Renormalisation et états de masses des particules

Séminaire L. de Broglie.
Théories physiques
A. V ISCONTI
Renormalisation et états de masses des particules
Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 25 (1955-1956), exp. no 10, p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SLDB_1955-1956__25__A9_0>
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Faculté de s Sciences de Paris
7 février
." e ~" o ,W ",.
c
o
0
THÉORIES PHYSIQUES
BROGLIE)
Année 1955/1~56
Séminaire de
(Séminaire
n° 10
Exposé
Louis de
1956
... _. ... _
0
0
0
RENORMALISATION ET ETATS DE MASSES DES PARTICULES
par A. VISCONTI.
(H.
1956
p.
problème
un
peut raisonnablement se poser pour toutes
application, c’est le suivant : "Est-ce que
que l’on
théories quantiques ayant des
l’opérateur
de
valeur propre
On
bien
ou
en
a-t-il
autre théorie
aucune
d’ailleurs,
Lee, où
celui de
Nous allons diviser cet
au cas
3.- Application
au
N~
-
exposé
problème
mais
en
seule
une
l’électromagnétismodèle, assez grossier
ni pour
on a un
à
un
3 parties :
seul état de
plusieurs états
de
masse
masse
de l’électron.
existent.
(T.D LEE, Phys. Rev., 95, 1954,
PAULI, Det. Kgl. Danske., Festkrift
p.
til Niels
1329 ;
BOHR,
7).
o
à 1 seul état de
masse
de l’électron.
Quantités non renorma1isées indiquées par ~ : y:~v 9
Quantités renormalisées :
A , e , m
Â9
ê, m
a
La renormalisation consiste
1) changement
permet de
son
a-t-il
sait le résoudre.
on
Electromagnétisme quantique
-
ce
mésique~
modèle de Lee
G. KALLEN and ûd.
1955,
où
impulsion-énergie)
les
plusieurs ? i’
Electromagnétisme quantique
20- Extension
1.-
vecteur
Pf P~
masse
sait évidemment pas résoudre
ne
ni pour
1.-
Phys., 1,
20)
Il est
me
Nuclear
and A. VISCONTI:s Renormalisation and
en
3 changements d’échelles :
d’échelle de la fonction d’ordre du fermion :
passer de la fonction d’onde de l’électron "nu" à l’électron
nuage de photons
0
avec
10-02
2) changement
permet
de passer du
3) changement
gramme sommet
Le
électron
masse
diagramme
a
photon
avec
son
nuage
de
paires d’électrons.
corrigé :
Z~
Comment
nu au
non
renormalisé est invariant de jauge :
Ã
être de même pour celui renormalisé :
en
Enfin,
photon
d’échelle intéressant la charge par l’intermédiaire du dia-
lagrangien
et il doit
m :
d’échelle de la fonction d’onde du photon ;r
se
et
représentant
Z~
présente
probabilités,
il faut que :
la renormalisation de masse ? Le
pour forme dans
mécanique,
de
l’espace
W(- iB’p)
propagateur d’un
des moments :t
noyau
opérateur
de
masse
représente
par le
m’
soit
ou
la-
-i
changeant
le facteur
On
masse expérimentale :s
Z
Yp
en
provient
x :1
du sommet
gauche
non
renormalisé, 03A3
a :
donc
masse
Le
expérimentale
m’
l’équation :
racine de
propagateur s’écrit:
Déterminons
G (p)
10 et 8b
ne
Z~
de telle sorte que1
contient
plus d’infini
et
s’écrit a
donnent
2. - Etude d’ une théorie à
On considère
une
plusieurs é tats
de
masse.
théorie à plusieurs états de
masse
où ?
c
quantité
finie.
vecteur
P
de deux
un:
impulsion-énergie,
spectres :t
un
le
spectre
est
de
supposé
être la réunion
discret :t
spectre continu.
Le
propagateur
correspond à
dans
l’espace
des
impulsions
x(x
la fonction du nombre
-~-’~ -
i
1
Les racines des
même temps valeurs propres appartenant au spectre discret de
définissent les états de masse de ?.a théorie, Nous supposons que m1 . , .
qui
sont
en
0
sont
ces
a(x)
ne
racines et
s’annule par
Posant d’autre
on a
qu’elles
aucun
parts
finalement :1
sont toutes
des
mj
o
simpleso
Une identification du
produit
Pz
m~
Revenant à
l’espace
x , il vient :
Quel que soit le contour d’intégration,
nous
dévoua le
compléter par
;
l’infini, par des coupures de façon à ce que le premier facteur soit holomorphe et enfin par des circonférences autour des points
+ m j
1
~0 . Ces dernières intéavec ± suivant que Xo
p 0
grations peuvent se faire suivant l’axe réel si on y ajoute le facteur
+ mj)
à chacune de ces intégrales.
le demi-cercle de
=
=
o
o
On
le
a
alors
chemin C
clus clans la
La
s
représentant la réunion
première intégrale.
première intégrale
.
