La répartition modulo 1 de la suite x n et les ensembles de Cantor

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ICHEL M ENDÈS F RANCE
La répartition modulo 1 de la suite xθn et les ensembles de Cantor
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 18, no 2 (1964-1965), exp. no 22,
p. 1-4
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Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des
année, 1964/65,
18e
22-01
nombres)
n° 22
10 mai
RÉPARTITION
LA
MODULO 1
DE LA SUITE
1965
x03B8n
ET LES ENSEMBLES DE CANTOR
par Michel
exposé,
Dans cet
Les théorèmes
Rappelons
on
de
et
Weyl
Koksma.
la définition d’une suite
(R/Z)N
élément de
un
o
Si
on
dit que la suite
Une famille de suites
de la forme
e
fixé,
les nombres
x .
(xOn)
la suite
[2]. Depuis,
ces
x >
ans
résultats
lesquels
pour
plus tard,
ont
dimension de Hausdorff
ont
entrepris
une
=
modulo 1
et
3té
0
>
1 ’.
la
mesure
de
est la famille des suites
Dès 1916, WEYL démontre que
équirépartie
modulo 1
KOKSMA démontre que
pour presque tous
étant positif
x
modulo 1
pour presque tous les nombres
précisés,
et l’ensemble des
et TAYLOR
est mal
une
u
couples
fixé,
e
>
(x ~ e) ,
équirépartie modula 1 , a donné lieu
établissent dans [3] que l’ensemble des x ,
répartie (non équirépartie modulo 1 ) , a
égale
à
1 . Dans
une autre direction, PISOT et SALEM
étude détaillée de s couples
(x 9 e)
donnant lieu à
une
mauvai-
répartition.
2. Nombres de
Pisot-Vijayaraghavan (PV) .
On appelle nombre PV
conjugués
par
de
on
fait,
un
entier
algébrique
plus grand que 1
e
autres que lui-même sont à l’intérieur du cercle unité
désigne
8 9
wn
1
n’est pas
ERDOS
la suite
0
est
équirépartie
à de nombreux travaux.
égale à
(~l~ , [2]).
particulièrement intéressantes
la suite
est
modulo 1 . Soit
et si elle est
équirépartie
où
Vingt
(0 , 1 ) ,
de
sont tels que la suite
qui
se
I
est
u
(un) = (x03B8n) ,
étant
1
>
équirépartie
l’expression
existe pour tout intervalle
I,
FRANCE
rappelle les principaux résultats connus sur la répartition
x03B8n modulo 1 , et on les complète par quelques remarqueso
de la mite
1.
MENDÈS
S l’ensemble des nombres PV. Si
x
(xen)
appartient
au
dont tous les
(~7~ , ~8~ ) .
corps
On
algébrique
montre facilement que la suite
est mal répartie (elle a, en
nombre fini de points d’accumlations). La réciproque est vraie sous la
forme suivante : Si
x~ 0,
nombre
un
cumulations
gébrique
de
[7J,
Dans
est
6
nombre
un
algébrique plus grand que 1 ,
n’ait
tel que la suite
modulo 1,
6 [8Jo
alors
est
e
un
nombre PV
sera
et
nombre fini de
appartient
x
points
commode d’écrire
un
produit
l’implication précédente
soit
corps al-
au
sous
infini
convergent .
la forme
équivalente $
produit infini convergent.
un
C(03B8) .
