en 3 carrés ? En 5 ?
3. Montrer qu’il est toujours possible de partager un carré en n carrés si n ≥ 6.
2.4
Analyse synthèse
Exercice 2.31. * On a un tas de 25 cailloux. On le divise en deux et on note sur le tableau le
produit des nombres de cailloux dans les deux tas obtenus. On répète le procédé jusqu’à obtenir
25 cailloux séparés (en notant à chaque fois le produit). Nous allons montrer que la somme de
tous les nombres notés sera 300 :
Analyse Notons N25 la somme de tous les nombres notés et, plus généralement, Nn la somme
de tous les nombres notés en commençant avec n cailloux. A priori, ces nombres dépendent
des divisions successives.
1. Vérifier que N2 et N3 ne dépendent pas des divisions successives et les déterminer.
Convention : N1 = 0.
2. Soit n ∈ N∗ et 1 ≤ k < n. Exprimer Nn en fonction de n, k, Nk et Nn−k .
3. En déduire que Nn = n − 1 + Nn−1 pour tout n ≥ 2.
4. Montrer que si
(
N1
Nn
=1
= n − 1 + Nn−1
pour tout n ≥ 2
n(n−1)
pour tout n ∈ N∗ .
2
Nn = n(n−1)
pour tout n ∈ N∗ .
2
alors Nn =
Synthèse Posons
1. Montrer que pour tout 1 ≤ k < n, la suite (Nn )n∈N∗ vérifie la relation trouvée dans
la question 2 de l’analyse.
2. En déduire que la somme de tous les nombres notés ne dépend pas des divisions
successives et que N25 = 300 effectivement.
Exercice 2.32. Soit f : R → R une fonction telle que pour tout nombre réel x, on ait
f (x) + xf (1 − x) = 1 + x
(P)
1. Déterminer f (0), f (1).
2. À l’aide de la relation (P ) en substituant x par 1 − x, exprimer f (1 − x) en fonction de x
et f (x).
3. Déterminer f (x) pour tout réel x.
Exercice 2.33. Soit f : R+ → R une fonction dérivable telle que f (0) = 0 et pour tout x ≥ 0,
0 ≤ f 0 (x) ≤ f (x).
1. Dresser le tableau de variations de la fonction g : R+ → R définie par g(x) = f (x)e−x pour
tout x ≥ 0.
2. En déduire f (x) pour tout x ≥ 0.
6