de
de tous les chemins
~~ 9 compte
tenue de
~
+
qui
ne
sont pas in-
Nous allons écrire la contribution du
dérant le
pour
système
Xo -
0
pôle mj
de vecteurs propres : p
on a
puisque l’équation d’onde
sous une
de
1
i
[P., ~BKx)]
que
nous
écrirons
D’après (25)
pour
xo -
x~ ~ ,
sous
de
B~/(x)
: 2014~
~
=
impulsions
telles que1
la formet
la contribution du
cette
en
consi-
par définition ~
~ ’ ’
La contribution des
autre forme
pôle mj
expression s’écrit :
est :
a
pour solution
par suite :1
Or il est facile de voir que
1)
doit être
~(mj)
~>0 ~
imaginaire pur, si
par suite :
a(x)
iJ
+
a(x) ,
la
formule de Hilbert donne
2) bj d’après (10) change de signe chaque fois que j
par suite a(x) doit changer de signe chaque fois que x
valeurs
ml p m2
Il doit donc avoir des zéros
.00
ou
varie d’une
passe pour
des
unité ;
une
des
singularités
Mais si
sont les seules
chaque intervalle m~ ~ m2 ;
m~ , m2 ’
racines du propagateur pour x ~ C , il s’ensuit que a(x) doit avoir des singularités dans ces domaines. Si de plus a(x) est holomorphe dans ce domaine,
dans
il y
...
a
la
une
o..
contradiction évidentet l’hamiltonien
par suite la matrice
(34) :é
S
cesse
cesse
d’être hermitien et
d’être unitaire. En effet, prenons la trace de
.
-
et par suite :
avec un
un
bj
facteur de
proportionalité positif. Chaque
négatif BL-’ n’est pas le conjugué de
"U/
fois donc
qu’on rencontre
pas de sommations
il vient :
~ m~’ J~ 9
Calculons :
Remarque :
sur
P(j) .
e
on a :
Multiplions à droite
et
gauche
.
expression positive puisque produit de matrices adjointes.
produits et prenant les traces 9 il vients
3.-Modèle
Effectuons les
de Lee
o
3 types de particules
le
respectivement
premier
terne de
les
s Bp~ ~
W1
particules 6 ::
correspond à :
le deuxième à :
la seule réaction
possible est
Le calcul des corrections
G" ;.,)
se
font commodèment
Les
équations d’ondes
les
propagateurs
mv ’ mN ’ ~.t
non
sont les
donc la transmutation de V
radiatives
en
les
par
en
N
propagateurs
schéma d’interaction.
sont ~
corrigés peuvent s’écrire
masses
expérimentales.
en
représentation
p :
V
par1
G ~,
et
vent
se
n’ont pas de corrections radiatives,
ni
car
N
ni e
ne
peu-
désintégrer.
La correction radiative à
apporter
au
est donne par
propagateur
l’itération du diagramme.
Le noyau de
les
propagateurs
comme on
On
l’opérateur
GN
l’a dit
N
et
de masse
au
diagramme :1
corrigés, d’autre
peuvent rien émettre.
sont
Gp
et 0
correspond
ne
part F = ~
puisque
a :
dont le transformé de Fourier est1
est infini.
Considérons le propagateur
Nous
que
désignons
en
vertu de
maintenant par
(8a) :
m.,,
Gv(po)
la
en
masse
schéma de Heisenberg :
mécanique
=
m*. - bmj
de sorte
c~
Cherchons la condition
G.. (m")==
0
Remplaçons
et
nous
infini,
en
40,
le nombre 1 tire de
rencontrons la
nous aurons
Zn
s’exprime
définisse
une
deuxième
masse
m" :
:.
(41),
première intégrale
il vient :1
finie, Mais
g~
d’après (41)
est
besoin donc d’une deuxième renormalisation celle de la
couplageô
Introduisons
et
(p..)
c’est-à-dire :
constante de
Z’
~i
pour) G~
gC
dans la condition de
à l’aide des formules
compatibilité (41)
précédentes,
entre termes finis et devient :
et
cette condition de
exprimons
compatibilité
Une des conditions de renormalisation
aux
l’existence de
satisfaisant
équations 46.
Discussion. Toutes les
viennent de
l’apparition
Supposons
l’équation 46a
mais
sera
(46b)
de la deuxième
m" ,~ mV ~E ~..~.+ m,,
que
admet
admet alors
une
deux constantes de
1) L’hamiltonien
complications qui apparaissent
couplage
sont
n’est plus
un
o
en
gë2à négative :
modèle pro-
ce
m" ,
pour que la
solution
une
solution
masse
dans
particule
positive :
il est donc
V
stable),
soit
impossible
que les
la fois réelles
opérateur hermitien,
la matrice
S
n’est
plus unitaire.
0
2)
Z’
et
Z" , qui
doivent être
compris entre
0 et
1,
sont tous deux
infinis.
3) Supposons que nous ayons une coupure des impulsions à K :i les contradictions (1) et (2) demeurent, mais on peut y échapper pour certaines valeurs de
En effet, pour
m’ ~ donné, la plus petite valeur que peut prendre
correspond à
m" = j;
co
et elle
s’écrits
gc2
10-12
si donc dans
(46a
une
théorie à facteur de forme
,
les
équations
peuvent être satisfaites, il n’y a donc qu’un seul état de masse
mj et Z’ qui lui correspond est ~> 0 ainsi que gc et g . Bien que le
modèle de Lee soit trop simple pour servir de fil directeur valable à l’étude
des infinis en électromagnétisme et théories mésiques, le fait que nous avons
rencontré une valeur de la constante de couplage au-dessous de laquelle la
théorie est exempte de contradictions vaut peut être la peine d’être noté.
et
b)
ne