3 . L’ensemble de Cantor
Certains des résultats
précédents peuvent être complétés par l’introduction
C~B~ . Si 6 est un nombre réel supérieur â ~ , C(e)
l’ensemble de Cantor
présente
où
ensemble
groupe
permet
de la
l’ensemble des nombres
est : soit
~n
parfait
de munir
Appelons
soit
0,
de
xi
C (8)
de Haar
( Z/2
d’une
de la forme :
x
0
fait
mesure
corre
propriété suivante:
équirépartie modulo 1
est
THEOREME 1. - Soit
Si pour tout
converge, alors
e
>
a
[5] :
2 .
entier k ~ 0 ,
~’ ~8 )
x
=
(0
-
1)
En
e
C (S
),
(nécessairement singulière), image
positive
On démontre alors le résultat suivant
(1 )
spondre
la
(xen)
re-
(Z/2Z)N .
sur
alors
que la suite
1
de
Il est facile de voir que cet ensemble est un
nulle. La surjection, qui à l’élément e: = (e ) du
mesure
{ (0 ) , (
mesure
d’ac-
donne la caractérisation suivante :
on
soit
Il
qu’un
et s’il existe
lieu .
la série
"
".
B.1-presque tous les
x
sont tels
(2)
série £
La
presque tous les
vraie pour
D’après
précédent
6
série £
est
de sorte que
8 > 1 ,
2 .
de l’ensemble
diverge
donne donc
ne nous
>
(1 )
la caractérisation
alors la
E S ,
e
converge pour presque tous les
entier
un
pour
S,
il est bien évident que si
k ~
0
e ES. Une
renseignement lorsque
aucun
moins. Le théorème
au
étude parti-
culière s’impose donc.
On montre alors le résultat
THÉORÈME
Plus
2. - Si
précisément,
suivant [5] 1
8 > 2 et
alors la
-presque tous les
x
propriété
n’ a pas lieu.
sont tels que la suite
est mal
répartie..
On
x e
peut
C (8 )
traire
demander
se
si,
tels que la suite
si
9
)z)
-~ ~
>
est
2
est
un
a
dans le
cas
général. Cependant,
sont à l’intérieur du cercle
lieu. Ceci
se
produit
en
particulier
si
théorème qui découle immédiatement d’un résultat de SALEM et
3 . - Si
e
e>2
tel que, pour tout
avant d’énoncer
est
un
est dense dans
C(e) ,
e S ,
6
et
un
polynôme réel.
C(8~ , qu’il
et que
sa
nombres
la
entier
x
algébrique 03BB ~ 0
soit mal répartie.
[t]
introduisons des notations :
(resp. fractionnaire)
On démontre que
a
un
la suite
résultat,
entière
du nombre réel
t .
de la forme
E(e)
est contenu dans
puissance du continu dans
toute
portion
non
vide
dimension de Hausdorff est nulle.
THÉORÈME 4. - Si 03B8 ~ S et x ~
façon plus
il existe alors
x e
dernier
(resp. (t) ) désigne la partie
E(e) représente l’ensemble des
a une
problème
conjugués
nombre PV dont tous les
un
aussi
du corps de
De
au con-
[9] :
THÉORÈME
Enfin,
ce
l’implication précédente
unité quadratique de S .
une
ZYGMUND
résoudre
su
alors
Signalons
de
nombres
l’implication
est vraie. Nous n’avons pas
6
hypothèses du théorème, il existe des
soit équirépartie modulo 1 , ou si
les
sous
E(e) ,
l’adhérence
dimension de Hausdorff nulle
alors la suite
A(x) de l’ensemble
(voir [5]).
est mal
des
oints
répartie.
nE!,
22-04
qui précèdent constituent
Ce théorème et les remarques
q
(._.,....
~ >
1) ,
>
généralisation
des
[6].
résultats obtenus dans
Remarque. - On sait
une
que l’ensemble des
n’est pas
équirépartie
chaque intervalle (voir [4] par
lesquels
x, pour
modulo
exemple).
1,
a
la
Le théorème 4
la suite
puissance
précise
ce
(x03BBn) ,
du continu
sur
résultat dans
ensemble de
qu’il permet de construire effectivement
points x, ayant la puissance du continu sur chaque intervalle et
que
soit mal
le
cas
e
B =
en ce
sens
un
tel
répartie.
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La
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Pjateckij-0160apiro,
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C. R. Acad.